Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp sử dụng toạ độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp sử dụng toạ độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số

1. Đặt vấn đề I. Lí do chọn đề tài Một trong những mục đích cơ bản của dạy học Toán học ở phổ thông là phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh. Thông qua việc học các khái niệm, rèn luyện các kĩ năng giải toán giúp học sinh phát triển năng lực tư duy như: phát triển năng lực suy luận lôgic, năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hoá, tổng hợp vấn đề, năng lực tư duy linh hoạt, phát huy trí tưởng tượng, kĩ năng biến đổi linh hoạt, Hình học và giải tích là hai trong các nội dung lớn của chương trình toán học phổ thông, hình hoc và giải tích được liên hệ chặt chẽ với nhau . Chương trình toán phổ thông trung học đã và đang được trình bày dựa trên cơ sở tương quan, đan xen giữa hình học và giải tích. Do vai trò quan trọng của nó cho nên một đòi hỏi hết sức tự nhiên từ khái niệm, tính chất và các ứng dụng của nó phải được nghiên cứu một cách cụ thể và chính xác song đồng thời phải rõ ràng, dễ hiểu và bổ trợ lẫn nhau làm được điều đó mới thực sự thu hút học sinh trong học tập cũng như trong tìm tòi sáng tạo. Trong bài viết sau đây tôi chỉ tập trung nghiên cứu “Phương pháp sử dụng toạ độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số”. Trong các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi một dạng toán rất hay được hỏi đó là tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Trong các đề thi thì bàiitoán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số thông thường là bài toán khó và có nhiều cách giải song nếu ta khai thác triệt để mọi tính chất hình học sẵn có trong bài toán thì phương pháp toạ độ sẽ cho những lời giải hay, gọn gàng, trong sáng.
2. Bài viêt sau đây của tôi nhằm giới thiệu môt số các bài toán trong các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi thành phố trong những măm gần đây mà phương pháp giải chung đó là phương pháp toạ độ. II. Mục đích yêu cầu Xây dựng một hệ thống các bài toán trong việc áp dụng phương pháp toạ độ để giải toán, nâng dần từ đơn giản đến phức tạp. Từ đó rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp toạ độ và rèn luyện năng lực tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hoá vấn đề, óc sáng tạo, khả năng suy luận, phán đoán cho học sinh, giúp cho các em có cách nhìn tổng thể về bộ môn toán và sự liên quan mật thiết giữa hình học và giải tích. III. Đối tượng, phạm vi, kế hoạch Bản SKKN này viết ra để giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh ôn vào các trường đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp.
3. Nội dung A-cơ sở lý thuyết 2 2 +Hai điểm A x1; y1 , B x2 ; y2 Khi đó AB= x2 x1 y2 y1 +Ba điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có AB+BC AC dấu bằng xảy ra B nằm trên đoạn AC + AB AC BC dấu bằng xảy ra A nằm trên đường thẳng BC và nằm ngoài đoạn BC (có thể trùng với một trong hai đầu mút). +Hai điểm A x1; y1 , B x2 ; y2 nằm về hai phía của đường thẳng Ax+By+C=0 Ax1 By1 C Ax2 By2 C 0 + Hai điểm A x1; y1 , B x2 ; y2 nằm về cùng một phía của đường thẳng Ax+By+C=0 Ax1 By1 C Ax2 By2 C 0 +U.V U .V .cos U,V U.V U .V + U V U V . +Các tính chất của đường tròn dạng toán 1 Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= x 2 y 1 2 x 2 y 3 2 trong đó x, y là các số thực thoả mãn: 2x-y=2 Lời giải: Xét điểm A(0;-1), B(0;3), M(x;y) D Khi đó T=AM+BM Thay toạ độ A, B vào VT của (D) ta có VTA=-1<0, VTB=-5<0 suy ra A, B nằm về cùng một phía đối với (D). Lấy A’ đối xứng với A qua (D) và AA’ cắt (D) tại H ta có H(x;2x-2) 2 2 1 AH (x;2x 1) , VTCP U D (1;2) khi đó AH.U D 0 x 4x 2 0 x H ; 5 5 5 4 4 x 0 x 5 5 4 7 A’(x;y) đối xứng với A qua H ta có A' ; 2 7 5 5 y 1 y 5 5 T=AM+BM=A’M+BM A’B=10 5 . Min T=10 5 khi A’, B, M thẳng hàng 4 22 BA' ; , M x;2x 2 BM x;2x 5 5 5 5x 5 2x 5 2 6 A’, B, M thẳng hàng x y 4 22 5 5
4. Bài 2:Cho x, y thay đổi . Tìm min F= x 1 2 y 2 x 1 2 y 2 y 2 . (KB-2006) Lời giải: Xét M(x-1;-y), N(x+1;y) OM x 1 2 y 2 ,ON x 1 2 y 2 MN 4 4y 2 Luôn có OM+ON MN F 4 4y 2 y 2 2 1 y 2 y 2 *Với y 2 ta có F 2 1 y 2 y 2 2 1 y 2 2 y f (y) 2y y 0 1 1, f '(y) 0 1 y 2 2y y f’(y)= 2 2 1 y 2 1 y 4y 3 1 Lập bảng biến thiên ta suy ra f(y) 2 3 , f(y)= 2 3 khi y= , x 0 3 *Với y 2 F 2 5 2 3 1 y Kluận: Min F= 2 3 khi 3 x 0 Bài 3:Cho x R Tìm max F= x 2 4x 5 x 2 10x 50 Lời giải: F= x 2 2 1 x 5 2 25 Xét A(2;1), B(5;5), M(x;0) Khi đó ta có : AM (x 2; 1), BM (x 5; 5) AM= x 2 2 1 , BM= x 5 2 25 F AM BM Do A, B nằm về cùng phía với trục Ox và M Ox nên F AM BM AB 5 x 2 1 5 5 MaxF=5 khi A, B, M thẳng hàng x M ( ;0) . x 5 5 4 4 a 2b 9 Bài 4: Cho a, b, c thoả mãn: c 2d 4 Tìm Min F= a 2 b 2 12a 8b 52 a 2 b 2 c 2 d 2 2ac 2bd c 2 d 2 4c 8d 20 Lời giải: Ta có F= a 6 2 b 4 2 a c 2 b d 2 c 2 2 d 4 2 Xét A(6;4), B(2;-4) M(a;b) d1 : x-2y+9=0, N(c;d) d 2 : x+2y-4=0 Khi đó F=AM+MN+NB
5. Do d1 và d 2 song song và lại có toạ độ của A, B thay vào VT của d1 và d 2 ta có : Với d1 : VTA=5>0, VTB=-15 0, VTB=-10<0 suy ra A, B nằm về hai phía đối với cả d1 và d 2 . Khi đó F=AM+MN+NB AB= 4 5 Min F= 4 5 khi A, M, N, B thẳng hàng M(9-2b;b) d1 , AM (3 2b;b 4), AB( 4; 8) N(4-2d;d) d 2 , AN 2 2d;d 4 3 2b b 4 4 8 b 2 a 7 A, M, N, B Thẳng hàng . 2 2d d 4 d 0 c 4 4 8 Bài 5:Tìm Max, Min F= cos 2 2cos 2 cos 2 6cos 13 Lời giải: F= cos 1 2 1 cos 3 2 4 Xét điểm M(1;1-cos ), N(3;4) OM 1 cos 2 1, MN 3 cos 2 4 Ta có F=OM+MN 1 1 cos 1 F=OM+MN ON 5 MinF=5 khi O, M, N thẳng hàng cos 3 4 3 Lại có 0 1 cos 2 M chạy trên đoạn M1M2 với M1(1;0), M2(1;2) Ta có MaxF=Max(OM1+M1N;OM2+M2N)=Max(1+2 5;2 2 5) 1 2 5 Khi cos =1 Bài 6: Cho a, b thoả mãn điều kiện a-2b+2=0. Tìm min : F= a 2 b 2 6a 10b 34 a 2 b 2 10a 14b 74 Lời giải: F= a 3 2 b 5 2 a 5 2 b 7 2 Xét A(3;5), B(5;7), M(x;y) : x-2y=2=0 Khi đó F=AM+BM Thay toạ độ A, B vào VT của ta có VTA=-5<0, VTB=-7<0 suy ra A, B nằm về cùng phía của Lấy điểm A’ đối xứng với A qua , AA’  và AA’  =H H (2t 2;t) AH 2t 5;t 5 ,VTCPU 2;1 AH.U 0 4t-10+t-5=0 t=3 H(4;3). x 3 8 x 5 Điểm A’(x;y) đối xứng với A qua H nên ta có : vậy A’(5;1) y 5 6 y 1 F=AM+BM=A’M+BM A’B=6. Vậy Min F=6 khi A’, M, B thẳng hàng M M (2t 2;t), A'M 2t 7;t 1 , A' B(0;6) . a 5 7 7 A’, M, B thẳng hàng 2t-7=0 t M (5; ) 7 2 2 b 2
6. Dạng toán 2 Bài 7:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 P= log 2 x 1 log 2 y 1 log 2 z 4 trong đó x, y là các số dơng thoả mãn điều kiện xyz=8. (Báo toán học tuổi trẻ tháng 1-2009) Lời giải: Xét các véc tơ: U (log 2 x;1),V log 2 y;1 , K log 2 z;2 Luôn có U V K U V K Từ đó ta có 2 2 2 P log 2 x log 2 y log 2 z 1 1 2 log 2 xyz 16 25 5. 3 x 2 4 log x log y 2 2 3 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi log 2 z 2log 2 x y 2 3 xyz 8 z 2 2 3 3 Kết luận: Min P=5 Khi x=y= 2 4 , z= 2 2 . x, y, z 0 2 1 2 1 2 1 Bài 8: Cho . Tìm Min F= x 2 y 2 z 2 x y z 1 x y z (Đề thi đại học khối A-2003) Lời giải: 1 1 1 Gọi a(x; ),b(y; ),c(z; ) x y z 2 1 1 1 1 1 1 a x 2 b y 2 c z 2 a b c x y z 2 Ta có 2 , 2 , 2 , x y z x y z 2 2 1 1 1 3 2 9 Lại có F= a b c a b c x y z 9 xyz x y z 3 xyz 2 2 3 2 x y z 1 9 1 Đặt 0<t= xyz F 9t với t 0; 3 9 t 9 9 9 1 1 Xét Q(t)=9t , Q’(t)=9 0t 0; Q(t) Q( ) 1 81 82 F 82 t t 2 9 9 1 Min F= 82 Khi x=y=z= 3 Bài 9: Tìm Max, Min của U=y-2x+5 biết x, y thoả mãn điều kiện: 36x2+16y2=9
7. Lời Giải: 1 1 Ta viết : U 4y. 6x. 5 4 3 1 1 2 2 2 1 1 25 Xét a(4y; 6x),b ; ta luôn có a.b a .b 16x 2 36y 2 4 3 16 9 16 25 5 5 15 25 y 2x 2 y 2x y 2x 5 16 4 4 4 4 2 16y 18x x 25 9 Vậy Max F= Khi 5 4 y 2x 9 4 y 20 2 16y 18x x 15 9 MinF= Khi 5 4 y 2x 9 4 y 20 Dạng toán 3 Bài 10: Cho x, y thoả mãn điều kiện: x2+y2+16-8x-6y=0. Tìm Max, Min F=4x+3y Lời giải: Ta có (C): x 42 y 3 2 9. Có tâm I(4;3) bán kính R=3 1 Khi đó F=4x+3y= x 2 y 2 8 2 1 Xét điểm M(x;y) (C) có F= OM 2 8 2 Đờng thẳng OI cắt (C) tại M1, M2 và có OI=5 8 x 5 Khi đó ta có Min OM=OM1=OI-R=5-3=2 Min F=10 Khi 6 y 5 32 x 5 Max OM=OM2=OI+R=8 MaxF=40 khi 24 y 5 Bài 11:Cho 4 số thực thoả mãn hệ thức a 2 b 2 4 và c+d=5. Tìm giá trị lớn nhất của T=ac +bd + cd Lời giải: Xét điểm M(a;b) thoả mãn a 2 b 2 4 thì M thuộc đường tròn (C) tâm O, R=2 Điểm N(c;d) thoả mãn c+d=5 thì N thuộc đường thẳng (d): x+y=5
8. MN(c a;d b) MN c a 2 d b 2 a 2 c 2 2ac b 2 d 2 2bd MN= a 2 b 2 c d 2 2cd ac 2bd MN= 29 2 ac bd cd T lớn nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất Qua O dựng (D) vuông góc với (d), chọn VTPT U D n d (1;1) x t PT (D): y t 5 5 5 I=(D)  (d) ta có t+t=5 t I( ; ) 2 2 2 2 2 H=(D)  (C) ta có t +t =4 t 2 H1 ( 2; 2), H 2 ( 2; 2) 2 2 2 2 5 5 5 5 Lại có H1I= 2 2 2 2 =H2I 2 2 2 2 a 2 b 2 5 MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M  H1, N  I c 2 5 d 2 5 2 5 2 25 25 Max T= 5 2 2 2 4 4 x my m 0 Bài toán 12:Cho hệ 2 2 x y x 0 1. Biện luận theo m số nghiệm của hệ 2 2 2.Khi hệ có hai nghiệm (x1;y1), (x2;y2) tìm m để đại lượng F=(x2-x1) +(y2-y1) đạt giá trị lớn nhất Lời giải: 1.Xét đường thẳng (D) : x+my-m=0 2 1 1 1 1 Và đường tròn (C) có phương trình x y 2 Tâm I ;0 , R 2 4 2 2 Số nghiệm của hệ bằng số giao điểm của (D) và (C) 1 m 2 1 2m Ta có d=d(I, (D))= m 2 1 2 m 2 1 1 2m 4 Nếu d>R 1 m ;0  ; thì (D) và (C) không có điểm chung m 2 1 3 Hệ vô nghiệm m 0 Nếu d=R 4 Thì (D) tiếp xúc với (C) hệ có nghiệm duy nhất m 3