Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp dạy giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp dạy giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1. SKKN – Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường gặp i. đặt vấn đề 1. Lời nói đầu ở trường phổ thông, dạy toán là hoạt động toán học. Đối với học sinh, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Mặt khác, mỗi bài toán ta có thể xem là một định lý, có những bài toán là tiền đề của những kiến thức khác. Giải toán là một hình thức rất tốt để rèn những kỹ năng: Kĩ năng tính toán, kĩ năng biến đổi, kĩ năng suy luận, kĩ năng toán học hóa. Giải toán còn là một hình thức tốt nhất để kiểm tra về năng lực, mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức. Việc tìm kiếm kiến thức, lời giải cho một bài toán rèn luyện phương pháp khoa học trong suy nghĩ, suy luận trong giải quyết các vấn đề và qua đó rèn luyện trí thông minh sáng tạo, phát triển các năng lực trí tuệ. Hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, nhân sinh quan cách mạng. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Trong quá trình dạy học giải toán, loại toán mà học sinh thường cảm thấy khó là tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức.Tuy nhiên, đó mới là những bài tập rèn luyện được tư duy, trí tuệ nhiều nhất, học sinh cảm thấy rất hứng thú khi tìm ra được con đường đi nhanh nhất, thuận lợi nhất. Đặc biệt, đây là những bài toán để phát hiện được những học sinh thông minh có óc tư duy trừu tượng tốt nhất. Và trong đề tài này tôi sẽ đề cập đến vấn đề "phương pháp dạy giải toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức". 2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu a.Thực trạng Chúng ta đã nhận thức rõ vai trò của việc học toán đặc biệt là việc giải toán trong hoạt động toán học . Hoàng Thị Thuỷ – Trường THCS Hà Phong 1
2. SKKN – Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường gặp Khi một học sinh tự tìm ra lời giải của một bài toán khó, phương pháp giải mới, độc đáo của một bài toán gây nên sự hào hứng, phấn chấn cho học sinh đó. Điều này có ý nghĩa to lớn trong việc vun đắp lòng say mê học toán và ước mơ vươn tới vinh quang trong lĩnh vực nghiên cứu khám phá, phát minh những vấn đề mới. Tuy nhiên, trong quá trình dạy và học toán lớp 9 Trường THCS Hà Phong trong năm học vừa qua thì học sinh thường xem loại toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức là loại toán khó. Qua đó chúng ta thấy rằng việc định hướng cho học sinh về phương pháp suy luận trong giải loại toán này là rất quan trọng. b.Kết quả: Thành công trong việc vận dụng các phương pháp suy luận để giải một bài toán tuỳ thuộc vào năng lực, kinh nghiệm và kiến thức của mỗi người. Năng lực và kinh nghiệm có thể hình thành qua việc rèn luyện và tích luỹ như thế thông qua giải toán mà rèn luyện năng lực và tích luỹ kinh nghiệm đồng thời nhờ năng lực và kinh nghiệm mà khả năng giải toán được nâng cao. Nhưng để học sinh không cảm thấy nhàm chán và xem việc giải bài tập toán là một gánh nặng tôi xin mạnh dạn đưa ra một vài kinh nghiệm khi dạy học giải bài toán tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Để giải các bài tập tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức ngoài việc nắm vững kiến thức người giải toán còn phải có phương pháp suy nghĩ khoa học và kinh nghiệm. Phương pháp suy nghĩ và kinh nghiệm đó được hình thành qua quá trình học tập, rèn luyện và tích luỹ. Nó phụ thuộc vào mỗi con người để đạt đến trình độ mà ta gọi là kĩ năng giải toán chúng ta cần học tập kinh nghiệm kết hợp với việc tự rèn luyện và vận dụng những điều đó qua thực hành giải toán. Với mục đích đó đề tài của tôi sẽ đề cập đến nội dung : Giải một bài toán như thế nào?. Cụ thể là “Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức " Hoàng Thị Thuỷ – Trường THCS Hà Phong 2
3. SKKN – Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường gặp II. Giải quyết vấn đề. 1. Các giải pháp thực hiện: Giải pháp 1: Đề tài “Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” sẽ khám phá hứng thú học tập bộ môn Đại Số của học sinh khi đưa ra những bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Đánh giá kết quả học tập, tiếp thu kiến thức mới và khả năng vận dụng vào bài tập của học sinh. Thông qua phương pháp giảng dạy này giúp học sinh định hình được trình tự các bước giải một bài tập tìm cực trị. Giúp học sinh phát huy khả năng độc lập tư duy sáng tạo biết so sánh, phân tích, tổng hợp. Giúp giáo viên phân định được lực học của học sinh trong lớp mình dạy để từ đó giúp giáo viên có phương pháp bồi dưỡng học sinh khá giỏi nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn đồng thời bồi dưỡng học sinh yếu kém. Giải pháp 2: Để giải những bài tập trong đề tài này yêu cầu học sinh cần nắm vững những kiến thức sau : 1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức: • Định nghĩa giá trị lớn nhất: Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, ký hiệu M=maxf(x), nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với mọi x thuộc D thì f(x) Ê M, với M là hằng số. - Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M. • Định nghĩa giá trị nhỏ nhất: Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, ký hiệu m = minf(x) nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với mọi x thuộc D sao cho f(x0) =m. - Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = m. Ta cũng định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x,y, ) giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y, ) bằng cách tương tự. Hoàng Thị Thuỷ – Trường THCS Hà Phong 3
4. SKKN – Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường gặp 2. Sử dụng tính chất : biểu thức A2(x)³ 0 với mọi xẻ R. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A(x) = 0. 3.Thành thạo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.Đặc biệt là HĐT: (A ± B)2 ; A3 + B 3 = (A + B)3 - 3AB(A + B) 4. Cực trị của đa thức bậc hai với điều kiện ràng buộc của biến: Xét đa thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c với aạ 0. b b b2 b2 b D Ta có: f(x) = a(x2+ x)+c = a(x2+ x+ )+c- =a(x+ )2- a a 4a2 4a2 2a 4a D b Nếu a>0 thì minf(x)=- khi và chỉ khi x= - . 4a 2a D b Nếu a<0 thì maxf(x)= - khi và chỉ khi x= - . 4a 2a Như vậy , khi biến x nhận mọi giá trị thuộc R thì đa thức f(x) đạt cực trị tại b x= - . Nhưng có những bài toán yêu cầu tìm cực trị tại những giá trị của biến x 2a b không phải nhận giá trị - . 2a 5. Bất đẳng thức Côsi: Cho 2 số không âm a, b ta có : ab 2. Các biện pháp tổ chức thực hiện 1- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết + Nghiên cứu sách giáo khoa Đại số lớp 8 Tập I; Sách bài tập Toán 7. + Toán nâng cao và phát triển Toán 9; tập I; Tập II + Phương pháp dạy học toán 2- Phương pháp tự nghiên cứu 3- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Nghiên cứu hứng thú học tập, đánh giá mức độ hiểu biết của học sinh, nắm kiến thức và vận dụng lý thuyết vào thực tiễn. - Đánh giá thực tế chung học sinh qua các tiết luyện tập, ôn tập, sử dụng các hình thức so sánh, phân tích, tổng hợp. Kiểm tra trắc nghiệm sau các tiết dạy rồi sử dụng bảng thống kê để tổng hợp kết quả sau tiết dạy. Từ các hình thức giảng dạy rồi đúc kết đưa ra hình thức giảng dạy tối ưu nhất, hiệu quả nhất, học sinh hiểu bài nhất. Hoàng Thị Thuỷ – Trường THCS Hà Phong 4
5. SKKN – Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường gặp Sưu tầm các đề thi vào lớp 10 THPT, đề thi vào trường chuyên Lam Sơn Tỉnh Thanh Hoá, đề thi học sinh giỏi hàng năm để nắm bắt các dạng toán và rút ra kinh nghiệm chung khi giải toán cực trị. Cụ thể tôi sẽ trình bày cách hướng dẫn HS giải bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức và tính chất biểu thức A2(x)³ 0 với mọi xẻ R . Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a. (x-3)2 + (y-1)2 + 5; 2 2 b. x- 3+ x + y +1. 2 c. x- 100 + (x- y) + 100. Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau: a. 10 - (y2-25)4; b. -125 - (x-4)2 - (y-5)2 Đây là loại toán có mức độ dễ và thuộc trình độ học sinh lớp 7 Tuy nhiên với học sinh chưa bao giờ gặp thì cũng có thể hầu hết đều chưa biết giải. Giáo viên đưa ra tính chất: biểu thức A2(x)³ 0 với mọi xẻ R. Dấu bằng xảy ra Û A(x) = 0. Các em có nhận xét gì về các số hạng trong mỗi biểu thức ở VD 1? Vậy em hãy chỉ ra giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức đó? Dấu bằng ở mỗi biểu thức xảy ra khi nào? Giải VD 1: a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x-3)2 + (y-1)2 + 5 là 5 đạt được tại x=3 và y=1. 2 2 b. Không tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức x- 3+ x + y +1 . Vì x - 3 = 0 Û x=3 ; và x2=0 Û x=0. c. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x - 100 + (x - y)2 + 100 là 100 tại x=y=100. Giải VD 2: Hoàng Thị Thuỷ – Trường THCS Hà Phong 5
6. SKKN – Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường gặp a.Vì (y2-25)4³ 0 với mọi y ( yẻ R) nên 10 - (y2-25)4 10. Giá trị lớn nhất của biểu thức 10 - (y2-25)4 là 10 khi và chỉ khi y2-25=0, suy ra y=5 hoặc y=-5. b. -125 - (x-4)2 - (y-5)2=- 125-[(x-4)2 + (y-5)2] Ê -125 với mọi x và mọi y thuộc R. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức là -125 khi x=4, y=5. Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 A= . x 2 - 6x + 17 Gv hướng dẫn HS nhận xét tử và mẫu của A là số luôn dương. nên A>0 , do đó A 1 lớn nhất Û nhỏ nhất. A 2 Lời giải: Nhận xét: x - 6x+ 17=(x - 3)2 +8³ 8 nên tử và mẫu của A là các số 1 2 dương ị A>0 do đó A lớn nhất Û nhỏ nhất Û x - 6x + 17nhỏ nhất A 2 Ta có min (x - 6x + 17)=8 Û x=3. 1 Vậy: maxA= Û x=3. 8 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B=x 2 + y 2 biết x+y=4. Học sinh thường mắc một số sai lầm khi lập luận như sau: Ta có : A=x 2 + y2 ³ 2xy. 2 2 Do đó A nhỏ nhất Û x + y =2xy Û x=y=2. Khi đó min A =22+22 =8. Tuy đáp số không sai nhưng lập luận mắc sai lầm ta mới chứng minh được f(x,y) ³ g(x,y) chứ chưa chứng minh được f(x,y) ³ m với m là hằng số. 2 2 Lời giải: Ta có: x+y=4ị x + 2xy+ y =16.(1) Ta lại có: (x - y)2 ³ 0 ị x2 - 2xy + y2 ³ 0(2) Từ (1) và (2) suy ra 2(x2 + y2)³ 16ị x2 + y2 ³ 8. minA = 8 khi và chỉ khi x=y=2. Ví dụ 5: Cho x,y là các số thực không âm thay đổi thoả mãn x+y=1. Hoàng Thị Thuỷ – Trường THCS Hà Phong 6