Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình bậc cao

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình bậc cao

1. Phương trình bậc cao Phần I : Đặt vấn đề I - Lí do chọn đề tài: Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho các môn khoa học khác, có ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Toán học giữ vai trò quan trọng trong mọi bậc học, làm thế nào để học được toán, học giỏi toán đó là vấn đề đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết được một cách đễ dàng. Với cương vị là một giáo viên toán, tôi nhận thấy cần phải đầu tư suy nghĩ hơn nữa để tìm ra phương pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu quả. Trong chương trình đại số THCS, việc giải phương trình chỉ dừng lại ở phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai là chủ yếu. Khi gặp phương trình bậc cao học sinh gặp rất nhiều khó khăn, thậm trí không có phương án giải. Điều đó cũng dễ hiểu bởi do nhiều lí do mà sách giáo khoa không đưa ra các phương pháp giải phương trình bậc. Chính vì vậy việc nhận dạng, phân loại và có phương pháp giảI cho từng dạng phương trình bậc cao, giúp cho học sinh định hướng và giải đươc các phương trình bậc cao là hết sưc cần thiết. Đó chính là lí do tôi chọn đề tài này. II – nhiệm vụ nghiên cứu : - Phân loại các dạng phương trình bậc cao. - Tìm phương pháp giải các dạng phương trình bậc cao. - Các ví dụ minh họa. - Các bài luyện tập. II - Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp 9 trường THCS Nghĩa Phúc, huyện Nghĩa Hưng, tỉnh Nam Định. III - Phạm vi nghiên cứu: Phương trình bậc cao một ẩn với hệ số nguyên. 2
2. Phần II : Nội dung I - Những cơ sở lí luận và thực tiễn: Khi dạy giải phương trình bậc cao, phần bài tập trong SGK và SBTĐS lớp 9 là tương đối đơn giản đối với đối tượng học sinh. Nhưng thực tế khi khai thác các dạng bài tập khác ta mới thấy sự phong phú đa dạng. Để giải được các thể loại này đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải cho từng thể loại bài tập. Qua quá trình dạy phương trình bậc cao, tôi mạnh dạn đưa ra một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho các dạng bài tập cơ bản thường gặp. Theo tôi khi dạy giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh và yêu cầu học sinh nắm được những nội dung kiến thức cơ bản sau: - Các khái niệm : Phương trình, phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc bậc cao. Nghiệm của phương trình. - Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số. - Định nghĩa hai phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương phương trình. - Các hằng đẳng thức đáng nhớ. - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. - Hệ quả định lý Bơdu. - Sơ đồ Hooc ne. - Cách nhẩm nghiệm một phương trình. II - Những phương pháp, biện pháp, giải cụ thể: A - Nội dung lý thuyết cơ sở: 1. Phương trình, nghiệm của phương tình : Cho A( x1,x2, ,xn) và B( x1,x2, ,xn)là hai biểu thức chứa các biến x1,x2, ,xn với các hệ số thuộc R. Khi phải tìm phần tử (a1,a2, .,an) R sao cho các giá trị tương ứng của hai biểu thức bằng nhau, tức là : 3
3. A(a1,a2, .,an) = B(a1,a2, .,an) thì ta viết : 4
4. A(x1,x2, ,xn) = B( x1,x2, ,xn) và gọi đẳng thức đó là một phương trình. Các biến x1,x2, ,xn gọi la các ẩn của phương trình. Tập xác định của phương trình: là những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phương trình đều có nghĩa. Mỗi phần tử (a1,a2, .,an) R thỏa mãn đẳng thức : A(a1,a2, .,an) = B(a1,a2, .,an) được gọi là một nghiệm của phương trình. Việc tìm nghiệm thuộc R được gọi là giải phương trình. - Phương rình bậc nhất : Là phương trình có dạng : ax + b = 0 ( a 0) Trong đó xlà ẩn ; a, b là các hệ số b Cách giải : + Nếu a 0 Pt có nghiệm duy nhất : x = a + Nếu a = 0 Pt có dạng : 0x = -b . b 0 => 0x = b . Pt vô nghiệm. . b = 0 => 0x = 0 . Pt có vô số nghiệm x R. - Phương trình bậc hai : Là phương trình có dạng : ax2 + bx + c = 0 ( a 0) Trong đó xlà ẩn ; a, b,c là các hệ số Cách giải : Theo lược đồ sau. ax2 + bx + c = 0 ( a 0) Xác định các hệ số a,b,c = 0 Phương trình có 2 nghiệm Tính a + b + c c x1 = 1 ; x2 = a 0 = 0 Phương trình có 2 nghiệm Tính a - b + c c x1 = -1 ; x2 = a 0 . Tính 0 = 0 Phương trình có Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Phương trình nghiệm kép b b vô nghiệm b x1 = ; x2 = x1 = x2 = 2a 2a 2a 2
5. Ví dụ. Giải phương trình sau: a, x2 + 3x - 1 = 0 Có : a = 1; b = 3 ; c = -1 = 32 - 4.1.(-1) = 9 + 4 = 13 > 0 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 3 13 3 13 x1 = ; x2 = 2 2 b, 4x2 - 4x + 1 = 0 Có : a = 4; b = -4; c = 1 2 ( 2) 1 = (-2) - 4.1 = 4 - 4 = 0. Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = 4 2 c, 3x2 + 5x + 4 = 0 Có : a = 3; b = 5; c = 4 = 52 - 4.3.4 = 25 - 48 = -23 < 0 . Phương trình vô nghiệm. d, 7x2 + 23x - 30 = 0 30 Có a + b + c = 7 + 23 - 30 = 0. Phương trình có 2 nghiệm : x1 = 1 ; x2 = 7 e, x2 - 60x - 61 = 0 Có: a - b + c = 1 - (-60) - 61 = 0. Phương trình có hai nghiệm : x1 = -1 ; x2 = 61 n n - 1 - Phương trình bậc cao : là pt dạng anx + an - 1x + +a1x + a0 = 0 n n - 1 (anx + an - 1x + +a1x + a0 là đa thức bậc n ( n 3) ) Trong đó xlà ẩn ; an,an - 1, .,a1,a0 là các hệ số Cách giải phương trình bậc cao chính là nội dung chính của đề tài này và được nghiên cứu ở phần sau. 2. Định nghĩa hai phương trình tương đương: Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. 3. Các định lý về biến đổi tương đương các phương trình : a, Định lý 1: Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ : x4 - 24x = 32 x4 - 24x + 4x2 + 4 = 32 + 4x2 + 4 ( Cộng 4x2 + 4 vào 2 vế ) 3
6. Hệ quả 1 : Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phương trình đồng thời đổi dấu hạng tử ấy thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ : 2x - 7 = 4x + 9 2x - 4x = 9 + 7 ( Chuyển vế đổi dấu hai hạng tử 4x và -7 ) Hệ quả 2 : Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ : - 4x + x2 -5 = 2x + x2 - 4x -5 = 2x ( Xóa hạng tử x2 ở hai vế ) b, Định lý 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. 1 3 Ví dụ : x2 - 3x = 2 4 2x2 - 12x = 3 ( Nhân hai vế với 4 ) 4. Hệ quả định lí Bơdu: x = là nghiệm của đa thức f(x) f(x) chia hết cho nhị thức x - Định lí này giúp chúng ta đưa Pt bậc cao về phương trình tích ( quy về giải các phương trình có bậc thấp hơn) : n n - 1 Phương trình : anx + an - 1x + +a1x + a0 = 0 (*) nếu có nghiệm x = n - 1 n-2 Thì (*) (x - )(anx + bnx + + b1x + b0) = 0 5. Sơ đồ Hoocne: n -1 n - 2 Giả sử g(x) = bn - 1x + bn - 2x + +b1x + b0 và r là thương và dư n n - 1 của phép chia đa thức f(x) = anx + an - 1x + + a1x + a0 cho nhị thức x - . Khi đó r và các hệ số của g(x) được tính theo sơ đồ sau: an an-1 an-2 a1 a0 bn-1 bn-2 bn-3 b0 r (=an) (= bn-1 +an-1) (= bn-2 +an-2) (= b1 (= b0 +a0) 4
7. +a1) 6. Nghiệm (nếu có) của một phương trình: n n - 1 Phương trình anx + an - 1x + + a1x + a0 = 0 - Nghiệm nguyên của Pt phải là ước của a0 p - Nghiệm hữu tỷ của Pt có dạng ( trong đó p là ước của a0; q là ước dương q của an). Chú ý : Gọi m là tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn và n là tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ + Nếu m + n = 0 Pt có nghiệm x = 1 + Nếu m - n = 0 Pt có nghiệm x = -1 B - Vận dụng lý thuyết vào giảng dạy thực tiễn: - Cung cấp cho học sinh những nội dung lí thuyết trên. - Các phương pháp giải phương trình bậc cao: I. Nhẩm nghiệm của Pt, đưa Pt về Pt tích : a) Ví dụ 1. Giải phương trình : x3 + 5x2 + 3x - 9 = 0 (*) Giải: Pt có tổng các hệ số bằng 0 ( 1+5+3-9 =0 ) nên có một nghiệm nguyên x = 1. Sử dụng sơ đồ Hoocne có : 1 5 3 -9 1 1 6 9 0 2 (*) (x - 1)(x + 6x + 9) = 0. Tìm được x1 = 1; x2,3 = -3 b, Ví dụ 2. Giải phương trình : 3x3 - 14x2 + 4x + 3 = 0 (*) Giải: 1 Ta thấy Pt có nghiệm hữu tỉ x = , nên khi phân tích VT của Pt thành nhân tử, sẽ 3 có nhân tử 3x + 1. Khi đó ngoài việc sử dụng sơ đồ Hoocne ta có thể dùng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử làm xuất hiện nhân tử 3x + 1: (*) 3x3 + x2 - 15x2 - 5x+ 9x + 3 = 0 x2(3x + 1) - 5x(3x + 1) + 3(3x + 1) = 0 5
8. 2 1 5 13 (3x + 1)( x - 5x+ 3) = 0 . Nghiệm Pt : x1 = ; x2,3 = . 3 2 * Bài luyện tập BT1 : Giải các phương trình : a, 2x3 - 5x2 - 3x = 0 b, x3 - 7x + 6 = 0 c, x3 - 5x2 + x + 5 = 0 d, x3 - 13x2 - 42x - 36 = 0 e, x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 f, 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = 0 II. Các dạng đặc biệt : 1. Phương trình tam thức : Phương trình tam thức là phương trình có dạng : ax2n + bxn + c = 0 ( a 0) Trong đó a,b,c là các số thực, n nguyên dương và n 2 - Nếu a,b,c đồng thời khác 0 và n = 2 thì ta có phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 . Ví dụ. Giải phương trình : x4 - 4x2 + 3 = 0 Đặt x2 = t . Điều kiện t 0 Phương trình đã cho có dạng : t2 - 4t + 3 = 0 Có : a + b + c = 1 - 4 +3 = 0. Pt có hai nghiệm t1 = 1; t2 = 3 x = 1 + Với t = 1 = > x2 = 1 1 x = -1 2 x = 3 + Với t2 = 3 = > x = 3 x = - 3 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x1 = - 3 ; x2 = -1; x3 = 1; x4 = 3 - Khi n > 2 . Đặt xn = t , để tìm nghiệm của phương trình ta giải hệ : xn = t at2 + bt + c = 0 Ví dụ 1. Giải phương trình : x6 - 9 x3 + 8 = 0 Giải: 3 2 Đặt x = t , ta có : t - 9 t + 8 = 0 => t1 = 1 => x1 = 1 t2 = 8 => x2 = 2 6
9. Ví dụ 2. Giải phương trình : x8 + 6x4 - 7 = 0 Giải: 4 2 Đặt x = t ( t 0) Pt đã cho có dạng : t + 6t - 7 = 0 => t1 = 1 => x = 1 t2 = -7 ( loại). * Bài luyện tập BT2 . Giải các phương trình : a, x4 + 4x2 - 5 = 0 b, x6 - 7x3 - 8 = 0 c, x8 + x4 - 2 = 0 d, x10 - 10x5 + 31 = 0 2. Phương trình đối xứng. n n - 1 Một phương trình dạng : anx + an - 1x + + a1x + a0 = 0 trong đó vế trái là đa thức bậc n được gọi là phương trình đối xứng nếu các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau, nghĩa là : an= a0, an - 1 = a1, . Tùy theo n là số chẵn hay lẻ mà ta có phương trình đối xứng bậc chẵn hay bậc lẻ. Ví dụ 1. Giải phương trình : x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1 = 0 Giải: Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x2 0 ta có : 6 1 x2 + 6x+ 11 + + = 0 x x 2 1 1 (x2 + ) + 6( x+ ) + 11 = 0 x 2 x 1 1 1 Đặt x+ = t x2 + + 2 = t2 x2 + = t2 - 2 x x 2 x 2 Pt có dạng : t2 - 2 + 6t + 11) = 0 => (t + 3)2 = 0 => t = -3 1 2 3 5 x+ + 3 = 0 => x + 3x+1 = 0 . Nghiệm Pt : x1,2 = x 2 Ví dụ 2. Giải phương trình : 3x6 - 4x5 + 2x4 - 8x3 + 2x2 - 4x + 3 = 0 (*) Giải: Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x2 0 ta có : 2 4 3 3x3 - 4x2 + 2x - 8 + - + = 0 x x 2 x 3 1 1 1 3(x3 + ) - 4( x2 + ) + 2(x+ ) - 8 = 0 x 3 x 2 x 7