Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử

1. PHOỉNG GIAÙO DUẽC THAỉNH PHOÁ BUOÂN MA THUOÄT    TAỉI LIEÄU OÂN THI LễÙP 10 Người thực hiện: Nguyeón Xuaõn Chuyeõn Trường : THCS Nguyeón Thũ Minh Khai DAấK LAấK 1
2. I .Đặt vấn đề Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói riêng, con người cần phải có một tri thức, một tư duy nhạy bén để nắm bắt và sử dụng những tri thức đó trong cuộc sống hàng ngày. Muốn có những tri thức đó con người cần phải học, nhà trường là một trong những nơi cung cấp những hành trang đó . Bộ môn toán trong trường trung học cơ sở, nhất là bộ môn đại số 8 là một bộ môn rèn luyện tính tư duy nhạy bén của học sinh, nó đòi hỏi người học phải nhìn nhận vấn đề dưới mọi góc độ phải liên hệ giữa bài toán đã giải,những kiến thức đã biết để giải quyết.vì vậy người thầy phải cho học sinh nắm được các dạng toán cơ bản và các hướng mở rộng của bài toán đó. Từ đó để học sinh phát triển tư duy và hình thành kĩ năng giải toán. Muốn đạt được điều đó phải đòi hỏi tính tích cực, tính tư duy của người học nhưng phương pháp của người thầy cũng rất quan trọng,làm cho học sinh học một nhưng có thể làm được hai ba. Từ bài toán đơn giản mở rộng lên bài khó . Khi tính toán các phép tính đối với đa thức,nhiều khi cần thiết phải biến đa thức đó trở thành một tích.Việc phân tích đa thức thành nhân tử được áp dụng vào : Rút gọn biểu thức,giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thức,biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Để phân tích đa thức thành nhân tử, có nhiều phương pháp, ngoài ba phương pháp cơ bản như : Đặt nhân tử chung, nhóm nhiều hạng tử, dùng hằng đẳng thức ta còn có các phương pháp khác như tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ ( đổi biến), hệ số nhất định, xét giá trị riêng. Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác nhau do đó khi giảng dạy người giáo viên giúp học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để phát huy được trí lực của học sinh, phát triển được tư duy toán học. Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách giáo khoa. Đặc biệt đối với học sinh khá, giỏi. Giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp để giải quyết các bài toán khó. Vì vậy, tôi cũng nêu ra phương pháp phát huy trí lực của học sinh qua việc dạy, giải bài tập áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. B. Nội Dung Phần I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2
3. 1. Các phương pháp cơ bản a. Phương pháp - Tìm nhân tử chung là những đơn,đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. - Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác - Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ). b. Ví dụ: 15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b ( 5b - 3a - b2 ) 2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) xm + 3 + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1) 2.Phương pháp dùng hằng đẳng thức a. Phương pháp: - Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b. Ví dụ: 9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2) 8 -27a3b6 = 23 - (3ab2)3 = (2-3ab2)(4+6ab2+9a2b4) 25x4 - 10x2y+y2 = (5x2-y)2 3.Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. a. Phương pháp - Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. - áp dụng tiếp tục các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức. b. Ví dụ: 2x3 - 3x2 + 2x - 3 = (2x3 + 2x ) - (3x2 + 3) = 2x(x2 +1) - 3(x2 +1) = (x2 +1) (2x - 3) x2 - 2xy + y2 - 16 = (x -y )2 - 42 = (x - y - 4) (x - y + 4) 4. Phối hợp nhiều phương pháp a. Phương pháp: - Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên + Đặt nhân tử chung. + Dùng hằng đẳng thức. 3
4. + Nhóm nhiều hạng tử. b. Ví dụ: 3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4) =3x (y -2 )2 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy =3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) 2 2 2 =3xy (x 2x 1) (y 2ay a ) 2 2 =3xy x 1 y a =3xy x 1 y a x 1 y a =3xy( x-1 - y - a)(x - 1 + y +a ) 5. Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử. a. Phương pháp: Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng Phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung. b. Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử . * Cách 1: x2- 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4) * Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1 = ( x - 3)2 - 1 =( x -3 - 1)( x- 3 + 1) = (x - 4)(x -2) * Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12 =(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = x - 4)(x -2) * Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + 4 ) - 6 (x - 4) =(x - 4)(x + 4 - 6) = (x - 4)(x -2) * Cách 5: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 -2x + 4 = (x - 2)2 - (x - 2) =( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2) Tuy rằng có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là hai cách sau: 4
5. *Cách 1: Tách hạng bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới. áp dụng trong khi phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm như sau: - Tìm tích ac - Phân tích tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. - Chọn hai thừa số có tổng bằng b Khi đó hạng tử bx đã được tách thành hai hạng tử bậc nhất. Ví dụ: 4x2 - 4x - 3 - Tích ac là 4.(- 3) = - 12 - Phân tích -12 = -1 . 12 = 1.(-12) =-2 . 6 = -3 .4 =3 .(-4) - Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (- 6) 4x2 - 4x - 3 = 4x2 + 2x - 6x - 3 = 2x( 2x+ 1) - 3 (2x + 1) =(2x + 1)(2x - 3) * Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương. Ví dụ: 4x2 - 4x - 3 = 4x2 - 4x +1 - 4 = ( 2x - 1)2 - 22 = (2x - 1 - 2)(2x - 1 +2) = (2x + 1)(2x-3) 3x2 - 8x + 4 = 4x2- 8x + 4 - x2 = (2x - 2 )2 - x2 = ( 2x - 2 - x)(2x -2 + x ) = (x - 2 )(3x -2) 6. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. a. Phương pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng a2- b2 sau khi thêm bớt . b. Ví dụ: 4x2 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 =( 2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x) x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + 1 = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1) = x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1) 5
6. II. Các phương pháp khác: 1. Phương pháp đổi biến số( Đặt ẩn phụ ) a. Phương pháp: Đặt ẩn phụ đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản. b. Ví dụ: * Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử . đặt x2 = y ta được 6y2 - 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3) Vậy: 6x4 - 11x2 + 3 = ( 3x2 - 1 )(2x2 - 3) * Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử. đặt x2 + x = y ta được y2 + 4y + 2 = (y +1)(y+2) Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2) 2. Phương pháp hệ số bất định . a. Phương pháp: Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx2 + dx +m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia. b.Ví dụ: Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử. Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng x(x2 + bx + c) = x + (a+b)x2 + (ab + c)x +ac Vì 2 đa thức này đồng nhất nên: a+ b = 0 ab + c = -19 ac =-30 Chọn a = 2, c = -15 Khi đó b = -2 thoả mãn 3 điều kiện trên Vậy : x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15) 3. Phương pháp xét giá trị riêng. a. Phương pháp: 6
7. Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại. b.Ví dụ P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x bởi y thì thấy P = y2 ( y- z) + y2 (z - y) = 0 như vậy P chứa thừa số (x -y) Vậy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x - y) thì cũng chứa thừa số (y - z), (z - x ). Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x). Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y,z Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x). đúng với mọi x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z = 0 ta được: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) k =-1 Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) c)Ngoài ra ta còn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử,trong đó a,b,c có vai trò như nhau trong biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = 0 khi a=b thì F(a,b,c) sẽ chứa nhân tử a-b,b-c,c-a .Nếu F(a,b,c) là biểu thức đối xứng của a,b,c nhưng F(a,b,c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu không,nếu thoả mãn thì F(a,b,c) chứa nhân tử a+b và từ đó chứa các nhân tử b+c, c+a. c1)Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử F(a,b,c) = a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) - Khi a= b ta có F(a,b,c) = a2(a-c)+a2(c-a) = 0,do đó F(a,b,c) có chứa nhân tử (a-b). Tương tự F(a,b,c) chứa các nhân tử (b-c) và (c-a) .Vì F(a,b,c) là biểu thức bậc ba do đó F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a). Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có 1+1 = k.1.1.(-2) k = -1 Vậy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a) c2)Ví dụ 2:Phân tích đa thức thành nhân tử F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz . - Khi x = -y thì F(x,y,z)= -y2z + y2z = 0 nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y 7
8. Lập luận tương tự ví dụ 1,ta có F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x). 4. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức: a. Phương pháp: Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do. Ví dụ: x3 + 3x - 4 Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân tử còn lại có dạng (x2 + bx + c) -ac = - 4 a là ước của - 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi. Ước của (- 4 ) là (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức đa thức chứa nhân tử ( x - 1). Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x - 1). *Cách 1: x3 + 3x - 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4 = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2 *Cách 2: x3 + 3x - 4 =x3 - 1 + 3x2 - 3 = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1) = ( x - 1)(x + 2)2 Chú ý: - Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x-1) -Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức có chứa nhân tử ( x + 1). Ví dụ: * Đa thức: x2 - 5x + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0 Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1) *Đa thức: 5x3 - 5x2 + 3x + 9 có -5 + 9 =1 + 3 Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1). 8