Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp cực trị để xét phương trình, bất phương trình

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp cực trị để xét phương trình, bất phương trình

1. I. Lý do chọn đề tài Ta đã biết rằng bài toán tìm điều kiện về tính chất nghiên cứu phương trình, bất phương trình thường xuất hiện trong các kỳ thi đại học và khi chương sách giáo khoa bỏ định lý đảo về dấu tam thức bậc hai thì bài toán thuộc tuyến truên mất đi một công cụ để giải. Tuy nhiên nếu phân tích vấn đề một cách cẩn thận thì tuyến vẫn đề đó có thể giải quyết bằng phương pháp cực trị tương đối hiệu quả. Và thực tế giải bằng phương pháp cực trị cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn hơn. Mặt khác hướng dẫn học sinh bằng phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất tư duy như phát triển tương khái quát hoá, tư duy hàm, tư duy phân tích tổng hợp từ việc phân tích ở trên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Sử dụng phương pháp cục trị để xét phương trình, bất phương trình”. II. Nội dung nghiên cứu A. Lý thuyết 1. Phương trình f(x) = m có nghiệm trên D  min f (x) m max f (x) D D 2. Bất phương trình f(x) m có nghiệm trên D m max f (x) D 3. Bất phương trình : f(x) m có nghiệm đúng x+D m min f (x) D 4. Bất phương trình : f(x) m vô nghiệm trên D m max f (x) D 5. Bất phương trình m > f(x) có nghiệm x+ D m min f (x) D 6. Bất phương trình : f(x) > m có nghiệm đúng x+D m max f (x) D 7. Bất phương trình : m > f(x) vô nghiệm trên D m min f (x) 1
2. (Với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên D) B. Bài toán Bài toán 1: Tìm m để phương trình x2 – 2x = m có nghiệm x [ 0; 1] Giải: Xét hàm số f(x) = x2 – 2x Là hàm số liên tục trên [0;1] từ bảng biến thiên của hàm số f(x) trên [0;1] Ta có : maxf(x) = 0 ; min f(x) = - 1 [0 ; 1] [0; 1] Vậy điều cận cần và đủ để phương trình có nghiệm trên [0; 1] là 1 m 0 Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình 4x – x2 m nghiệm đúng x [0; 5] 2 Giải: Xét hàm số f(x) = 4x – x là hàm số bậc hai, biến x: b Có 4 Ta có f(0) = 0; f(4) = 0; f(5) = -5 2a Bất phương trình nghiệm đúng x [0; 5] Đáp số : m - 5 Bài toán 3: Tìm điều kiện cho m để bất phương trình mx4 – 4x + m 0 nghiệm đúng x R Giải vắn tắt : 4x Bất phương trình  m g(x) x 4 1 Bằng phương pháp đạo hàm xét hàm 4x G(x) = ; Ta có : max g(x) 4 27 x 4 1 R Do đó bất phương trình nghiệm đúng x R điều kiện cần và đủ là : m max g(x) 4 27 R Đáp số : m 4 27 Bài toán 4: Tìm tất cả các giá trị của m để x [0; 2] đều là nghiệm của bất phương trình 2 2 log 2 x 2x m 4 log 4 (x 2x m) 5 2
3. Giải : Điều kiện (x 2 2x m) 1 2 2 Bất phương trình  log 2 x 2x m 4 log 4 (x 2x m) 5 2 Đặt t = log 4 (x 2x m) 5;t 0 Bất phương trình trở thành : t2 + 4t – 5 0  - 5 t t Kết hợp với t 0 Ta có : 0 t 1 2 Suy ra : 0 log 4 (x 2x m) 1 x 2 2x m 1 x 2 2x 1 m   x 2 2x m 4 x 2 2x 4 m Bất phương trình nghiệm đúng x [0; 2] khi và chỉ khi min(x 2 2x) 1 m [0;2] y max(x 2 2x) 4 m [0;2] 1 1 m  (Xem hình bên) 0 4 m  2 m 4 0 2 x -1 Bài toán 5: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm 3 X3 + 3x2 – 1 a ( x x 1) (1) Giải vắn tắt: 3 + Do x x 1 0 nên (5)  (x3 + 3x2 – 1) ( x x 1) a (2) TXĐ của (2) là : x 1 + Hai hàm số : f(x) = x3 + 3x2 –1 và g(x) = x x 1 đều dương và đống biến khi : x 1 => Hàm số h(x) = x3 + 3x2 –1 ( x x 1) 3 Đồng biến khi x 1 => min h(x) h(1) 3 x 1 3
4. Vậy (2) có nghiệm khi và chỉ khi : a min h(2) 3 x 1 Đáp số : a 3 2 Bài toán 6: Cho hàm số f(x) = (m – 1) 6 x - 2m 1 tìm m để bất phương 6 x trình (x – 61-x) . f(x) 0 x [0; 1] Giải vắn tắt : + Với x = 1 thì bất phương trình thoả mãn không phụ thuộc vào m, nên chỉ cần tìm m để bất phương trình thoả mãn x [0; 1] 1 Lưu ý : h(x) = x – 61-x =x – 6 ( ( ) x 6 là hàm đồng biến trên [0; 1] và h(1) = 0 => h(x) < 0 x [0; 1] Do đó chỉ cần tìm ra m để g(x) 0 x [0; 1] t 2 t 2 Đặt t = 6 [0; 6] Ta có : m g(x) Với t [0; 6] t 2 2t 1 Lập bảng biến thiên g(t) trên [1 ; 6] ta có kết quả min g(t) [1;6] 2 1 Đáp số : m 2 Bài toán 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( x 1 3 x (x 1)(3 x) m Giải : Đặt t = x 1 3 x thì 2 t 2 2 + Khi đó phương trình trở thành t 2 f(x) = t 2 m 2 Lập bảng biến thiên của f(t) với 2 t 2 2 Ta có : min f (t) 2 2 2 [2;2 2 ] max f (t') 2 [2;2 2 ] 4
5. Vậy phương trình có nghiệm  2 2 2 m 2 Bài toán 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x3 – 3x + m – 2 - x 3 3x 0 (1) Giải : 3x 2 2 Đặt t = x 3 3x;t' 0 2 x 3 3x t(-1) = 2;t(0) 0 => 0 t 2 (1) => t2 + m – 2 – t = 0 m = -t2 + t + 2 = f(t) => f’(t) = -2t + 1 ; f’(t) = 0  t = 1/2 Bảng biến thiên: T 0 1/2 2 f’ + 0 - f 9/4 2 2 9 => max f (t) ; min f (t) 2 [0;2] 4 [0;2] 9 Đáp số : m [ 2; ] 4 Bài toán 9: Tìm m để phương trình x 1 1 x 2 1 x 2 m 2 0 (1) Vô nghiệm Giải: Đặt t = x 1 1 x với x [-1;1] 1 1 t’ = 0 2 x 1 2 1 x  x + 1 = 1 – x  x = 0 t(-1) = t(1) = 2 t(1) = 2 => t [ 2;2] Với t2 = 2 + 2 1 x 2 (1) trở thành : t + t2 – 2 – m + 2 = 0 5
6.  m = t2 + t = f(t) => f’(t) = 2t + 1> 0  t [ 2;2] ; f( 2 ) = 2 + 2 ; f(2) = 6 => min f (t) 2 2; max f (t) 6 [ 2;2] [ 2;2] Vậy phương trình có nghiệm  m [ 2 + 2 ; 6] Phương trình vô nghiệm  m (- ;2 2)  (6; ) Đáp số : m (- ;2 2)  (6; ) Bài toán 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Sin4x + cos4x + sin2x + m = 0 Giải vắn tắt : Phương trình  Sin22x – 2sin2x – 2(m+1) = 0 Đặt t = sin 2x ; [t] 1 => t2 – 2t – 2 (m + 1) = 0 1  m = t 2 t 1 g(t) 2 Ta có : g(-1) = 1/2 ; g(1) = -3/2 ; g(1/4) = -39/32 1 3 => max g(t) ; min g(t) [ 1;1] 2 [ 1;1] 2 3 1 Đáp số : m 2 2 Các bài toán tự giải Bài 1: Tìm m để phương trình: x2 – mx + 2m – 1 = 0 Có nghiệm x (0; 1) Bài 2: Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng x R (x2 + 4x + 3) (x2 + 4x + 6) a Bài 3: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm Phân biệt [0; 2] 2 2 4 x 2x 2 x 2x 1 m 0 6
7. Bài 4: Tìm m để phương trình x4 - 2x3 + mx2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm x (0; 1) Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm x4 + 4x3 + (m+4)x2 + 2mx2 + 2m 0 III. Kết luận Trên đây là một sáng kiến nhỏ của chúng tôi mong các bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung cho đề tài hoàn thiện hơn. Nghi Lộc, ngày 20 tháng 5 năm 2009 Người thực hiện Nguyễn Văn Nho 7