Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số bài toán xác suất 11

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số bài toán xác suất 11

1. Phương pháp giải một số bài tốn xác suất lớp 11 LỜI NĨI ĐẦU Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 cĩ một chương mới so với các bộ sách trước đĩ là chương II: Tổ hợp và xác suất. Phần tổ hợp trước đây nằm trong chương trình giải tích 12 nay được đưa xuống lớp 11, cịn phần xác suất là mới hồn tồn. Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do đặc thù của chuyên ngành nên các bài tốn về xác suất cĩ nhiều điểm khác biệt so với các bài tốn đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài tốn xác suất học sinh thường lúng túng, khơng biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí cĩ nhiều em đã làm xong cũng khơng dám chắc mình đã làm đúng. Với mong muốn giúp học sinh tự tin khi giải các bài tốn xác suất tơi chọn đề tài “Phương pháp giải một số bài tốn xác suất 11” Đề tài của tơi gồm 3 phần: Phần I: Lời nĩi đầu Phần II: Nội dung A: Cơ sở lý thuyết B: Phương pháp giải một số bài tốn xác suất 11 C: Một số bài tập tham khảo Phần III: Kết luận Các phương pháp này đã được tơi áp dụng vào thực tế giảng dạy trong học kỳ I của năm học 2008-2009 và đã đạt được kết quả rất khả quan. S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 1
2. Phương pháp giải một số bài tốn xác suất lớp 11 Phần II: NỘI DUNG A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1) Biến cố và phép thử biến cố Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quả của nĩ, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả cĩ thể cĩ của phép thử đĩ. Tập hợp các kết quả cĩ thể xảy ra của một phép thử được gọi là khơng gian mẫu của phép thử và kí hiệu là . Biến cố là một tập con của khơng gian mẫu Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con. Trong một phép thử luơn cĩ hai biến cố đặc biệt: ➢ Tập ∅ được gọi là biến cố khơng thể (gọi tắt là biến cố khơng). ➢ Tập được gọi là biến cố chắc chắn. Phép tốn trên biến cố Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và các kết quả của phép thử là đồng khả năng. • Tập được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là . Và xảy ra khi và chỉ khi khơng xảy ra. • Tập được gọi là hợp của các biến cố và . • Tập được gọi là giao của các biến cố và , cịn được viết là . • Nếu thì ta nĩi và là xung khắc. S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 2
3. Phương pháp giải một số bài tốn xác suất lớp 11 • Hai biến cố và được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay khơng xảy ra của biến cố này khơng làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy ra của biến cố kia. 2) Định nghĩa cổ điển của xác suất Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ cĩ một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số là xác suất của biến cố , kí hiệu là và 3) Tính chất của xác suất: a) Tính chất cơ bản: • • • , với mọi biến cố . • b) Quy tắc cộng xác suất • Nếu và xung khắc thì: • Nếu thì Thật vậy, ta cĩ Chia cả hai vế cho ta được: S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 3
4. Phương pháp giải một số bài tốn xác suất lớp 11 Nếu và xung khắc thì nên , khi đĩ: Do đĩ, với mọi biến cố và bất kì ta cĩ: c) Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố và độc lập khi và chỉ khi B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN XÁC SUẤT LỚP 11 Dạng 1: Các bài tốn tính xác suất đơn giản Các bài tốn tính xác suất đơn giản khơng cĩ nghĩa là bài tốn dễ. Ở đây tơi muốn đề cập đến các bài tốn chỉ sử dụng cơng thức định nghĩa xác suất cổ điển mà khơng cần dùng đến quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất Bài tốn 1. Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vao 6 thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đĩ là: a) Cạnh của lục giác. b) Đường chéo của lục giác. c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác. (Bài 8 – trang 77 sách Đại số và giải tích 11) Phân tích Đây cĩ thể coi là một bài tốn đếm: đếm tổng số cạnh và đường chéo của một lục giác đều. Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân biệt sao cho S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 4
5. Phương pháp giải một số bài tốn xác suất lớp 11 khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng cĩ thể tạo ra được đoạn thẳng. Do đĩ nếu gọi: là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là cạnh của lục giác” là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo của lục giác” là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác” Và ta cĩ Bài tốn 2. Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho. a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau. b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau. (Bài 6 – trang 76 sách Đại số và giải tích 11) Phân tích: Đây tuy là một bài tốn xác suất nhưng thực chất nĩ lại là một bài tốn đếm trong tổ hợp. Đĩ là tập hợp của các bài tốn tổ hợp nhỏ quen thuộc như sau: S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 5
6. Phương pháp giải một số bài tốn xác suất lớp 11 (1)Cĩ bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang ( Đáp số: cách). (2)Cĩ bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng nam nữ ngồi cạnh nhau, ( Đáp số: cách). (3)Cĩ bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng ba bạn nam ngồi cạnh nhau. ( Đáp số: 4. cách) Như vậy bài tốn trên được giải như sau Lời giải: Gọi là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau” Và là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau” Ta cĩ Suy ra Như vậy phần lớn các bài tốn dạng 1 là các bài tốn sử dụng cơng thức và kĩ thuật của tốn tổ hợp. Đối với các bài tốn như vậy thì học sinh chỉ cần phải nắm vững cơng thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất. Bên cạnh đĩ, cĩ những bài tốn chỉ cần dùng phương pháp liệt kê. Bài tốn 3. S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 6
7. Phương pháp giải một số bài tốn xác suất lớp 11 Gieo một con súc xắc, cân đối và đồng nhất. Giả sử con súc xắc suất hiện mặt b chấm. Xét phương trình Tính xác suất sao cho phương trình cĩ nghiệm. ( Bài 4 trang 74 sách Đại số và giải tích 11) Lời giải: Ký hiệu “con súc xắc suất hiện mặt b chấm” là b: Khơng gian mẫu: Gọi A l à biến cố: “Phương trình cĩ nghiệm” Ta đã biết phương trình cĩ nghiệm khi Do đĩ Tuy nhiên, phương pháp liệt kê chỉ cĩ hiệu quả khi số phần tử của biến cố là nhỏ. Nếu số phần tử lớn thì việc liệt kê trở nên khĩ khăn và dễ xét thiếu phần tử Bài tốn 4. Trên một cái vịng hình trịn dùng để quay sổ số cĩ gắn 36 con số từ 01 đến 36. Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau. Tính xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) trong lần quay thứ 2. Phân tích: Rõ ràng là trong bài tốn này ta khơng thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính tốn. Gọi A là biến cố cần tính xác suất S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 7
8. Phương pháp giải một số bài tốn xác suất lớp 11 Cĩ 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i cĩ 25 cách chọn j ( từ13 đến36 cĩ 25 số) do đĩ theo quy tắc nhân Ta cùng xét một bài tốn khá thú vị sau: Bài tốn 5 Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại. a) Mơ tả khơng gian mẫu. b) Tính xác suất: A: “Số lần gieo khơng vượt quá ba” B: “Số lần gieo là năm” C: “Số lần gieo là sáu” Phân tích: Đối với bài tốn này rất nhiều học sinh lúng túng khơng biết cách xác định khơng gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài tốn cho trước số lần gieo. Bài tốn này trước hết phải xác định được số lần gieo. Giáo viên cĩ thể gợi ý cho học sinh bằng các câu hỏi như: o Nếu khơng cĩ giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần? o Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần? Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh khơng thể đưa ra một con số cụ thể vì nếu gieo 100 lần vẫn cĩ thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đĩ vẫn chưa thể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên. Với câu hỏi thứ hai học sinh cĩ thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đĩ học sinh cĩ thể xác định được khơng gian mẫu S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 8
9. Phương pháp giải một số bài tốn xác suất lớp 11 Lời giải a) Khơng gian mẫu b) Ta cĩ: Sau đây tơi xin trình bày phương pháp giải một số bài tốn bằng cách sử dụng các quy tắc tính xác suất đã học. Dạng 2: Biến cố đối Trong tốn học, cĩ những bài tốn khi tính tốn trực tiếp rất dài dịng và phức tạp. Khi đĩ phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn. Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy Bài tốn 6 Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến cố: a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo cĩ ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”. b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo cĩ cả hai mặt sấp, ngửa”. Phân tích: Học sinh cĩ thể giải quyết bài tốn theo định hướng là: ít nhất 1 lần xuất hiện mặt ngửa thì cĩ 3 khả năng cĩ thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hai lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa. Do vậy học sinh sẽ giải bài tốn như sau: S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 9
10. Phương pháp giải một số bài tốn xác suất lớp 11 Suy ra Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp. Tuy nhiên nếu để ý rằng biến cố đối của biến cố A là biến cố : “Khơng cĩ lần nào xuất hiện mặt ngửa”. Do đĩ bài tốn này sẽ được giải như sau: Lời giải Khơng gian mẫu a) Ta cĩ biến cố đối của biến cố A là biến cố: : “Khơng cố lần nào xuất hiện mặt ngửa” Và ta cĩ b) Tương tự ta cĩ: Bài tốn 7. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau: a) Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm” b) Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11” Phân tích: Đối với bài tốn này dùng phương pháp sử dụng biến cố đối là phương pháp tối ưu bởi lẽ nếu tính trực tiếp ta phải xét rất nhiều trường hợp o Đối với biến cố A S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 10