Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện học sinh Lớp 11 kĩ năng giải phương trình lượng giác

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện học sinh Lớp 11 kĩ năng giải phương trình lượng giác

1. Rèn luyện học sinh lớp 11 kĩ năng giải phương trình lượng giác I. TÊN ĐỀ TÀI. RÈN LUYỆN HỌC SINH LỚP 11 KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II. ĐẶT VẤN ĐỀ. Phương trình lượng giác (PTLG) là kiến thức rất quan trọng trong chương trình môn Toán trung học phổ thông nói chung và trong chương trình môn toán lớp 11 nói riêng. Trong các đề thi Đại học và Cao đẳng, phương trình lượng giác luôn có mặt. Tuy nhiên, đứng trước một phương trình lượng giác học sinh thường lúng túng không biết giải bằng cách nào hay dùng công thức nào để giải. Vì vậy, để học tốt phần này, ngoài việc đòi hỏi học sinh phải có một kĩ năng biến đổi lượng giác thành thạo, mà còn đòi hỏi các em phải biết nhận xét, quan sát, sử dụng công thức lượng giác phù hợp để có hướng biến đổi đúng đắn nhằm đưa một PTLG đã cho về một PTLG đơn giản hơn. Vì vậy, trong những năm dạy môn Toán ở các lớp 11 nâng cao, tôi luôn suy nghĩ là làm thế nào để giúp các em có được một kĩ năng giải PTLG. Với suy nghĩ đó, đứng trước một PTLG tôi luôn tập các em phải biết quan sát, nhận xét về mối liên hệ giữa các góc cung và các hàm số lượng giác có mặt trong phương trình, từ đó sử dụng công thức lượng giác phù hợp để tìm ra lời giải. Giới hạn nghiên cứu đề tài: - Các dạng phương trình lượng giác: Cơ bản và Nâng cao. - Một số phương trình lượng giác trong kì thi Đại học – Cao đẳng. III. CƠ SỞ LÍ LUẬN. Nhiệm vụ trọng tâm ở trường THPT là hoạt động dạy của Thầy và hoạt động học của Trò. Đối với người thầy, việc giúp học sinh nắm vững những kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn Toán học là việc làm rất cần thiết. Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt. Vì vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần giúp cho học sinh cách học và biết sử dụng các kiến thức đã học vào từng bài toán cụ thể. Mục đích là làm cho học sinh khi đứng trước một bài toán, các em biết cách phân tích, nhận dạng, biết chuyển bài toán mới về bài toán đơn giản hơn hoặc một bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Đối với bài toán giải PTLG cũng vậy, khi dạy học sinh phần này, ngoài việc phải trang bị cho các em những kiến GV thực hiện: Nguyễn Văn Việt Trang 1
2. Rèn luyện học sinh lớp 11 kĩ năng giải phương trình lượng giác thức cần thiết và phương pháp giải những dạng PTLG thường gặp, bên cạnh đó giáo viên cần phải dạy các em cách nhận dạng một bài toán, biết phân tích các yếu tố về cung góc, biết nhận xét về các hàm số lượng giác có mặt trong mỗi bài toán để từ đó có thể có các bước biến đổi phù hợp nhằm đưa bài toán cần giải quyết về một bài toán đơn giản hơn. IV. CƠ SỞ THỰC TIỄN. Xuất phát từ thực tế giảng dạy phân môn Giải tích lớp 11. Cụ thể chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Đối với phần PTLG, mục tiêu của chương là học sinh biết cách tìm nghiệm của PTLG cơ bản và phương pháp giải một số dạng PTLG đơn giản. Về kĩ năng, học sinh phải biết giải một số dạng PTLG không quá phức tạp có thể quy được về phương trình lượng giác đã biết cách giải. Tuy nhiên, trong thực tế các PTLG trong các đề thi Đại học khá phức tạp. Vì vậy, để học sinh học tốt phần này, ngoài việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi lượng giác thật thành thạo, giáo viên cần phải dạy học sinh cách sử dụng các công thác đã học vào việc giải phương trình lượng giác như thế nào cho phù hợp. V. NỘI DUNG. Trước khi bắt tay vào việc giải phương trình lượng giác, các em phải thuộc lòng tất cả các công thức lượng giác đã học và phải có kĩ năng biến đổi lượng giác thành thạo. Tiếp đến, các em phải nắm vững công thức nghiệm của các PTLG cơ bản và nắm vững phương pháp giải các PTLG thường gặp. Ngoài những PTLG thường gặp mà học sinh đã được học và đã có cách giải riêng cho từng loại, các em sẽ gặp phải một lớp các phương trình không nằm trong các dạng thường gặp, đó là PTLG không mẫu mực. Trong quá trình dạy phần này cho học sinh, tôi đặc biệt quan tâm đến việc phân tích các yếu tố về cung, góc và các hàm số lượng giác có mặt trong PTLG để từ đó hướng dẫn các em nên sử dụng các công thức lượng giác nào cho phù hợp. GV thực hiện: Nguyễn Văn Việt Trang 2
3. Rèn luyện học sinh lớp 11 kĩ năng giải phương trình lượng giác CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG   Công thức cơ bản sin x ● sin2 x + cos2 x = 1 ● tan x.cot x = 1 ● tan x = cosx cosx 1 1 ● cot x = ● 1+ tan2 x = ● 1+ cot 2 x = sin x cos2x sin2 x  Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba é 2 2 êcos x - sin x ● sin2x = 2sin x.cosx ● cos2x = ê2cos2 x - 1 = 1- 2sin2 x ëê 1- cos2x 1+ cos2x ● sin2 x = ● cos2x = 2 2 ● sin 3x = 3sin x - 4sin3 x ● cos3x = 4cos3 x - 3cosx  Công thức cộng cung ● sin(a ± b)= sin a.cosb ± cosa.sin b ● cos(a ± b)= cosa.cosb m sin a.sin b tan a + tan b tan a - tan b ● tan(a + b)= ● tan(a - b)= 1- tan a.tan b 1+ tan a.tan b æ ö æ ö çπ ÷ 1+ tan x çπ ÷ 1- tan x ● tanç + x÷= ● tanç - x÷= èç4 ø÷ 1- tan x èç4 ø÷ 1+ tan x  Công thức biến đổi tổng thành tích a + b a - b a + b a - b ● cosa + cosb = 2cos .cos ● cosa - cosb = - 2sin .sin 2 2 2 2 a + b a - b a + b a - b ● sin a + sin b = 2sin .cos ● sin a - sin b = 2cos .sin 2 2 2 2 sin(a + b) sin(a - b) ● tan a + tan b = ● tan a - tan b = cosa.cosb cosa.cosb  Công thức biến đổi tích thành tổng cos(a + b)+ cos(a - b) ● cosa.cosb = 2 sin(a + b)+ sin(a - b) ● sin a.cosb = 2 cos(a - b)- cos(a + b) ● sin a.sin b = 2  Một số công thức thông dụng khác GV thực hiện: Nguyễn Văn Việt Trang 3
4. Rèn luyện học sinh lớp 11 kĩ năng giải phương trình lượng giác æ ö æ ö ç π÷ ç π÷ ● sinx + cosx = 2sinçx + ÷= 2cosçx - ÷ èç 4ø÷ èç 4ø÷ æ ö æ ö ç π÷ ç π÷ ● sinx - cosx = 2sinçx - ÷= 2cosçx + ÷ èç 4ø÷ èç 4ø÷ 1 3+ cos4x ● cos4 x + sin4 x = 1- sin2 2x = 2 4 3 5+ 3cos4x ● cos6 x + sin6 x = 1- sin2 2x = 4 8 Để giải được phương trình lượng giác, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: "Phương trình lượng giác"  Một số lưu ý: ésin x = a  Điều kiện có nghiệm của phương trình ê là: - 1 £ a £ 1 . êcosx = a ëê  Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cot , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. p Phương trình chứa tan x , điều kiện: cosx ¹ 0 Û x ¹ + kp (k Î ¢ ). 2 Phương trình chứa cot x , điều kiện: sin x ¹ 0 Û x ¹ kp (k Î ¢ ). p Phương trình chứa cả tan x và cot x , điều kiện: x ¹ k. (k Î ¢ ). 2  Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều kiện: Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm. Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm. Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc k2p æ k.3600 ö ¼ ç 0 ÷ + lượng giác AM có số đo là a + çhay a + ÷ với k Î ¢,n Î ¥ thì n èç n ø÷ có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau". GV thực hiện: Nguyễn Văn Việt Trang 4
5. Rèn luyện học sinh lớp 11 kĩ năng giải phương trình lượng giác p p Ví dụ 1: Nếu sđ A¼M = + k2p thì có một điểm M tại vị trí (ta chọn 3 3 k = 0). p p 7p Ví dụ 2: Nếu sđ A¼M = + kp thì có 2 điểm M tại vị trí và (ta chọn 6 6 6 k = 0,k = 1). p 2p p 11p Ví dụ 3: Nếu sđ A¼M = + k. thì có 3 điểm M tại các vị trí ; và 4 3 4 12 19p , (k = 0;1;2). 12 p p p k2p p Ví dụ 4: Nếu sđ A¼M = + k. = + thì có 4 điểm M tại các vị trí , 4 2 4 4 4 3p 5p 7p , ; (ứng với các vị trí k = 0,1,2,3). 4 4 4 p p Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x = - + kp và x = + kp 6 3 p Biểu diễn cung x = - + kp trên đường tròn thì có 2 điểm tại các 6 p 5p vị trí:- và 6 6 p Biểu diễn cung x = + kp trên đường tròn thì có 3 /3 5 /6 p 4p 2 điểm tại các vị trí: và . 3 3 Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và O p p cung tổng hợp là: x = + k – /6 3 2 é 4 /3 é 1 1 êcos2 x = êcosx = ± ê ê  Đối với phương trình 2 Û ê 2 ta không nên giải ê ê ê 2 1 1 êsin x = êsin x = ± ë 2 ëê 2 trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là: é 1 êcos2 x = é 2 é ê 2cos x - 1 = 0 cos2x = 0 2 Û ê Û ê ê ê 2 ê . Tương tự đối với phương trình ê 2 1 ê2sin x - 1 = 0 êcos2x = 0 êsin x = ë ë ë 2 GV thực hiện: Nguyễn Văn Việt Trang 5
6. Rèn luyện học sinh lớp 11 kĩ năng giải phương trình lượng giác ésin2 x = 1 ésin x = ± 1 ê Û ê ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào êcos2 x = 1 êcosx = ± 1 ëê ëê ésin2 x = 1 écos2 x = 0 écosx = 0 công thức sin2 x + cos2 x = 1. Lúc đó: ê Û ê Û ê êcos2 x = 1 êsin2 x = 0 êsin x = 0 ëê ëê ëê  Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo '' Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác. Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là cos(- a )= cosa , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: sin(- a )= - sina, tan(- a )= - tana, cot (- a )= - tana Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là sin(p - a )= sina , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: cos(p - a )= - cosa, tan(p - a )= - tana, cot (p - a )= - tana Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là: æ ö æ ö æ ö æ ö çp ÷ çp ÷ çp ÷ çp ÷ sinç - a÷= cosa, cosç - a÷= sina, tanç - a÷= cot a, cot ç - a÷= tana èç2 ø÷ èç2 ø÷ èç2 ø÷ èç2 ø÷ Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: Giải phương trình lượng giác: sin u = cosv Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình sin u = sin v , vậy còn phương trình sin u = cosv thì sao ? æ ö çp ÷ Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u = cosv Û sin u = sinç - v÷ èç2 ø÷ p p u = - v + k2p Ú u = + v + k2p , (k Î ¢ ). 2 2 Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như æ ö ç2p ÷ sin x = cosç - x÷ èç 3 ø÷ thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa. GV thực hiện: Nguyễn Văn Việt Trang 6