Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển từ một bài toán một dạng toán về ƯCLN và BCNN

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển từ một bài toán một dạng toán về ƯCLN và BCNN

1. Trường THCS An Hai Người thực hiện: Bùi Văn Tiến B . PHẦN NỘI DUNG Phần I PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN Trong chương trình toán số học lớp 6 ,sau khi học khái niệm ƯCLN và CBNN các bạn sẽ gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN và BCNN Phương pháp chung để giải : 1) Dựa vào định nghĩa ƯCLN,để biểu diễn hai số phải tìm , liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số . 2) Trong một số trường hợp ,có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN và BCNN và tích của hai số nguyên dương a,b đó là : ab = (a,b) .[a,b] trong đó (a,b) là ƯCLN và [a,b] là BCNN của a và b .Việc chứng minh định nghĩa này không khó : Theo định nghĩa ƯCLN gọi d=(a,b) a= md ; b = dn với m,n Z+ và (a,b) = 1 (*) Từ (*) ab = mnd2 ; [a,b] = mnd (a,b) .[a,b] = d.(nmd) = mnd2 = ab ab = (a,b) .[a,b] ( ) Từ bài toán hết sức đơn giản giúp ta giải nhanh một số bài toán khó và phức tạp hơn Bài toán gốc 1 : So sánh tích ƯCLN(a;b) . BCNN(a;b) với tích a.b (Bài 115 b – Sgk lớp 6 – tập 1 ) Giải: Gọi d = (a;b) thì a = da’ , b = db’ (1) trong đó (a’;b’) = 1 ab Đặt = m (2) ta cần chứng minh rằng [a,b]= m d Để chứng minh điều này , ta cần chứng tỏ tồn tại các số tự nhiên x,y sao cho m = ax , m = by và (x;y ) = 1 b Thật vậy từ (1) và (2) ta suy ra m = a. = ab’ d Phát triển từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài tập ở bậc THCS
2. Trường THCS An Hai Người thực hiện: Bùi Văn Tiến (4) a m = b. = ba’. Do đó : ta chọn x = b’; y = a’; thế thì ( x;y ) = 1 d ab Vậy : = [ a,b ], tức là : [a,b].(a,b) = a.b d Chúng ta hãy xét một số bài toán minh hoạ : Bài toán 1.1 : Tìm hai số nguyên dương a,b biết [a,b] = 240 và (a,b) = 16. Lời giải Do vai trò của a,b là như nhau, không mất tính tổng quát , giả sử a b . Từ (*) , do (a,b) = 16 nên a= 16m ; b = 16n (m n do a b ) với m,n Z+; (m,n) = 1. Theo định nghĩa CBNN :[a,b] = nmd = mn.16 = 240 mn = 15 m 1,n 15 a 16,b 240 m 3,n 5 a 48,b 80 Chú ý Ta có thể áp dụng công thức ( ) để giải bài toán này : ab = (a,b) .[a,b] mn.162 = 240.16 mn= 15 Bài toán 1.2: Tìm hai số nguyên dương a,b biết ab = 216 và (a,b) = 6 Lời giải Lập luận như bài 1 , giả sử a b . Do (a,b) = 6 a= 16m;b= 16n với n,m Z+ (m,n) =1;m n . Vì vậy a = 6m.6n = 36mn ab = 216 mn=6 m 1,n 6 a 6,b 36 m 2,n 3 a 12,b 18 Bài toán 1.3 : Tìm hai số nguyên dương a,b biết ab = 180,[a,b] = 60 Lời giải : ab 180 Từ ( ) (a,b) = 3 Tìm được (a,b) =3 , a,b 60 bài toán được về dạng bài toán 1.2 a 3,b 60 Kết quả : a 12,b 15 Phát triển từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài tập ở bậc THCS
3. Trường THCS An Hai Người thực hiện: Bùi Văn Tiến (5) Chú ý : ta có thể tìm (a,b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN và BCNN : theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a,b] = mnd= 60 d= (a,b) = 3 . a Bài toán 1.4 : Tìm hai số nguyên dương a,b biết 2,6 và (a,b) = 5 b Giải : Theo (*) ta có (a,b) = 5 a= 5m ; b= 5n với :( m,n) = 1. a m m 13 Như vậy : = =2,6 = b n n 5 m 13 a 65 n 5 b 25 Chú ý ; Phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản do (m,n)=1 Bài toán1. 5: a 4 Tìm hai số a,b biết = và [a,b] = 140 b 5 Giải a 4 Đặt (a,b) = d . Vì = mặt khác (4,5) = 1 nên a= 4d, b = 5d b 5 Lưu ý [a,b] = 4.5.d = 20d = 140 d = 7 a = 28; b = 35 Bài toán 1.6 : Tìm hai số nguyên dương a,b biết a + b = 128 và (a,b) = 16 Giải: Lập luận như bài 1.1, giả sử a b Ta có : a = 16m ; b = 16n Với : n,m Z+; (m,n) =1; m n Vì vậy : a +b = 128 16 ( m+n) = 128 m+n = 8 Phát triển từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài tập ở bậc THCS
4. Trường THCS An Hai Người thực hiện: Bùi Văn Tiến m 1;n 7 a 16;b 112 (6) m 3;n 5 a 48,b 80 Bài toán 1.7 : Tìm a,b biết a+b = 42 và [a,b] = 72 . Giải Gọi d = ( a,b) a = md;b = nd Với : n,m Z+; (m,n) =1 ;(n,m) = 1 Không mất tính tổng quát , giả sử a b m n . do đó a+ b = d (m+n) = 42 (1) [a,b] = mnd = 72 (2) d là ước chung của 42 và 72 d 1;2;3;6 Lần lược thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m,n ta thấy chỉ có trường hợp d = 6 m n 7 m 3 mn 12 n 4 a 3.6 18 Vậy d = 6 và b 4.6 24 Bài toán 1.8: tìm hai số , biết rằng bội chung nhỏ nhất của chúng và ước chung lớn nhất của chúng có tổng bằng 19 Giải : Gọi a và b là hai số phải tìm , d là ƯCLN ( a,b). a da' ƯCLN(a,b) = d b db' (a ',b') 1 a.b da '.db' BCNN(a,b) = da 'b' UCLN(a,b) d Theo đề bài : BCNN(a,b) + ƯCLN (a,b) = 19 Nên : da’b’ + d =19 . Suy ra d(a’b’ + 1) = 19 Do đó a’b’ + 1 là ước của 19, và a’b’ + 1 2 Giả sử a b thì a ' b' a ' b' ta được : d a’b’ a’ b’ a b 18 1 18 1 1 18 = 2.32 9 2 9 2 Kết quả : 18 và 1; 9 và 2 (7) Phát triển từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài tập ở bậc THCS
5. Trường THCS An Hai Người thực hiện: Bùi Văn Tiến Phát triển từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài tập ở bậc THCS