Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng hằng đẳng thức để giải toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng hằng đẳng thức để giải toán

1. VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Các hằng đẳng thức đóng vai trò quan trọng trong hầu hết tất cả các bài toán đại số. Chúng giúp chúng ta thận tiện trong các phép biến đổi đơn giản hay rút gọn biểu thức đại số mà trong nhiều trường hợp các hằng đẳng thức có vai trò như “sứ giả” để giúp chúng ta tư duy tìm ra lời giải cho bài toán một cách hiệu quả bất ngờ. Các bài toán dưới đây sẽ giúp các bạn thấy rõ điều đó: Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau: 2 3 2 3 a. A 2 2 3 2 2 3 b. B 6 2 2 3 2 12 18 128 1 1 1 1 1 1 c. C 1 1 1 22 32 32 42 20092 20102 Giải: 2 a. Chú ý rằng: 4 2 3 3 1 . Do dó ta biến đổi: 4 2 3 4 2 3 A 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 1 3 1 2 2 2 4 2 3 2 2 2 4 2 3 2 2 3 1 3 1 2 2 2 2 2 3 1 2 2 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 2 3 1 2 2 2 3 1 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3 3 6 6 6 Vậy A 2 . b. B 6 2 2 3 2 12 16 2.4. 2 2 1
2. 2 6 2 2 3 2 2 3 4 2 6 2 2 3 2 2 3 4 2 6 2 2 3 2 3 4 6 2 2 3 3 1 6 2 4 2 3 6 2 3 1 4 2 3 3 1 c. Sử dụng hằng đẳng thức: x y z 2 x 2 y2 z 2 2 xy yz zx 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c Ta có: 2 2 a b c a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 abc Nếu abc 0 thoả mãn a b c 0 thì ta có hằng đẳng thức; 2 1 1 1 1 1 1 a b c a 2 b2 c2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Từ đó suy ra được: * a 2 b2 c2 a b c a b c (Với abc 0 và a b c 0 ) Áp dụng hằng đẳng thức (*) ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , i 2,2009 i2 i 1 2 i2  i 1 2 i i 1 i i 1 Khi đó thay i 2, 3, ,2009 vào ta được: 1 1 1 1 1 1 C 1 1 1 2 3 3 4 2009 2010 1 1 1 1 1 1 C 1 1 1  2 3 3 4 2009 2010 2008 1 1 502 C 2008 2008 2 2010 1005 Bài 2. Tính giá trị của biểu thức M a 3 b3 3 a b 2010 . Với a 3 3 2 2 3 3 2 2 và b 3 17 12 2 3 17 12 2 2
3. Giải: Áp dụng hằng đẳng thức: x y 3 x 3 y3 3xy x y ta có: 3 a 3 3 3 2 2 3 3 2 2 a 3 3 2 2 3. 3 2 2.3 3 2 2. 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 a 3 6 3. 3 2 2 . 3 2 2 .a 6 3a Tương tự: b3 34 3b. Thay vào biểu thức đã cho ta được: M 6 3a 34 3b 3 a b 2010 M 40 2010 2050 . Vậy M 2050 Bài 3. Giải các phương trình vô tỉ sau: a. x 4 2 x 1 3 x 5 6x b.10 x 3 1 3 x 2 2 Giải: x 4 0 a. Điều kiện xác định: x 5 x 5 0 Nhân vào hai vế của phương trình đã cho với x 4 2 ta được: x 4 2 x 4 2 x 1 3 x 5 6x x 4 2 x x 1 3 x 5 6x x 4 2 x 1 3 x 5 6 x 4 12 x 13 3 x 5 6 x 4 0  x 4 6 x 4 9 3 x 5 0 2 x 4 3 3 x 5 0 (*) 2 x 4 3 0 x 4 3 0 x 4 3 Do (*) x 5(tmđk) 3 x 5 0 3 x 5 0 x 5 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 5 b. Nhận xét: Ta nhận thấy quan hệ giữa x 3 1 và x 3 2 có mặt ở hai vế của phương trình trên thông qua hằng đẳng thức: x 3 1 x 1 x 2 x 1 trong đó x 1 x 2 x 1 x 2 2 . 3
4. Chính vì vậy ta có thể giải như sau: Giải: Điều kiện xác định: x 3 1 0 x 1 Khi đó phương trình đã cho tương đương với: 10 x 1 x 2 x 1 3 x 1 x 2 x 1  10 x 1 x 2 x 1 3 x 1 3 x 2 x 1 Đặt x 1 u và x 2 x 1 v, u;v 0 Ta được phương trình hai ẩn sau: 2 2 u 3v 3u 3v 10uv 0 u 3v 3u v 0 v 3u • Với u 3v , ta có: x 1 3 x 2 x 1 x 1 9 x 2 x 1 9x 2 10x 8 0 (vô nghiệm) • Với v 3u , ta có: x 2 x 1 3 x 1 x 2 x 1 9 x 1 x 2 10x 8 0 x 5 33 x 5 33 (do x 1) x 5 33 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 5 33 Bài 4. Giải các hê phương trình sau: 2 1 x x 12 2 y y x 6 2 y 1 a. b 1 x x 8 y 4 x 4 6 y y Giải: a. Điều kiện xác định: y 0 2 1 1 x Dễ thấy x x 2 2 nên hệ đã cho viết được: 2 y y y 4
5. 2 2 1 x 1 1 x 12 x x 20 0 (1) y y y y 1 x 1 x x 8 x 8 (2) y y y y 1 x 5 1 y Giải phương trình (1) với ẩn x ta có: y 1 x 4 y 1 • Với x 5, ta được hệ: y 1 x 5 1 y x 5 13y2 5y 1 0 y (Vô nghiệm) x x 13y 13 x 13y y 1 • Với x 4 , ta được hệ: y 1 x 4 1 2 x 2 y x 4 4y 4y 1 0 y 1 x x 4y y 4 x 4y 2 y 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x;y 2; 2 x 4 0 x 4 b. Điều kiện xác định: y 1 1 y 1 Cộng từng vế của các phương trình trong hệ ta được: x y 2 y 1 4 x 4 y 2 y 1 x 4 x 4 0  y 1 2 y 1 1  x 4 4 x 4 4 0 2 2 y 1 1 x 4 2 0 5
6. x 4 2 0 x 8 y 1 1 0 y 2 Thử x 8;y 2 vào hệ thoả mãn. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x;y 8;2 . x 2 y2 Bài 5. Cho x.y 1 và x y, x,y R . Chứng minh rằng: 2 2 * x y Giải: Do x y nên x y 0. Suy ra: * x 2 y2 2 2 x y x 2 y2 2 2 x y 0 1 Theo giả thiết x.y 1 nên: 1 x 2 y2 2xy 2 2 x y 2 0 2 x y 2 2 2 x y 2 0 2 x y 2 0 (luôn đúng). Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khi: 2 6 x x y 2 2 xy 1 2 y 2 6 Rất nhiều các bài toán mà trong quá trình tìm ra lời giải đòi hỏi các bạn phải có kỷ năng nhuần nhuyển sử dụng hằng đẳng thức. Các ví dụ trên đây phần nào đã giúp các bạn hình dung ra lợi ích khi sử dụng hằng đẳng thức. Sau đây là một số bài toán để các bạn luyên tập: Bài 1. a. Chứng minh rằng: 1 3 1 3 2 2 1 1 1 3 1 1 3 2 2 b. Rút gọn: A 6 2 5 29 12 5 ; B 8 8 20 40 Bài 2. Tính giá tri của biểu thức: 6
7. 2y 1 1 5 21 5 21 P x y . với x ; y x y x y 4 4 Bài 3. Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 1 1 a. x x x 2 2 4 6x 3 b. 3 2 x x 2 x 1 x 2 2 2 x y z xy yz zx c. 2009 2009 2009 2010 x y z 3 Bài 4. Cho các số thực x, y thoả mãn x 2 8 x y 2xy 2y2 13 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x y. 7