Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hình học để giải một vài bài toán đại số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hình học để giải một vài bài toán đại số

1. Chuyên đề Đại số trong hình học Đào chí Thanh CVP SỬ DỤNG HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Để giải một bài toán thông thường ta hay gắn bài toán đó vào một dạng bài tập nào đó, sau đó sử dụng các kiến thức đã biết về dạng toán đó.Nếu bài toán đó ở phân môn đại số thì ta thường nghĩ đến các phương pháp của đai số để giải nó Từ đó, ta có thể giải bài toán .Song nếu để ý kỹ hơn thì một số bài toán đại số có thể giải bằng phương pháp hình học và cách giải của nó rất trong sáng .Để làm rõ thêm vấn đề này, tôi có một vài ví dụ sau. 1.Hệ phương trình Ví dụ 1 : Tìm ba số dương x; y ; z thoã mãn: x2 xy y2 4 2 2 y zy z 9 2 2 z xz x 36 Nhìn vào biểu thức ở vế trái ta thấy nó giống công thức cô sin trong tam giác.Trong tam giác ABC Xét điểm O ở A trong △ ABC sao cho : x = OA > 0 . y = OB >0; z = OC 0 0 > 0 góc giữa OA,OB = 120 . ( OC,OB) = 120 (OA,OC) x = 1200 như hình vẽ ( O là điêm Tolicelli) Theo ĐL cosin Ta có : AC2 = x2 + z2 + xz = 36 hay AC = 6 AB2 = x2 + y2 + xy = 4 hay AB = 2 BC2 = y2 + z2 + yz = 9 hay BC = 3 Nhưng AC > AB + BC nên không tồn tại x,y, z dương thoả O z mãn ĐK bài toán . y Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình sau : C 3xy 10y 3 B 2 2 2 2 (x 2) (y 4) (x 5) (y 8) 5 Xét các điểm A( 2;4) ;B(5;8) , M(x;y) thì MA = (x 2)2 (y 4)2 MB (x 5)2 (y 8)2 Rõ ràng với ba điểm A,B,M tuỳ ý ta có MA + MB AB = 5 x 2 y 8 Dầu bằng khi 4x 3y 4 0 x 5 y 4 4x 3y 4 0 Vậy ta có hệ : giải hệ này ta có : nghiệm của hệ x = 3,5; y = 6 3xy 10y 3 Ví dụ 3 : (AN NINH -1999) Giải hệ phương trình 2 2 x x y 1 x y x y 1 y 18 2 2 x x y 1 x y x y 1 y 2 x y 8 Giải: Ta có hệ tương dương với 2 2 x 9 y 9 10 xét véc tơ a = (x;3) ; b = (y;3) ;khi đó a + b = (x + y; 6) 2 2 mà ∣ a ∣ + ∣ b ∣ ∣ a + b ∣ x 9 y 9 10 dấu bằng xảy ra khi x = y = 4
2. Chuyên đề Đại số trong hình học Đào chí Thanh CVP Vậy hệ có nghiệm (4;4) Ví dụ 4 : (Olimpic 30 – 4 - 2000) Cho x, y ,z dương thoả mãn 3x2 3xy y2 75 2 2 y 3z 63 Tìm giá trị : S = xy +2yz + 3zx 2 2 z xz x 48 Xét các △ OAB ;△ OBC; OCA có OA = z 3 ; OB = y ; OC = x 3 ; góc AOB = 900; BOC = 1500; COA = 1200 thì △ ABC có AB 3 7 ;BC 5 3 ;AC 4 3 . Lại có S△ OAB + S△ OAC +S△ OCB = S△ CAB Nên S = xy +2yz +3zx = 60 Ví dụ 5 : (Olimpic Liên xô 1984) Cho x, y ,z dương thoả mãn 2 2 y x xy 25 3 2 y 2 z 16 Tìm giá trị : S = xy +2yz + 3zx 3 z2 xz x2 9 Làm như VD trên ta có S = 24 3 Ví dụ 6 : Tìm a để hệ sau có số nghiệm nhiều nhất. x 1 y 1 1 2 2 4 x y a Giải : Ta thấy khi a 0 Thì phương trình đầu của hệ A được biểu diễn là hình vuông ABCD C phương trình sau là đường tròn tâm O -5 B 5 bán kính a Qua đồ thị ta thấy hệ có nhiều nghiệm -2 3 2 nhất khi OH < R < OD hay a 5 2 x 2 y 2 x 0 Ví dụ 7: Cho hệ phương trình : x ay a 0 Gọi (x1;y1);(x2;y2) là các nghiệm của hệ phương trình trên .Chứng minh rằng 2 2 1 (x2 – x1 ) + (y2 – y1 ) Giải 4 Ta thấy hệ phương trình trên có dạng • phương trình đấu là đường tròn tâm 2 I(1/2 ; 0); R = ½ • phương trình sau là đường thẳng luôn qua điểm A(0;1) -5 5 -2 -4
3. Chuyên đề Đại số trong hình học Đào chí Thanh CVP • Để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì khoảng cách từ tâm đến đường thẳng nhỏ hơn R hay 0 5 (đúng ) x2 4x 2 16 x2 x 2 16 16 4 Khi x > 0 xét các △ ACD; CDB có CD = x ; CA = 3;CB = 4 các góc  ACD = 450;  BCD = 450 như hình vẽ khi đó theo ĐL côsin ta có D 2 2 AD = x 3x 2 9 ; BD = x 4x 2 16 A Trong △ ABD thì AD + DB AB E Hay x2 3x 2 9 x2 4x 2 16 5 Dấu bằng khi D trên đoạn AB 3 5 Ví dụ 11 : Chứng minh rằng : với mọi x Ta có D 4x2 x(1 5)2 6 2 5 4x2 2x(1 5)2 4 1 5 x 5 1 ta thấy sin180 = (Dễ dàng c/m) 2 C 4 B 5 1 Ta nghĩ đến các tam giác có cạnh liên quan đến giá trị = cos 360 2
4. Chuyên đề Đại số trong hình học Đào chí Thanh CVP 5 1 Xét △ ABC có BC =1; AB =AC = y,  BAC =  BCA = 720 thì y2 = y2 + 1 – 2y vậy y = 2 5 1 2 Đặt CD = x ; theo ĐL cosin trong tam giác BCD; ACD ta có 2 5 1 2 5 1 5 1 1 2 2 BD = x 2x . 6 2 5 4x x(1 5) 2 2 4 2 5 1 1 AD = 1 x2 2x. 4 4x2 2x(1 5) B 4 2 Dễ thấy BD + AD AB 1 1 5 1 D Hay 6 2 5 4x2 x(1 5)2 + 4 4x2 2x(1 5) 2 2 2 y y Bài Tập1 Tìm ĐK của ba số dương a,b,c để hệ phương trình 2 2 2 1 x xy y a C A 2 2 2 y zy z b có nghiệm dương . 2 2 2 z xz x c Khi đó hãy xác định nghiệm của phương trình Bài 2: Cho x, y ,z dương thoả mãn : x2 y2 16 2 2 y z 48 Tính tổng S = xy + yz 2 y xz Bài tập 3: Chứng minh rằng x2 5x 2 25 x2 12x 2 144 13 (1) x2 8x 2 64 x2 15x 2 225 17 (2) a 2 ax 2 x2 x2 xb 2 b2 a 2 b2 (3) (  450 ) x2 3x 3 9 x2 4x 16 5 ( 300 ; 600 ) x2 2ax cos a 2 x2 bx cos b2 a 2 b2 (  900 ) Bài tập 4 :Tìm gía trị nhỏ nhất của S = x2 y2 (x 4)2 (y 3)2 Với ĐK : x – y – 3 = 0 (Đ/s : 37 )