SKKN Khai thác kết quả từ một bài toán Hình học Lớp 8

Nội dung text: SKKN Khai thác kết quả từ một bài toán Hình học Lớp 8

1. ĐỀ TÀI KHAI THÁC KẾT QUẢ TỪ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8 A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lí luận. Trong mục tiêu môn Toán THCS đã nêu lên rằng: “Rèn luyện khả năng suy luận lôgic; khả năng quan sát và dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian. Rèn luyện kỹ năng sử dụng ngôn ngữ chính xác. Bồi dưỡng các phẩm chất tư duy như: linh hoạt, độc lập, sáng tạo”. Chúng ta đã biết hệ thống kiến thức trong chương trình đã được biên soạn lôgíc. Hệ thống bài tập trong SGK và SBT đã được biên soạn công phu, chọn lọc, sắp xếp một cách khoa học, phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh. Để đạt được mục tiêu đó, mỗi thầy cô giáo chúng ta cần trang bị cho HS không chỉ kiến thức, kỹ năng làm bài tập Toán mà còn phải khơi dậy ở các em lòng say mê , tính tích cực, tự giác trong học tập. Đây không chỉ là vấn đề của riêng ai! Nhưng làm thế nào để đạt được mục đích đó thì quả là không dễ chút nào. 2. Cơ sở thực tiễn. Có một thực tế mà ai đã từng cắp sách tới trường, đã từng tham dự các kỳ thi như KĐCL, thi chọn HSG (trường, huyện, tỉnh ), đều nhận thấy: “Nếu chỉ dừng lại ở việc học thuộc và làm các bài tập ở SGK và SBT thôi thì vẫn có những câu, những ý không làm được”. Đặc biệt là các kỳ thi chọn HSG, thi vào trường chuyên, lớp chọn. Sở dĩ như vậy là vì trong các kỳ thi đó; các đề toán luôn đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, sự uyển chuyển trong các phương pháp giải, sự kết hợp giữa các bài tập tương tự Qua quá trình dạy Toán nhiều năm, tôi nhận thấy rằng: “Có nhiều em học thuộc lòng lý thuyết (định nghĩa, định lý, tính chất, quy tắc, nhưng vẫn không giải được bài tập; đặc biệt là phần hình học” Trong toán học bao gồm nhiều nội dung, dạng toán khác nhau. Các dạng toán có thể không liên quan, ít liên quan, cũng có thể liên quan mật thiết với nhau. Song học sinh rất khó nhận ra điều này. Đặc biệt là các bài toán hình học Vì các lí do trên mà tôi chọn đề tài: “Khai thác kết quả từ một bài toán hình học 8’’. Phần tam giác đồng dạng toán 8 tập 2. B B. NỘI DUNG Giáo viên cho HS giải bài toán sau E Bài toán 1: (Bài toán gốc – Bài 46 trang 84 SGK Toán 8 Tập 2) Trên hình vẽ, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. H Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng? A D C - 1 -
2. a) Phân tích bài toán: b) Lời giải: Ta có +) ΔEBH : ΔDCH (g.g) (1) 0 Vì : B· EH=C· DH=90 (gt) E· HB=D· HC (đối đỉnh) +) ΔEBH : ΔDBA (g.g) (2) Vì : B chung 0 và B· EH=B· DA=90 (gt) - EBH : ECA (g.g) (3) Vì : Bµ = Cµ (suy ra từ (1)) và B· EH =C· EA =900 - DCH : DBA (4) (bắc cầu từ (1) và (2)) - DCH : ECA (5) (bắc cầu từ (1) và (3)) - DBA : ECA (6) (bắc cầu từ (2) và (3)) c) Khai thác bài toán: BH EH +) Từ kết quả (1) (của bài toán 1): ΔEBH : ΔDCH BH.DH CH.EH CH DH Cho ta có các bài toán: Bài toán 1.1: Cho tam giác nhọn ABC. BD,CE là hai đường cao cắt nhau tại H Chứng minh rằng: HB.HD = HC.HE. ( Từ bài này trở đi tôi xin miễn phân tích bài toán mà chỉ trình bày bài giải và hướng khai thác) Giải: B Ta có EBH : DCH (g.g) (theo (1) bài toán 1) BH EH BH.DH CH.EH (đpcm) E CH DH Bài toán 1.1.1: Cho tam giác nhọn ABC. AF, BD, CE là các H đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: HA.HF=HB.HD=HC.HE A C (Giải tương tự như bài toán 1.1- HS về nhà tự giải) D Khai thác bài toán: Bài toán trên đúng cho cả trường hợp tam giác ABC là tam giác vuông, tam giác tù. (Xem như bài tập , HS về nhà tự làm) Bài toán 1.2: Cho tam giác nhọn ABC. BD, CE là hai đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: HBC : HED Giải: - 2 -
3. Ta có EBH : DCH (g.g) (theo (1) của bài toán ( 1)) B BH EH BH CH CH DH EH DH E Xét HBC và HED có BH CH H (chứng minh trên) EH DH B· HC = E· HD (đối đỉnh) A D C Suy ra HBC : HED (c.g.c) +) Từ kết quả (2) (của bài toán 1): EBH : DBA ta có các bài tập sau: Bài toán 2.1: Cho tam giác nhọn ABC. BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: BH.BD = BE.BA Giải: Ta có EBH : DBA (g.g) (theo (2) của bài toán ( 1)) BE BH BD.BH BE.BA (đpcm) BD BA Bài toán 2.2: Cho tam giác nhọn ABC.BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: BH.BD CH.CE BC 2 Giải: Nối A với H, kéo dài tia AH cắt BC tại F ta được đường cao B AF Ta có: BFH : BDC (g.g) (chứng minh tương tự (2) của bài toán ( 1)) E BH BF F BH.BD BC.BF (1) H BC BD Tương tự ta có: CHF : CBE (g.g) CH CF CH.CE CB.CF (2) A D C CB CE Từ (1) và (2) suy ra: BH.BD CH.CE BC.BF BC.CF BC(BF CF) BC 2 (Vì ABC nhọn nên F nằm giữa B và C) hay BH.BD CH.CE BC 2 (đpcm) Bài toán 2.2.1: Cho tam giác nhọn ABC. AF, BD, CE là các đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: AB2 AC 2 BC 2 B AH.AF BH.BE CH.CF 2 Giải: Từ kết quả bài toán 2.2 ta được E F AH.AF + BH.BD = AB2 (1) H AH.AF + CH.CE = AC2 (2) BH.BD CH.CE BC 2 (3) A D C - 3 -
4. Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2(AH.AF + BH.BD + CH.CE ) = AB2 +AC2 +BC2 AB2 AC2 BC2 AH.AF BH.BD CH.CE (đpcm) 2 Bài toán 2.3: Cho hình bình hành ABCO . Kẻ CE  AB tại E, CF  AO tại F, Kẻ OH  AC tại H, kẻ BK  AC tại K a) Tứ giác OHBK là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CE.CO = CB.CF c) Chứng minh rằng : AB.AE + AO.AF = AC2. ( Bài 258 sách Nâng cao và Phát triển Toán 8 tập 2) A B E Giải : a) Dễ thấy tứ giác OHBK là hình bình hành H b) Ta có A· BC = A· OC nên suy ra C· BE = C· OF CBE : COF (g.g) K O CE CF C = CE.CO=CB.CF CB CO c) Ta có AOH : ACF (g.g) F (theo (2) của bài toán 1) AO AH = AO.AF=AC.AH (1) AC AF Tương tự ta có: ABK : ACE (g.g) AB AK = AB.AE=AC.AK (2) AC AE Từ (1) và (2) suy ra AO.AF+AB.AE=AC.AH+AC.AK=AC(AH+AK) (3) Xét AOH và CBK có: ·AHO =C· KB (= 900) AO = BC (tính chất hình bình hành) O· AH B· CK (so le trong) Suy ra: AOH = CBK (cạnh huyền-góc nhọn) AH CK (cạnh tương ứng) thay vào (3) ta có AO.AF+AB.AE=AC(CK+AK)=AC.AC=AC2 +) Từ kết quả (6) của bài tập 1 : DBA : ECA cho phép ta giải các bài toán sau: Bài toán 3.1: Cho tam giác nhọn ABC. BD, CE là hai đường cao cắt nhau tại H. B Chứng minh rằng: AE.AB =AD.AC Giải: E Ta có DBA : ECA (g.g) (theo (6) bài toán 1) H - 4 - A D C
5. AD AB AD.AC AE.AB (đpcm) AE AC Bài toán 3.2: Cho tam giác nhọn ABC. AF, BD, CE là các đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: 1) AD.AC = AH.AF = AE.AB B 2) CD.CA = CH.CE = CF.CB 3) BF.BC = BH.BD = BE.BA E Giải: H F Từ kết quả bài toán 2.1 ta có AH.AF = AE.AB (1) Từ kết quả bài toán 3.1 ta có A D C AE.AB = AD.AC (2) Từ (1) và (2) suy ra AD.AC= AH.AF= AE.AB (đpcm) Chứng minh tương tự ta được hai đẳng thức 2) và 3) Bài toán 3.3: Cho tam giác nhọn ABC. AF, BD, CE là các đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: BE.BA + CD.CA = BC2 và viết hai hệ thức tương tự Giải: Theo kết quả bài 2.2: BH.BD + CH.CE = BC2 (1) B Mà theo kết quả bài toán 3.2: BH.BD = BE.BA CH.CE = CD.CA E Thay vào (1) ta được: BE.BA + CD.CA = BC2 (đpcm) H F Hai hệ thức tương tự: 1. AE.AB + CF.CB = AC2 2. AD.AC + BF.BC = AB2 A D C Bài toán 3.4: Cho tam giác nhọn ABC. BD, CE là hai đường cao. Chứng minh rằng: ADE : ABC Giải: Ta có ADB : AEC (g.g) (theo (6) bài toán 1) B AD AB AD AE AE AC AB AC Xét ADE và ABC có : E AD AE (chứng minh trên) AB AC µA chung Suy ra ADE : ABC (c.g.c) (đpcm) A D C C. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC - 5 -
6. 1) Kết quả đạt được: Sau khi tôi áp dụng sáng kiến trên vào dạy học thì đã có sự chuyển biến khá rõ; đặc biệt là các em có học lực từ Tb trở lên; các em đã chịu khó suy nghĩ, tìm tòi, lời giải cũng mạch lạc hơn. Kết quả cụ thể như sau: Số HS giải được theo các mức độ Áp dụng Tổng Năm học Từ 0 -20% BT Từ 20-50% BT Từ 50-80% BT Trên 80% BT đề tài số HS SL % SL % SL % SL % 2008 – Chưa áp 0 0 0 0 32 8 25 0 11 34,4 0 11 34,4 0 0 0 2009 dụng 2009 – Đã áp 0 0 0 0 32 6 18,8 0 12 37 0 11 34,4 0 4 9,8 0 2010 dụng 2010 - Đã áp 0 0 0 0 30 4 13 0 9 30 0 12 40 0 5 17 0 2011 dụng 2011 - Đã áp 0 0 0 0 30 4 14 0 7 23 0 13 43 0 6 20 0 2012 dụng Như vậy sau khi áp dụng thì số lượng HS giải theo các mức độ đã có thay đổi đáng kể. Đặc biệt là các em đã giải được từ 50% trở lên đã tăng rõ rệt 2) Kiến nghị đề xuất: Đây chỉ là một bài tập rất nhỏ trong vô vàn các bài tập mà chúng ta có thể khai thác. Song ở đề tài này của tôi nó khá phù hợp với đối tượng HS khá giỏi và được giảng dạy vào các tiết tăng buổi, bồi dưỡng HSG do đó khi áp dụng đề tài này thì nên phân luồng HS cho phù hợp. Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu, tìm tòi không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong quý thầy cô góp ý, chỉnh sửa để các lần áp dụng sau đạt hiệu quả tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! - 6 -