Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

1. PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là bài toán có mặt ở hầu hết trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học. Không những thế nó còn là bài toán hay và khó nhất trong các đề thi. Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học. Việc giảng dạy để làm sao học sinh học tốt chủ đề này luôn là một vấn đề khó. Chủ đề này thường dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó. Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có nhiều phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán mà chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi. Một trong những phương pháp khá hiệu quả là sử dụng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến, bằng cách xem các biến còn lại là tham số cố định. Không có một thuật giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thông qua ví dụ để học sinh rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài toán cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải riêng cho mình. Vì những lí do trên tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái nhìn rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Trang bị cho học sinh một phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mang lại hiệu quả rõ nét. - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy sáng tạo. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: - Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa nhiều biến. - Phân dạng các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số. - 1 -
2. PHẦN 2: NỘI DUNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ: 1) Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập số D. Phương pháp chung - Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D. Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận. Lưu ý 1: Nếu D là đoạn [a; b] thì có thể làm như sau: - Tính đạo hàm y’. ’ - Tìm các nghiệm của y trong đoạn [a; b], giả sử các nghiệm này là x1, x2 - Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) - KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b]. Lưu ý 2: Khi KL về GTLN, GTNN tìm được phải nêu rõ nó đạt được khi x nhận giá trị nào. 2) Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến bằng phép đổi biến số. Bước 1. Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới. Bước 2. Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban đầu). Bước 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tương ứng với điều kiện của nó. 3) Một số bất đẳng thức cơ sở thường sử dụng: 1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có: 1/ a2 b2 2ab 2 /(a b)2 4ab 3/ 2(a2 b2 ) (a b)2 4 / a2 b2 c2 ab bc ca 5/(a b c)2 3(ab bc ca) 6 / 3(a2 b2 c2 ) (a b c)2. 2/ BĐT Côsi - Với a, b, c không âm, ta có: a b 2 ab, a b c 33 abc, a b c 3 27abc II. PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN - 2 -
3. 1 . Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai, ba biến. Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ giữa chúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo sát. Ví dụ 1. Cho x, y, z là các số dương. Tìm GTNN của biểu thức: x y z 3 xyz P . 3 xyz x y z Nhận xét và hướng dẫn giải x y z 3 xyz x y z Dễ thấy . 1, do đó nếu đặt t ta được biểu thức theo biến 3 xyz x y z 3 xyz 1 số t là: P(t) t . t x y z 33 xyz Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: t 3 . 3 xyz 3 xyz 1 Do đó bài toán quy về tìm GTNN của hàm số P(t) t trên nữa khoảng 3; . t t 2 1 Vì P' (t) 0, t 3 nên hàm số P(t) đồng biến trên nữa khoảng 3; t 2 10 Từ đó có min P(t) P(3) , đây cũng là GTNN của biểu thức P. 3; 3 1 1 Ví dụ 2.Tìm GTLN, GTNN của H = x y . Biết x, y thoả mãn điều x y kiện 1 x y 2. Nhận xét và hướng dẫn giải 1 1 x y Ta có H = x y 2 . x y y x x 1 Vì thế nếu đặt t ta có hàm số theo biến số t sau: H (t) 2 t . y t 1 x 1 Từ điều kiện ràng buộc 1 x y 2 ta suy ra: 1, do đó t ;1 . 2 y 2 1 Bài toán trở thành: Tìm GTLN và GTNN của hàm số H (t) 2 t trên đoạn t 1 ; 1 . 2 1- t 2 é1 ù Vì H '(t) = £ 0, " t Î ê ;1ú nên H(t) là hàm số nghịch biến trên đoạn này. 2 ê ú t ë2 û - 3 -
4. 1 9 1 Từ đó có GTLN của H(t) trên đoạn ; 1 là khi: t = , còn GTNN trên đoạn 2 2 2 này của H(t) bằng 4 khi: t = 1. 9 Đáp số: max(H) = x; y 1;2 ; min(H) = 4 x y (với 1 x, y 2). 2 Ví dụ 3. ( CĐ Khối A, B – 2008 ). Cho x, y là số thực thỏa mãn x2 y2 2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2(x3 y3 ) 3xy Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết x2 y2 2 . Có thể đưa bài toán về một ẩn không? - Ta nghĩ tới hằng đẳng thức x2 y2 (x y)2 2xy; x3 y3 (x y)(x2 xy y2 ) . - Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất hiện x2 y2 để sử dụng giả thiết. - Biến đổi biểu thức P và thế vào x2 y2 2 ta có : P 2(x y)(x2 xy y2 ) 3xy = 2(x y)(2 xy) 3xy (x y)2 2 - Từ giả thiết (x y)2 2xy 2 xy . 2 Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa P về hàm một biến số nếu ta đặt : t x y . (x y)2 Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: x2 y2 . 2 Lời giải Ta có : P 2(x y)(x2 xy y2 ) 3xy = 2(x y)(2 xy) 3xy (x y)2 2 Ta có : xy , vì thế sau khi đặt t x y thì: 2 t 2 2 t 2 2 3 P(t) 2t(2 ) 3 t3 t 2 6t 3 2 2 2 (x y)2 Ta có x2 y2 (x y)2 4 2 t 2 . 2 3 Xét hàm số P(t) t3 t 2 6t 3 với 2 t 2 . 2 2 t 1 Ta có P '(t) 3t 3t 6. P '(t) 0 t 2 Ta có bảng biến thiên như sau t -2 1 2 P’(t) + 0 - 13/2 P(t) -7 1 Vậy : - 4 -
5. 1 3 1 3 x ; y 13 2 2 min P(t) P( 2) 7 khi x y 1 max P(t) P(1)  2;2  2;2 2 1 3 1 3 x ; y 2 2 Ví dụ 4. ( ĐH Khối D – 2009 )Cho x 0, y 0 và x y 1.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : S (4x2 3y)(4y2 3x) 25xy Hoạt động khám phá : - Từ giả thiết x y 1 có thể đưa bài toán về một ẩn không ? - Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện x y để sử dụng giả thiết. - Chú ý các hằng đẳng thức : x2 y2 (x y)2 2xy x3 y3 (x y)(x2 xy y2 ) Sau khi khai triển và thế vào x y 1 , ta có : S 16x2 y2 2xy 12 - Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa S về hàm một biến số nếu ta đặt : t xy (x y)2 - Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức : 0 xy . 4 Lời giải. Ta có : S (4x2 3y)(4y2 3x) 25xy 16x2 y2 12(x3 y3 ) 34xy 16x2 y2 12(x y)(x2 xy y2 ) 34xy 16x2 y2 12[(x y)2 3xy] 34xy, do x y 1 16x2 y2 2xy 12 (x y)2 1 1 Đặt t xy . Do x 0; y 0 nên 0 xy 0 t 4 4 4 1 Xét hàm số f (t) 16t 2 2t 12 với 0 t . 4 1 Ta có f '(t) 32t 2. f '(t) 0 t . 16 Bảng biến thiên t 0 1/16 1/4 f(t) - 0 + 12 25/2 f(t) 191/16 Vậy : 1 191 2 3 2 3 2 3 2 3 min f (t) f ( ) khi x ; y hoặc x ; y 1 0; 16 16 4 4 4 4 4 - 5 -
6. 1 25 1 max f (t) f ( ) khi x y . 1 0; 4 2 2 4 Ví dụ 5 (ĐH Khối B – 2009). Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A 3(x4 y4 x2 y2 ) 2(x2 y2 ) 1. Với x, y là các số thỏa mãn điều kiện : (x y)3 4xy 2 . Hoạt động khám phá : - Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để sử dụng dễ dàng hơn. Chú ý hằng đẳng thức : x2 y2 (x y)2 2xy x3 y3 (x y)(x2 xy y2 ) Và (x y)2 4xy . Khi đó điều kiện bài toán trở thành : x y 1 Ta biến đổi được A như sau : A 3(x4 y4 x2 y2 ) 2(x2 y2 ) 1 3 3 (x2 y2 )2 (x4 y4 ) 2(x2 y2 ) 1 2 2 3 3(x2 y2 )2 (x2 y2 )2 2(x2 y2 ) 1 2 4 (x2 y2 )2 ( do x4 y4 ) 2 9 Hay A (x2 y2 )2 2(x2 y2 ) 1. 4 - Vì vậy ta có thể nghĩ đến việc đưa A về hàm một biến bằng cách đặt t x2 y2 . (x y)2 - Tìm điều kiện của biến t ta sử dụng bất đẳng thức x2 y2 . 2 Lời giải. Ta luôn có kết quả : (x y)2 4xy , từ đó ta có : (x y)3 4xy 2 (x y)3 (x y)2 (x y)3 4xy 2 (x y)3 (x y)2 2 2 (x y) 1 (x y) (x y) 2 0 (x y) 1 0 2 2 1 7 Do (x y) (x y) 2 (x y) 0,x, y 2 4 Bài toán được đưa về tìm max, min của : A 3(x4 y4 x2 y2 ) 2(x2 y2 ) 1 Với x, y thỏa mãn x y 1. Ta biến đổi biểu thức A như sau : 3 3 A 3(x4 y4 x2 y2 ) 2(x2 y2 ) 1 (x2 y2 )2 (x4 y4 ) 2(x2 y2 ) 1 2 2 - 6 -
7. 3 3(x2 y2 )2 (x2 y2 )2 2(x2 y2 ) 1 2 4 (x2 y2 )2 ( do x4 y4 ) 2 9 Hay A (x2 y2 )2 2(x2 y2 ) 1. 4 (x y)2 1 Vì x2 y2 ( do x y 1) nên x2 y2 . 2 2 9 1 Đặt t x2 y2 . Ta có hàm số f (t) t 2 2t 1 với t . 4 2 9 f '(t) t 2 2 4 f '(t) 0 t 9 Ta có bảng biến thiên như sau : t 4/9 1/2 f '(t) + f (t) 9 16 1 9 1 Vậy min f (t) f ( ) đạt được khi t 1 t 2 16 2 2 9 1 9 Suy ra A . Mặt khác, ta dễ thấy x y thì A . 16 2 16 9 1 Kết luận : min A khi x y và không có giá trị lớn nhất. 16 2 Ví dụ 6. (ĐH Khối A- 2006). Cho hai số thực x, y 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện (x y)xy x2 y2 xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 A x3 y3 Hướng dẫn: 1 1 x3 y3 (x y)(x2 xy y2 ) x y 1 1 A ( )2 ( )2 . x3 y3 x3 y3 x3 y3 xy x y Đặt x ty . Từ giả thiết ta có: (x y)xy x2 y2 xy (t 1)ty3 (t 2 t 1)y2 t 2 t 1 t 2 t 1 Do đó y ; x ty . t 2 t t 1 2 2 1 1 t 2 2t 1 Từ đó A 2 . x y t t 1 - 7 -