Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng những hằng đẳng thức vào giải Toán Lớp 8

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng những hằng đẳng thức vào giải Toán Lớp 8

1. SKKN“ Vaän duïng nhöõng haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn lôùp 8” PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ Treân böôùc ñöôøng caûi tieán vaø ñoåi môùi phöông phaùp daïy hoïc cuøng vôùi nhöõng nhieäm vuï quan troïng maø Ñaûng vaø Nhaø nöôùc ta ñaõ vaïch ra thì traùch nhieäm cuûa ñoäi nguõ giaùo vieân chuùng ta laø phaûi hình thaønh ñöôïc ôû hoïc sinh nhöõng cô sôû, nhaân caùch cuûa ngöôøi Vieät Nam, coù loái soáng vaên hoùa laønh maïnh coù hoïc vaán cao, coù hieåu bieát vaø chieám lónh ñöôïc nhöõng noäi dung cuûa khoa hoïc töï nhieân vaø xaõ hoäi, goùp phaàn cho söï phaùt trieån cuûa ñaát nöôùc trong töông lai. Toán học là một bộ phận khoa học kỹ thuật cao nhất đồng thời là chìa khóa mở cửa tạo nền cho các ngành khoa học khác. Là bộ môn chiếm ưu thế quan trọng trong giáo dục đặc biệt là dạy học, nó đòi hỏi ở người thầy giáo một sự lao động nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh và giải các bài toán cũng là nhiệm vụ trung tâm của người thầy dạy toán. Trong chương trình đại số lớp 8 thì chương I “ Phép nhân và phép chia các đa thức” trong đó có các bài: “Những hằng đẳng thức đáng nhớ”. Với tất cả 3 tiết lí thuyết và 2 tiết luyện tập thì học sinh phần nào đã hiểu và nắm ñöôïc những kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức. Nhưng việc nắm chắc và hiểu sâu để sau này vận dụng vào các kiến thức có liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức và xa hơn nữa là các dạng toán như: tìm cực trị, chứng minh chia hết cũng được vận dụng những hằng thức rất nhiều. Do đó mức độ kiến thức mà các em đạt được chưa thể nói là thỏa mãn các yêu cầu người dạy và người học toán. Chính vì lí do đó tôi đã lựa chọn vieát saùng kieán kinh nghieäm vôùi ñeà taøi: “ Vận dụng những hằng đẳng thức vào giải toán lôùp 8” nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp học và làm toán, nắm được kiến thức cơ bản, cách tư duy và phương pháp sử dụng linh hoạt những hằng đẳng thức vào giải toán. Từ đó tạo nên điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt những kiến thức liên quan sau này. Ñaây chæ laø nhöõng kinh nghieäm ít oûi qua quaù trình giaûng daïy moân toaùn lôùp 8, toâi cuõng maïnh daïn xin neâu ra ñaây ñeå ñöôïc cuøng trao ñoåi vôùi quyù ñoàng nghieäp vaø xin ghi nhaän moïi söï ñoùng goùp yù kieán ñeå toâi tích luõy theâm ñöôïc nhieàu kinh nghieäm hôn nöõa trong söï nghieäp “troàng ngöôøi” cuûa mình. Ngöôøi thöïc hieän: Bùi Thị Hồng Trang 1
2. SKKN“ Vaän duïng nhöõng haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn lôùp 8” PHẦN B GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ I. THÖÏC TRAÏNG. Trong thöïc teá giaûng daïy toaùn ôû tröôøng THCS noùi chung vaø ôû tröôøng THCS Loäc Taán noùi rieâng vieäc laøm cho hoïc sinh bieát vaän duïng caùc kieán thöùc ñaõ hoïc ñeå giaûi caùc baøi toaùn laø coâng vieäc raát quan troïng vaø khoâng theå thieáu ñöôïc cuûa ngöôøi daïy toaùn. Vì thoâng qua ñoù coù theå reøn luyeän ñöôïc tö duy logic, khaû naêng saùng taïo, khaû naêng vaän duïng cho hoïc sinh. Ñeå laøm ñöôïc ñieàu ñoù ngöôøi thaày giaùo phaûi cung caáp cho hoïc sinh caùc kieán thöùc cô baûn, caùc phöông phaùp vaän duïng vaø bieán ñoåi phuø hôïp giuùp cho hoïc sinh hieåu ñöôïc thöïc chaâùt cuûa vaán ñeà ñeå töø ñoù coù caùc kó naêng giaûi toaùn thaønh thaïo, thoaùt khoûi taâm lí chaùn naûn vaø sôï moân toaùn. Naêm hoïc 2006-2007 toâi ñöôïc nhaø tröôøng phaân coâng giaûng daïy boä moân toaùn lôùp 8A2 ngay töø ñaàu naêm hoïc. Sau khi hoïc xong noäi dung baøi “Nhöõng haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù” toâi ñaõ cho caùc em laøm baøi kieåm tra vieát, thôøi gian laøm baøi 15 phuùt vôùi muïc tieâu: Kieåm tra möùc ñoä naém kieán thöùc vaø kó naêng vaän duïng nhöõng haèng ñaúng thöùc vaøo laøm baøi taäp. Keát quaû thu ñöôïc nhö sau: Toång soá HS KEÁT QUAÛ ÑIEÅM TRÖÔÙC KHI VAÄN DUÏNG ÑEÀ TAØI 0 -> 3 3,5-> 4,5 Töø 5 trôû leân 8->10 38 7 15 16 2 Keát quaû treân ñaõ chöùng toû ñöôïc raèng: Haàu heát caùc em ñaõ ghi laïi ñöôïc noäi dung cuûa baûy haèng ñaúng thöùc nhöng khi cho caùc em baøi taäp caàn vaän duïng nhöõng haèng ñaúng thöùc ñoù thì còn có một số học sinh rất ngượng ngập, khoâng tìm ra lôøi giaûi, chưa chịu khó suy nghĩ, chöùng toû kiến thức còn mang tính nhồi nhét thụ động, đứng trước một bài toán tự mình giải còn chưa có niềm tin. Beân caïnh ñoù moät soá hoïc sinh coøn coù taâm lí chaùn naûn vaø toû ra sôï moân toaùn moãi khi vaøo hoïc tieát toaùn. Ngöôøi thöïc hieän: Bùi Thị Hồng Trang 2
3. SKKN“ Vaän duïng nhöõng haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn lôùp 8” Rất nhiều học sinh lớp 9 hiện nay cũng chưa hiểu và nắm chắc các hằng đẳng thức để có thể vận dụng linh hoạt vào giải các dạng toán. Kết quả là nhiều bài toán học sinh không giải được hoặc giải sai. Bên cạnh đó rất nhiều kiến thức về đại số liên quan đến những hằng đẳng thức nếu biết sử dụng những hằng đẳng thức để xử lí thì thì bài toán sẽ có nhiều cách giải ngắn gọn hơn, giúp các em phát triển tư duy một cách tích cực hơn. II. NGUYEÂN NHAÂN Trong chöông trình saùch giaùo khoa hieän nay thì khoâng phaûi baát cöù ngöôøi hoïc naøo cuõng coù theå ñaùp öùng ñöôïc nhöõng yeâu caàu ñöa ra, nhaát laø ñoái vôùi nhöõng ñoái töôïng laø hoïc sinh ôû vuøng saâu, vuøng xa, ôû ñòa phöông coù ñieàu kieän kinh teá coøn khoù khaên noùi chung vaø hoïc sinh cuûa tröôøng THCS Loäc Taán noùi rieâng. Ñòa baøn cö truù roäng, xa tröôøng, kinh teá gia ñình khoâng oån ñònh, coøn khoù khaên neân ít nhieàu cuõng aûnh höôûng ñeán vieäc hoïc cuûa caùc em. Beân caïnh ñoù, moät soá hoïc sinh coøn ham chôi, löôøi hoïc, ngoài hoïc trong lôùp chöa taäp trung coøn coù taâm lí chaùn naûn vaø sôï hoïc moân toaùn. Khi kieåm tra caùc em veà lyù thuyeát thì coù veû nhö raát hieåu baøi nhöng khi yeâu caàu caùc em laøm theâm phaàn baøi taäp vaän duïng thì raát luùng tuùng vaø khoù khaên ñeå trình baøy. Caùch hoïc cuûa caùc em laø nhoài nheùt, hoïc thuï ñoäng, hoïc ñeå choáng ñoái söï kieåm tra cuûa giaùo vieân, caùc em cho raèng: chæ caàn hoïc thuoäc lyù thuyeát laø coù theå laøm ñöôïc baøi taäp maø caùc em queân raèng: “ Hoïc phaûi ñi ñoâi vôùi haønh” Vì vậy việc chuẩn bị tốt cho học sinh những kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là những phương pháp giải các bài toán có liên quan đến hằng đẳng thức thật vô cùng quan trọng. Qua ñoù giuùp caùc em khaéc saâu ñöôïc kieán thöùc, kích thích khaû naêng tö duy, khaû naêng quan saùt, saùng taïo, reøn cho caùc em kó naêng phaân tích, toång hôïp, tö duy suy luaâïn loâgic. Hôn theá nöõa giuùp caùc em seõ coù ñöôïc “nieàm tin” trong hoïc taäp. Với thực tế này tôi xác định phải tự tìm cho mình một cách dạy về các hằng đẳng thức sao cho phù hợp được với thực tế, kích thích được óc suy nghĩ của các em. Giúp các em nâng cao chất lượng của boä môn toán, caùc em coù tö duy ñeå linh hoaït söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn khi caàn thieát, các em thấy hứng thú và yêu thích môn học hơn. Hôn theá nöõa giuùp caùc em coù nieàm tin ñeå lónh hoäi toát, hoïc toát caùc kieán thöùc sau naøy. Ngöôøi thöïc hieän: Bùi Thị Hồng Trang 3
4. SKKN“ Vaän duïng nhöõng haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn lôùp 8” III. GIAÛI PHAÙP 1. MOÄT SOÁ KIẾN THỨC CƠ BẢN * Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. 1. (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 2. (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 3. A2 – B2 = (A– B) (A+B) 4. (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5. (A– B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 6. A3 + B3 = (A+ B) (A2 – AB + B2 ) 7. A3 – B3 = (A– B) (A2 + AB + B2 ) * Một số hằng đẳng thức tổng quát ( Daønh cho hoïc sinh gioûi) 1. (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 2. an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) 3. a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + + a2k-3b2 –b2k-1) 4. a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - + b2k) n(n 1) n(n 1) 5. (a + b)n = an + nan-1b + an-2b2+ + a2bn-2 +nabn-1 + bn 1.2 1.2 n(n 1) n(n 1) 6. (a -b)n = an - nan-1b + an-2b2- - a2bn-2 +nabn-1 - bn 1.2 1.2 2. VAÄN DUÏNG NHÖÕNG HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC VAØO GIAÛI TOAÙN: 2.1. Laøm theá naøo ñeå hoïc sinh traùnh ñöôïc nhöõng loãi cô baûn khi vaän duïng haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn? Ngay sau khi hoïc xong hai haèng ñaúng thöùc: Bình phöông cuûa moät toång, bình phöông cuûa moät hieäu. Toâi coù môøi hai em hoïc sinh ( hoïc löïc trung bình khaù) leân baûng vôùi caùc yeâu caàu sau: Hoïc sinh 1: a/ Vieát coâng thöùc bình phöông cuûa moät toång hai bieåu thöùc A, B ? b/ Tính: ( x + 1)2 ; (2x + 3y)2 Hoïc sinh 2: a/ Vieát coâng thöùc bình phöông cuûa moät hieäu hai bieåu thöùc A, B ? b/ Ñieàn bieåu thöùc thích hôïp vaøo choã troáng: x2 – 6xy + = ( . – 3y )2 – 4y + 4 = ( . – 2 )2 Keát quaû caùc em thöïc hieän nhö sau: Hoïc sinh 1: a/ (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 b/ ( x + 1)2 = x2 + 2x + 1 ( 2x + 3y)2 = 2x2 + 12xy + 3y2 Ngöôøi thöïc hieän: Bùi Thị Hồng Trang 4
5. SKKN“ Vaän duïng nhöõng haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn lôùp 8” Hoïc sinh 2: a/ (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 b/ Ñieàn bieåu thöùc thích hôïp vaøo choã troáng: x2 – 6xy + 3y2 = ( x . – 3y )2 y2 – 4y + 4 = ( y . – 2 )2 Ñieàu ñoù chöùng toû raèng vôùi caùc bieåu thöùc A, B trong haèng ñaúng thöùc laø moät soá hoaëc chæ goàm moät bieán thì caùc em coù theå deã daøng vaän duïng ñöôïc haèng ñaúng thöùc vaøo laøm baøi taäp. Tuy nhieân khi A, B laø caùc bieåu thöùc phöùc taïp hôn thì caùc em laïi hay bò maéc phaûi sai laàm nhö baøi taäp treân. Vaäy laøm theá naøo ñeå caùc em haïn cheá ñöôïc toái ña nhöõng sai laàm treân? Tröôùc heát toâi löu yù caùc em phaûi söû duïng daáu ngoaëc vaø luõy thöøa cuûa caû bieåu thöùc ñoù hoaëc ta coù theå vieát haèng ñaúng thöùc döôùi daïng: ( + )2 = 2 + 2 . . . + 2 Ví duï 1: 2 2 2 ( 2x + 3y ) = 2x + 2 . 2x 3y + 3y = 4x2 + 12xy + 9y2 Sau khi höôùng daãn toâi ñaõ yeâu caàu moät hoïc sinh ñöùng taïi choã söûa choã baøi laøm sai cuûa baïn, keát quaû: x2 – 6xy + (3y)2 = (x – 3y )2 hay x2 – 6xy + 9y2 = (x– 3y )2 Qua tieát hoïc ñoù treân lôùp, phaàn lôùn caùc em ñaõ vaän duïng vaøo laøm ñöôïc baøi taäp vaø coøn vaän duïng vaøo caùc haèng ñaúng thöùc tieáp theo. Ví duï 2: Tính ( 2x2 + 3y)3 ? Keát quaû: ( 2x2 + 3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3 . 2.2. Vaän duïng haèng ñaúng thöùc vaøo laøm caùc daïng baøi taäp: 2.1.1. Ruùt goïn caùc bieåu thöùc. Ví duï 1: a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) – (54 + x3) b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x– y)( 4x2 + 2xy + y2) Sau khi ñöa ñeà baøi leân baûng cho caùc em thaûo luaän vaø trình baøy baøi laøm cuûa nhoùm mình thì toâi thaáy phaàn lôùn caùc nhoùm ñaõ laøm nhö sau: a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) – (54 + x3) = x3 – 3x2 + 9x + 3x2 – 9x + 27 – 54 – x3 = - 27 b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2) = 8x3 – 4x2y + 2xy2 + 4x2y – 2xy2 + y3 – 8x3 – 4x2y – 2xy2 + 4x2y + 2xy2 + y3 = 2y3 Ngöôøi thöïc hieän: Bùi Thị Hồng Trang 5