Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập Đại số Lớp 8

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập Đại số Lớp 8

1. GPHI: Rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đại số lớp 8 A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn giải pháp: Như chúng ta đã biết, môn toán là môn học giúp cho học sinh phát triển tư duy, tính trừu tượng, đòi hỏi học sinh phải biết phán đoán, lập luận, suy luận chặt chẽ, là môn học “thể thao của trí tuệ”. Để nắm bắt và vận dụng được các kiến thức đã học đòi hỏi các em phải biết phân tích, tìm tòi, phán đoán từ đó môn toán đã rèn luyện cho các em trí thông minh sáng tạo. Qua thực tế giảng dạy môn đại số 8, phần lớn học sinh thuộc bảy hằng đẳng thức đáng nhớ nhưng trong thực hành về chiều rộng lẫn chiều sâu thì học sinh không vận dụng được đi đến kết quả như mong muốn. Đối với chương trình Toán 8 ngoài việc lĩnh hội các kiến thức mới học sinh còn phải có kỹ năng vận dụng các lớp dưới một cách nhuần nhuyễn linh hoạt và sáng tạo thì mới có thể làm tốt các bài tập theo yêu cầu. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số 8. Nó theo suốt quãng đường học tập của các em. Nhờ những hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em thực hiện giải toán được chính xác và nhanh hơn. Cũng nhờ đó mà các em có thể phân tích đa thức thành nhân tử một cách hợp lý. Trong quá trình giảng dạy môn đại số lớp 8, tôi nhận thấy ở học sinh kỹ năng vận dụng " bảy hằng đẳng thức đáng nhớ" còn yếu, chưa linh hoạt dẫn đến vận dụng kỹ năng này trong phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức v.v còn chưa thành thạo hoặc sai sót. Để vận dụng được một cách nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán đòi hỏi các em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận hợp lôgíc từ đó mà nó có tác dụng bồi dưỡng các em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tòi kiến thức. Do đó, tôi thấy rằng việc áp dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào làm bài tập rất khó bởi vì các em mới tiếp xúc với bảy hằng đẳng thức đáng nhớ cho nên việc vân dụng vào làm các dạng bài tập là không đơn giản một chút nào đối với học sinh, học sinh còn yếu về kỹ năng làm bài . Môn toán nói chung, bảy hằng đẳng thức nói riêng được vận dụng rất nhiều trong việc giải toán ở bậc trung học cơ sở. Nắm được cách vận dụng bảy hằng đẳng thức sẽ có nhiều lợi ích vào các lớp trên nhất là đối với môn đại số lớp 8. Vận dụng của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ rất nhiều mà học sinh chưa nắm được phương pháp, do đó các em chưa thật sự đam mê mà học tập còn gượng ép. Hình thành được khả năng vận dụng được bảy hằng đẳng thức là tiên đề học môn đại số, tạo căn bản để học lên những lớp trên. Từ đó việc học môn toán cũng sẽ nhẹ nhàng như học các môn khác. Vì vậy tôi chọn giải pháp này nhằm mục đích nâng cao chất lượng các tiết luyện tập môn Đại số 8 trong trường PTDT NT Bảo Lâm. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu : • Đối với giáo viên: + Nghiên cứu tài liệu về đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học cơ sở. + Tìm hiểu thực trạng học sinh lớp 8 + Đưa ra những yêu cầu của một lời giải, chỉ ra được sai lầm học sinh thường mắc phải. + Phân loại được các dạng toán và hình thành kỹ năng giải. + Đề xuất một vài biện pháp và khảo nghiệm tính khả thi sau khi đã vận dụng. Từ đó, giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng tính toán, tư duy ,hình thành những phẩm chất tư duy khoa học, giúp học sinh hứng thú trong học tập phát huy cao độ tính tư duy tích cực ,độc lập sáng tạo, năng lực hoạt động và tự học của học sinh. Giúp học sinh vận dụng được các hằng đẳng thức vào việc giải các bài toán cụ thể. GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 1
2. GPHI: Rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đại số lớp 8 II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: 1. Thuận lợi: • Về phía nhà trường: - Nhà trường và ban giám hiệu luôn quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi nhất để giáo viên có cơ hội giao lưu, học tập, trao đổi kinh nghiệm qua các buổi giao lưu với trường bạn, giao ban, các hội thi, thao giảng, v.v - Nhà trường trang bị đầy đủ cơ sở vật chất kỹ thuật phục vụ giảng dạy • Về phía chương trình: Phân phối chương trình hợp lý, đầy đủ phạm vi kiến thức trong một chương học. • Về phía học sinh: Đa số học sinh có ý thức học tập tốt , ngoan, nghe lời thầy cô giáo, các em được học tập, ăn ở tại trường nên có nhìu thời gian đầu tư vào việc học. • Về phía giáo viên: Các giáo viên có trình độ chuyên môn, có tinh thần trách nhiệm và tận tụy với học sinh. 2. Khó khăn: • Về phía nhà trường: Trường PTDTNT Bảo Lâm là một trường đặc thù với hơn 97% là học sinh dân tộc nhận thức còn chậm và không đồng đều, vốn ngôn ngữ toán học không phong phú học sinh khó khăn trong việc lập luận, suy diễn lôgic đã tạo nên thái độ miễn cưỡng, chán nản của các em, xấu hổ không giám thắc mắc. • Về phía chương trình: Trong chương trình cải cách sách giáo khoa hiện này thì không phải bất cứ người học nào cũng có thể đáp ứng dược hết các yêu cầu cầu sách đưa ra, đặc biệt trong phần Đại số 8, đặc thù của phần này có rất nhiều công thức , các công thức đễ nhầm lẫn, một số công thức khó nhớ đối với học sinh, trong quá trình dạy học lại thường bị tốn thời gian vào việc nhắc lại nhưng kiến thức cũ. • Về phía học sinh: + Một số em không có kiến thức cơ bản về toán học. + Khả năng nắm kiến thức mới của các em còn chậm. + Học sinh học tập một cách máy móc hay dựa vào bài mẫu chưa tự tin hình thành cho mình một phương pháp nhất định để giải một bài toán. + Còn một số học sinh xem nhẹ việc học tập, học là để đối phó. + Kỹ năng vận dụng lý thuyết (Sử dụng HĐT) vào bài tập của các em còn hạn chế. Từ đó, nhiều em không nắm được kiến thức cơ bản, làm bài tập về nhà chỉ để đối phó, lúng túng trong việc giải toán, đọc bài toán không biết giải bắt đầu từ đâu, hay đứng trước một bài toán không xác định được dạng bài; một số học sinh chưa có phương pháp học tập, chưa thích ứng với phương pháp mới chưa tích cực, linh hoạt, sáng tạo cả ở trên lớp hay khi ở nhà có thể nói là “sức ì” trong học sinh quá lớn. • Về phía giáo viên: Trong quá trình giảng dạy một lớp có rất đông học sinh thêm vào đó là thời gian hạn chế , vì vậy giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng dẫn đến kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, cách vận dụng hằng đẳng thức trong từng dạng bài toán học sinh còn lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán phải biến đổi biểu thức liên quan đến hằng đẳng thức. - Kết quả trước khi thực hiện giải pháp: GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 3
3. GPHI: Rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đại số lớp 8 b) Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì? Triển khai hằng đẳng thức, viết tổng thành tích, tìm x, cộng trừ, nhân, chia phân thức c) Định hướng giải một bài toán là làm cho học sinh nảy ra nhiều tình huống làm cho học sinh bối rối. Do đó giáo viên luôn lưu ý bài giải yêu cầu ta phải đi các bước nào, làm gì? Có dùng hằng đẳng thức hay không và sử dụng hằng đẳng thức nào thì hợp lý. Những thao tác đòi hỏi sự nhịp nhàng, hợp lý để bài toán được gọn gàng, đi đến kết quả nhanh, chính xác nhất. Lưu ý cách trình bày để bài giải toát lên nội dung cần truyền tải đến người xem. d) Giải một bài toán có dùng hằng đẳng thức nên rèn luyện nhiều tạo kỹ năng thực hành tốt. Đi từ bài đơn giản đến phức tạp. Sử dụng thành thạo, nâng cao khả năng suy luận, đòi hỏi phải kỹ lưỡng, Biết vận dụng các điều đã học vào trong bài giải để phân tích đề toán, nhận định được A;B để dễ dàng trong việc tính toán. Khi học môn toán nói chung, hằng đẳng thức nói riêng việc tâm huyết là điều cần thiết nhất. Giáo viên cần tạo cho học sinh phương pháp học toán, các em có sự đam mê và sự đam mê đó sẽ làm cho học sinh học toán nhẹ nhàng và vững niềm tin đi tiếp trong bước đường học vấn. Bảy hằng đẳng thức học sinh cần nhớ gồm: 1/ Bình phương một tổng (A+B)2 = A2+2AB+B2 (1) 2/ Bình phương một hiệu (A – B)2 = A2 – 2AB+B2 B2 (2) 3/ Hiệu hai bình phương A2 – B2 = (A+B)(A – B) B2 (3) 4/ Lập phương một tổng (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 B2 (4) 5/ Lập phương một hiệu (A – B)3=A3 – 3A2B+3AB2 – B3 B2 (5) 6/ Tổng hai lập phương A3+B3=(A+B)(A2 – AB+B2) B2 (6) 7/ Hiệu hai lập phương A3 – B3=(A – B)(A2+AB+B2) B2 (7) – Để phân biệt các hằng đẳng thức và khỏi nhầm lẫn giáo viên nên cho học so sánh các hằng đẳng thức với nhau. Ví dụ: a) (A + B)2 và (A – B)2 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 * Giống nhau: Vế phải có 3 hạng tử giống nhau. * Khác nhau: Dấu của hạng tử 2AB b) ( A + B)3 và (A – B)3: Cách nhận biết về dấu “ +”, “ – “ :Hạng tử nào B có số mũ lẻ (1,3) thì ta đặt dấu “ – “ trước hạng tử đó, hạng tử nào B có số mũ chẵn (0,2) thì ta đặt dấu “+“ trước hạng tử đó.Cụ thể: (A + B)3 = A3 + 3 A2B + 3A B2 + B3 (A – B)3 = A3 – 3 A2B + 3A B2 – B3 GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 5
4. GPHI: Rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đại số lớp 8 Giáo viên hướng dẫn học sinh nhìn tổng quát, ta thấy biểu thức có dạng: bình phương thứ nhất cộng bình phương biểu thức thứ hai trừ tích hai lần hai biểu thức đó, ta nhận thấy A = x + 3 và B = x – 7 . Q= [(x + 3 ) – ( x – 7 )]2 = (x + 3 – x + 7)2 = 102 = 100. Như vậy thấy rõ vấn đề của biễu thức thì học sinh thực hiện giãi bài tập nhẹ nhàng hơn. Ví dụ 4: Tìm chỗ sai trong phép khai triển các hằng đẳng thức sau: a/ (x + 2y)2 = x2 + 2.xy + 2y2 b/ (5 – x )2 = 52 – x2 c/ (2x + 3y)2 = 2x2 + 2.2x.3y + 3y2 = 4x2 + 12xy + 9y2 Ví dụ 5: Trong các khẳng định sau, khẳng dịnh nào dúng? a/ (3x – 1 )2 = (1 – 3 x)2 b/ (x – 2 )3 = (2 – x )3 c/ (x + 1)3 = (1 + x )3 d/ x2 – 1 = 1 – x 2 e/ (x – 2 )2 = x2 – 2 x + 4 ❖ GIẢI PHÁP 3: GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC NHỮNG LỔI THƯỜNG GẶP KHI VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN: Ngay sau khi học xong bài hai hằng đẳng thức: bình phương của một tổng (1), bình phương của một hiệu (2), tôi cho một học sinh ( trung bình khá) lên bảng làm bài tập sau: Bài tập: a/ Viết công thức bình phương một tổng hai biểu thức? b/ Khai triển: (x + 1)2 ; (2x + 3y)2 Kết quả thực hiện như sau: a/ (A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2 b/ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 (2x + 3y)2 = 2x2 + 12xy + 3y2 Điều đó chứng tỏ rằng, nếu các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức chỉ là một số hay một biến thì các em dễ dàng vận dụng dược hằng đẳng thức vào bài tập . Tuy nhiên, khi A, B là các biểu thức phức tạp hơn thì các em lại dễ mắc phải những sai lầm nư bài tập trên. Vậy làm thế nào để học sinh hạn chế tối đa những sai lầm như trên? Đầu tiên giáo viên cần lưu ý học sinh sử dụng dấu ngoặc cho lũy thừa của cả biểu thức đó hoặc có thể viết hằng đẳng thức dưới dạng: Ví dụ : ( + )2 = 2 + 2. + 2 ( 2x + 3y )2 = 2x 2 + 2 2x 3y + 3y 2 = 4x2 +12xy+9y2 Sau đó, tôi cho học sinh một học sinh phát hiện ra lỗi sai trong câu b: (2x+3y)2 = (2x)2 + 12xy + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 Qua đó, đa số học sinh đã vận dụng được hằng đẳng thức vào bài tập khai triển lũy thừa dạng đơn giản. ❖ GIẢI PHÁP 4: GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 7
5. GPHI: Rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đại số lớp 8 Ví dụ 2: Tính nhanh: a/ 1012 b/ 1992 c/ 97.103 - Dạng 1: Để tính bình phương của một số , ta thường vận dụng hai hằng đẳng thức đầu tiên (1), (2). Ta viết mỗi số đó dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số, trong đó có một số tròn trăm hoặc tròn chục. Chẳng hạn: 1012 = (100+1)2 =? 1992 = (200 – 1 )2 = ? - Dạng 2: Để tính nhanh tích hai số, ta viết một số dưới dạng tổng hai số, một số dưới dạng hiệu hai số, để làm được điều này, ta tìm số ở giữa hai số cần tính rồi biến đổi, sau đó áp dụng hằng đẳng thức: (A + B).(A – B) =A2 – B 2 . Chẳng hạn: 97.103 = (100 – 3 ).(100 + 3 ) = ? Ví dụ 3: Tính nhanh giá trị biểu thức: a/ 342 + 662 + 2.34.66 b/ 742 + 242 – 48.74 c/ x2 + 4x + 4 tại x = 998 d/ x3 + 3x2 + 3x + 1 tại x = 999 Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận dạng từng biểu thức để vận dụng những hằng đẳng thức thích hợp. - Đối với câu a có dạng bình phương số thứ nhất cộng với bình phương số thứ hai cộng với hai lần tích hai số đó nên giống với một vế của hằng đẳng thức : bình phương của một tổng: Ở đây A = 34; B = 66, do đó: 342 + 662+ 2.34.66 = (34 + 66)2 = 1002 = 10.000 - Đối với câu b cũng giống như sâu a, nhưng ta vận dụng hằng đẳng thức bình phương của hiệu: Ta thấy 48.74 = 2.24.74 do đó: 742 + 242 – 48.74 = (74 – 24)2 = 502 = 2500 - Đối với câu c: giáo viên cho học sinh nhận dạng A2 = x2 nên A = x ;B2 = 4 nên B = 2 và 2AB = 2.x.2 = 4x Do đó x2 + 4x + 4 = (x + 2 )2 Tại x = 998 thì giá trị của biểu thức là (998 + 2)2 = 10002 = 1000.000 - Đối với câu d: giáo viên cho học sinh nhận dạng A3 = x3 nên A = x ; B3 = 1 nên B = 1 và 3A2B = 3.x2.1 = 3x2 ;3AB2 = 3.x.12= 3x Do đó: x3 + 3x2 + 3 x + 1 = (x + 1 )3. Tại x = 999 thì giá trị của biểu thức là: (999 + 1)3 = 10003 = 1000.000 Ví dụ 4: tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có hai chữ số có tận cùng bằng chữ số 5. - Ta gọi số tự nhiên có hai chữ số có tận cùng bằng chữ số 5 là: a5 Viết a5 = 10a + 5. - Vận dụng hằng đẳng thức để chứng minh đẳng thức : a5 = ( 10a + 5 )2 = 100a.(a + 1) + 25 - Do đó để tính ( a5 )2 , ta tính tích 100a.(a + 1) rồi cộng thêm 25. Tức là ta lấy số chục là a nhân với số lớn hơn nó một đơn vị là (a+1)rồi nhân thêm với 100 lấy kết quả đó cộng với 25. Chẳng hạn: Tính 252 =?, ta lấy 100.2.(2+1) +25 ta được 252 = 625. Tương tự: 652 = 4225 ; 952 = 9025, GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 9
6. GPHI: Rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đại số lớp 8 Qua bài tập này, học sinh sẽ linh hoạt hơn khi biến đổi hai vế của hằng đẳng thức và vận dụng thành thạo hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử . Sau đó, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách nhân dạng đa thức cầm phân tích về: + Bậc của đa thức + Số hạng tử của đa thức (đấu của các hạng tử). Chẳng hạn: + Nếu đa thức bậc 2 và số hạng tử là 3 thì ta liên hệ đến hai hằng đẳng thức đầu tiên. + Nếu đa thức bậc 2 và số hạng tử là 2 thì ta liên hệ đến hai hằng đẳng thức thứ ba. + Nếu đa thức bậc 3 và số hạng tử là 4 thì ta liên hệ đến hai hằng đẳng thức thứ tư và thứ năm. + Nếu đa thức bậc 3 và số hạng tử là 2 thì ta liên hệ đến hai hằng đẳng thức cuối. Lưu ý: sau khi nhận dạng được hằng đẳng thức, ta tìm trong đa thức đó hai hạng tử có dạng bình phương hoặc lập phương để xác định hai biểu thức tương ứng A, B trong công thức của hằng đẳng thức. Ví dụ 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ x2+4x+4 b/ x2–6x+9 c/ 4x2–4x+1 d/ x2 –25 e/ 16x2– 1 f/ x3+9x2+27x+27 g/ x3–3x2+3x –1 h/ x3+8 k/ 27x3 –y3 Hướng dẫn: -Ở câu a/ x2 + 4x + 4 là đa thức bậc 2, có 3 hạng tử nên có dạng một vế của hằng đẳng thức thứ nhất A2 +2.A.B + B2, trong đóù A2 = x2 nên A = x ; B2 = 4 = 22 nên B = 2 và 2AB = 2.x.2 = 4x. Do đó x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 . Tương tự cho câu b, c. -Ở câu e/ 16x2– 1 là đa thức bậc 2, có 2 hạng tử nên có dạng một vế của hằng đẳng thức thứ ba A2 – B2 , trong đó A2 =16x2 = (4x)2 nên A = 4x ; B2 = 1 nên B = 1. Do đó 16x2 –1 = (4x + 1).(4x – 1 ). -Ở câu k/ 27x3 – y3 là đa thức bậc 3, có 2 hạng tử nên có dạng một vế của hằng đẳng thức thứ bảy A3 – B3, trong đó A3 = 27x3 = (3x)3 nên A = 3x ; B3 = y3 nên B = y. Do đó 27x3 – y3 = (3x – y )(9x2 + 3 xy + 9). Tương tự cho câu h. -Ở câu f/ x3 + 9x2 + 27x + 27 là đa thức bậc 3, có 4 hạng tử nên có dạng một vế của hằng đẳng thức thứ tư A3 +3.A2.B + 3.A.B2 +B3, trong đó A3 = x3 nên A = x ; B3 = 27 = 33 nên B = 3; và 3A2.B = 3.x23 = 9x2 ; và 3A.B2 = 3.x32 = 27x. Do đó x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3). Tương tự cho câu g. 1.6/ Vận dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia: Ví dụ 8: Thực hiện phép chia: a/ ( x2 + 2xy + y2 ): (x + y ) b/ (125x3 + 1 ) : (5x + 1 ) c/ ( x2 – 2 xy + y2) : (y – x ) d/( 4x2 – 9 y2) : (2x – 3 y ) GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 11