Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp toạ độ trong không gian

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp toạ độ trong không gian

1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Các bài toán về phương pháp toạ độ trong không gian từ trước đến nay bao giờ cũng có trong các đề thi TN, ĐH-CĐ. Nếu học sinh nắm chắc phương pháp toạ độ học sinh có thể giải được nhiều bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ. Trong đời sống hàng ngày, chúng ta gặp rất nhiều những đồ vật có dạng hình cầu như: Quả bóng, quả địa cầu nhưng rất ít người biết về các tính chất của mặt cầu. Học sinh được học về mặt cầu và phương trình mặt cầu trong Chương trình, SGK HH 12. Trong phần "Phương pháp toạ độ trong không gian" trong SGK HH12 có ba đối tượng được nghiên cứu đó là: Đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Khi dạy học sinh về phương trình mặt cầu tôi nhận thấy rằng học sinh không khó tiếp thu các kiến thức về mặt cầu nhưng việc vận dụng vào giải bài tập về phương trình mặt cầu còn nhiều học sinh không làm được, không nắm được các dạng toán về phương trình mặt cầu và một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong giải một số bài toán đại số. Trong bài viết này tôi trình bày về phương pháp giải các bài toán về: Viết phương trình mặt cầu, các bài toán về tiếp tuyến, tiếp diện, đường tròn trong không gian và một số ứng dụng trong bài toán đại số cần luyện tập cho học để học sinh có thể giải tốt được các bài toán trên khi gặp trong các kì thi. B. NỘI DUNG: I. Các kiến thức cơ bản: 1. Phương trình mặt cầu: Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: x a 2 y b 2 z c 2 R2 . (1) Dạng 2: x2 y2 z2 2ax + 2by + 2cz +d = 0 a2 b2 c2 d 0 (2). Khi đó: Mặt cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính R a2 b2 c2 d . 2. Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng . Tính: d I, . Nếu: d I, R :  C  ; d I, R :  C tại 2 điểm phân biệt; d I, R : , C tiếp xúc nhau, gọi là tiếp tuyến của mặt cầu. 3. Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng P : Ax + By +Cz + D = 0 . Aa +Bb +Cc+D Tính: d I, P . A2 B2 C 2 Nếu: 1) d I, P R : P  C  ; - 1 -
2. 2) d I, P R : P  C là đường tròn H;r R2 d 2 I; P với H là hình chiếu của I trên (P). Vậy đường tròn trong không gian có phương trình: 2 2 2 x a y b z c R2 Ax + By +Cz + D = 0 3) d I, P R : P , C tiếp xúc nhau tại điểm H là hình chiếu của I trên (P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (C). II. Các dạng toán: Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu cho trước (dạng pt (2)): Cách 1: Đưa về dạng 1 Cách 2: Kiểm tra điều kiện a2 b2 c2 d 0 tâm và bán kính. Ví dụ: Cho phương trình: x2 y2 z2 2m2 x 4my +8m2 4= 0 Tìm điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu. Khi đó tìm tập hợp tâm của họ mặt cầu đó. Giải: 2 Pt đã cho x m2 y 2m 2 z2 m4 4m2 4 là phương trình mặt cầu m4 4m2 4 m2 2 0 m 2 y2 Khi đó tâm I (m2 ;2m;0) . Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và: x I I 4 y2 Vậy tập hợp tâm I là parabol x nằm trong mp Oxy bỏ đi 2 điểm: M (2;2 2;0) và 4 N (2; 2 2;0). Dạng 2: Viết phương trình của mặt cầu khi biết một số yếu tố cho trước Đi xác định tâm và bán kính của mặt cầu: - Biết tâm: tìm bán kính; - Biết bán kính: tìm tâm; - Chưa biết tâm và bán kính:Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp xúc với 2 mặt phẳng cho trước thường xác định tâm trước sau đó đi tìm bán kính. Bài 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I(4; 3; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với: A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). x y z Giải: Phương trình mp(ABC): 1 x y z 3 0 3 3 3 Bán kính mặt cầu: R d I, ABC 2 3 Phương trình mặt cầu: x 4 2 x 3 2 x 2 2 12 - 2 -
3. Bài 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng (d) có 5x 4y +3z 20= 0 phương trình: tại 2 điểm A, B sao cho AB = 16 3x 4y + z 8= 0 Giải: (d) đi qua M(11; 0; -25) và có véc tơ chỉ phương u 2;1; 2 Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Có:  R MI,u IH d I, AB 15 Bán kính mặt cầu: d A H B u 2 2 AB 2 2 2 R IH 17 . Vậy phương trình mặt cầu: x 2 y 3 z 1 289 2 Bài 3: x 1 y 2 z 3 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình: 2 1 2 và hai mặt phẳng P1 : x + 2y + 2z 2= 0; P2 : 2x + y + 2z 1= 0 . Lập phương trình mặt cầu có tâm I nằm trên (d) và tiếp xúc với 2 mặt phẳng trên. Giải: I d I 2t 1;t 2;2t 3 Mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng d I, P1 d I, P2 t 0 8t 9 9t 9 8t 9 9t 9 18 8t 9 9t 9 t 17 2 2 2 t = 0 I1 1;2;3 ; R1 3 Pt m / c S1 : x 1 y 2 z 3 9 2 2 2 18 19 16 15 3 19 16 15 9 t I2 ; ; ; R2 Pt m / c S2 : x y z 17 17 17 17 17 17 17 17 289 Chú ý: Nếu P1 P P2 : 1) d song song nhưng không cách đều P1 và P2 hoặc nằm trên P1 hoặc P2 : Không có mặt cầu thoả mãn. 2) d song song và cách đều P1 và P2 : Có vô số mặt cầu thoả mãn. 3) d không song song, không nằm trên P1 và P2 : Có 1 mặt cầu thoả mãn. Bài 4: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1; -1; 2). Giải: IA2 IB2 2 2 Cách 1: Gọi I(x; y; z) IB IC I 1;1;1 , R IA 2 2 2 IC ID - 3 -
4. Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu là: x2 y2 z2 2ax + 2by + 2cz +d = 0 a 2 b2 c2 d 0 Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên: 2a 2b d 2 0 6a 2b 4c d 14 0 a b 1;c 2;d 2 2a 2b 4c d 6 0 2a 2b 4c d 6 0 Kết luận: Phương trình mặt cầu là: x 1 2 y 1 2 z 2 2 4 Chú ý: Bài toán (ĐH KD-2004): Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2; 0;1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + x - 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). Cách giải bài toán này tương tự như cách 1 của bài toán trên. Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu Bài toán 1: Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I, bán kính R tại điểm A Cách giải:  mp(P) đi qua A và nhận véc tơ IA làm véc tơ pháp tuyến Bài toán 2: Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết véc tơ pháp tuyến của (P) là: n A; B;C Cách giải: P : Ax + By +Cz + D = 0 . Aa +Bb +Cc+D Có: d I, P R R tìm được D suy ra phương trình mp(P). A2 B2 C 2 Chú ý: Trong bài toán cho biết véc tơ pháp tuyến dưới dạng: - Biết P song song với một mặt phẳng hoặc song song với 2 đường thẳng cho trước. - Biết vuông góc với 1 đường thẳng cho trước. Bài toán 3: R I Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa đường thẳng H P (d) cho trước. d Cách giải: - Xét đường thẳng (d) dưới dạng phương trình tổng quát; - Viết phương trình chùm mặt phẳng đi qua (d); - Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm ra mp(P). Bài toán 4: d Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S), tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) đi qua điểm C và: - 4 -
5. 1) Song song với đường thẳng (d) cho trước. 2) Vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước. Cách giải: 1) Gọi: Q d;C ; a P  Q a đi qua A và song song với d nên có pt xác định Bài toán trở thành viết phương trình mp(P) đi qua a và tiếp xúc với mặt cầu (S) 2) Tương tự như trên với: d đi qua A và vuông góc với mp(Q). Dạng 4: Đường tròn trong không gian Bài toán 1: Xác định tâm, tính bán kính đường tròn là giao của mặt phẳng với mặt cầu cho trước: Cách giải: Sử dụng tính chất ở phần B.I2) để tìm tâm, tính bán kính đường tròn Bài toán 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn là giao của 2 mặt cầu (S), (S') có tâm lần lượt là I, I'; bán kính R, R'. Cách giải: - Đưa pt đường tròn là giao của 2 mặt cầu về pt đường tròn là giao của mặt cầu (S) với một mặt phẳng (Q). - Tâm của đường tròn làO II ' Q ; bán kính r R2 d 2 I; P . Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn sau kẻ từ A cho trước: 2 2 2 x a y b z c R 1 Ax + By +Cz + D = 0 Cách giải: Gọi B là tiếp điểm. Để ý rằng B thuộc đường tròn nên toạ độ B thoả mãn (1). Lại có: tiếp tuyến AB của đường tròn đồng thời là tiếp tuyến của mặt cầu tâm O nên: AB  OB AB.OB 0 2 từ (1) và (2) suy ra toạ độ B tiếp tuyến AB. Dạng 5: Ứng dụng của mặt cầu giải một số bài toán đại số Bài 1: x2 y2 z2 1 Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm, hãy tìm nghiệm đó: (1) 2x y 2z m Giải: Nghiệm của hệ phương trình (nếu có) là tọa độ điểm chung của: mặt cầu (S): x2 y2 z2 1, (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = 1 và mặt phẳng :2x y 2z m 0 Do đó hệ (1) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi (S) và ( ) tiếp xúc nhau - 5 -
6. m m 3 d O,( ) 1 22 ( 1)2 22 m 3 TH1:m = 3 nghiệm của hệ là hình chiếu vuông góc H của O trên ( 1): 2x – y + 2z – 3 = 0 x 2t đường thẳng qua O và vuông góc với ( 1) có phương trình y t t R z 2t 1 2 1 2 giá trị của tham số t tương ứng với điểm chung của ( 1) và là t = H ; ; 3 3 3 3 TH2: m = -3. Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của O trên ( 2): 2x – y + 2z + 3 = 0 2 1 2 H’ ; ; (tương tự như TH1) 3 3 3 2 1 2 Vậy khi m = 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là x ; y ; z 3 3 3 2 1 2 khi m = - 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là x ; y ; z 3 3 3 x y z 3 1 Bài 2: Giải hệ phương trình: x2 y2 z2 3 2 3 3 3 x y z 3 3 Giải: Mặt cầu (S): x2 y2 z2 3, tâm O bán kính R = 3 và mp( ): x + y + z – 3 = 0 tiếp 3 xúc với nhau vì d O,( ) 3 R . 12 12 12 x y z 3 1 Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất, 2 2 2 x y z 3 2 dễ thấy nghiệm đó là x = y = z = 1 và nghiệm này cũng thỏa (3). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y = z = 1 Bài 3: Cho ba số thực x, y, z thỏa: x2 y2 z2 1. Tìm GTLN và GTNN của: F 2x 2y z 9 Giải: Xét mặt cầu (S): x2 y2 z2 1, tâm O, bán kính R = 1 và mặt phẳng ( ): 2x 2y z 9 = 0 x 2t Đường thẳng qua O và vuông góc với ( ) có phương trình y 2t t R giá trị tham z t 1 số t tương ứng với giao điểm của và (S) là t = 3 2 2 1 2 2 1 và (S) cắt nhau tại 2 điểm: A ; ; và B ; ; 3 3 3 3 3 3 - 6 -