Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm khi giải toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm khi giải toán

1. Sáng kiến kinh nghiệm MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI TOÁN A / Lời mở đầu : Khi giải các bài toán các học sinh thường gặp các lỗi sau : 1/ Cách trình bày bài toán : không rõ ràng , thiếu lập luận . 2/ Cách phân tích bài toán : Chưa khai thác giả thiết bài toán , chưa phân tích kết luận , chưa tìm được mối liên hệ của giả thiết và kết luận của bài toán . 3/ Sử dụng các công thức còn sai , chưa vận dụng phù hợp các công thức vào các bài toán 4/ Chưa có được một phương pháp , một kế hoạch để giải một bài toán . B/ Một số bài toán minh hoạ : I / PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1/ Mũ và lôgarít . n m 1. Dạng : loga b ? Ví dụ 1 : Giải phương trình log2 x2 3log x 10 0 (1) 2 2 (*) Sai lầm thưòng gặp : Điều kiện : x > 0 2log2 x 3log x 10 0 PT (1) 2 2 3 89 Đặt t log x ta có 2t2 3t 10 0 t 2 4 3 89 3 89 3 89 Với t log x x 2 4 4 2 4 3 89 3 89 3 89 Với t log x x 2 4 4 2 4 3 89 3 89 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 2 4 và x 2 4 (*) Nguyên nhân sai lầm : do áp dụng công thức sai : log2 x2 2log2 x với x >0 2 2 áp dụng công thức đúng là : log2 x2 (2log x)2 4log2 x ,x0 2 2 2 (*) Lời giải đúng : Điều kiện : x > 0 5 1 log x x 2 2 4 4 (1) 4log x 3log x 10 0 2 2 2 2 log x 2 2 x 4 * Một số bài tập tương tự: x3 32 1/ Giải bất phương trình : 4 2 2 log x log 9log 4log x 2 1 8 2 x2 1 2 2 log f (x) 2.Dạng : a a g(x) f (x) g(x) ? Giáo viên:Trần Minh Cường Trang 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm log (x2 8) Ví dụ 2 : Giải phương trình : 8 2 (x 2)3 (*) * Sai lầm thường gặp : 3 3log (x2 8) log (x2 8) (*) 2 2 (x 2)3 2 2 (x 2)3 2 2 x 3 x 8 x 2 x x 6 0 x 2 * Nguyên nhân sai lầm : Với x = -2 thì biểu thức log (x2 8) vô nghĩa nên x = -2 không phải là 2 nghiệm của ( * ) * Lời giải đúng : 3 3log (x2 8) log (x2 8) (*) 2 2 (x 2)3 2 2 (x 2)3 2 2 x 8 x 2 x x 6 0 2 2 x 80 x 80 x 3 x 2 2 x 3 x 80 A2 A2 3/ Dạng : 0 hoặc 0 B B 4x2 12x 9 Ví dụ 3 : Giải bất phương trình : 0 x2 3x 4 * Sai lầm thường gặp : 4x2 12x 9 (2x 3)2 0 0 x2 3x 40 x 1 x4 x2 3x 4 x2 3x 4 Vậy tập bất phương trình là : S ( ; 1)  (4; ) * Nguyên nhân sai lầm : 3 + Bài toán bị mất nghiệm : x 2 (2x 3)2 + Việc biến đổi : 0 x2 3x 40 là không tương đương . x2 3x 4 * Lời giải đúng : 2x 3 0 2 3 4x2 12x 9 (2x 3)2 x 3x 4 0 x 0 0 2 x2 3x 4 x2 3x 4 2x 3 0 x 1 x4 2 x 3x 40 3 Vậy tập nghiệm bất phương trình là : S ( ; 1)  (4; )   2 Giáo viên:Trần Minh Cường Trang 2
3. Sáng kiến kinh nghiệm x 2 Ví dụ 4 : Giải bất phương trình : 0 3x 1 9 * Sai lầm thường gặp : x 2 x 2 0 x 2 x 2 0 x 3 x 1 x 1  3 9 3 90 x 12 x3 * Nguyên nhân sai lầm : Với x = 2 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng Cách giải trên đã làm mất nghiệm . * Lời giải đúng : x 2 0 x 2 x 1 x 2 3 9 0 x 2 0 x2 3x 1 9 x3 x 20 x3 x 1 3 90 * Bài tập tương tự: Giải bất phương trình : 4x2 4x 1 1/ 0 x2 x 6 2x 1 x 2 2/ 3 4.3 1 log3 x 1 0 II / Đối với tích phân : Ví dụ 5: Tính tích phân sau 2 dx I = 2 2 (x 1) Giải 1 Hàm số y = không xác định tại x= -1  2;2 suy ra hàm số không liên tục trên  2;2 (x 1) 2 do đó tích phân trên không tồn tại. * chú y: nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau: 2 dx 2 d(x 1) 1 1 4 I = = =- 2 =- -1 = - 2 2 2 2 (x 1) 2 (x 1) x 1 3 3 * Nguyên nhân sai lầm : 1 Hàm số y = không xác định tại x= -1  2;2 suy ra hàm số không liên tục trên  2;2 (x 1) 2 nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên. * Chú ý đối với học sinh: Giáo viên:Trần Minh Cường Trang 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm b Khi tính f (x)dx cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên a;b không? nếu có thì áp dụng a phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. * Một số bài tập tương tự: 5 dx 3 1 1/ . 2/ x(x 2 1) 2 dx . 4 0 (x 4) 2 2 1 1 x 3 .e x x 2 3/ dx 4/ dx 4 3 0 cos x 1 x dx Vídụ 6 :Tính tích phân: I = 0 1 sin x * Giải: x d dx dx 2 4 x I = = tg = tg tg 2 0 1 sin x 2 x 2 4 4 4 0 0 1 cos x 0 cos 2 2 4 * Sai lầm thường gặp: x 2dt 1 1 t 2 Đặt t = tan thì dx = ; = 2 1 t 2 1 sin x (1 t) 2 dx 2dt 2 = = 2(t 1) 2 d(t+1) = + c 1 sin x (1 t) 2 t 1 dx 2 2 2 I = = = - 1 sin x x 0 tan 0 1 0 tan 1 tan 1 2 2 do tan không xác định nên tích phân trên không tồn tại 2 *Nguyên nhân sai lầm: x x Đặt t = tan x 0;  tại x = thì tan không có nghĩa. 2 2 . * Chú ý đối với học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên a;b. Giáo viên:Trần Minh Cường Trang 4
5. Sáng kiến kinh nghiệm dx dx *Một số bài tập tương tự: 1/ 2/ 0 sin x 0 1 cos x 4 Ví dụ 7: Tính I = x 2 6x 9 dx 0 * Sai lầm thường gặp: 4 4 4 2 2 x 3 1 9 I = x 2 6x 9 dx = x 3 dx x 3 d x 3 4 4 0 0 0 0 2 2 2 * Nguyên nhân sai lầm: 2 Phép biến đổi x 3 x 3 với x 0;4 là không tương đương. * Lời giải đúng: 4 I = x 2 6x 9 dx 0 4 4 3 4 = x 3 2 dx x 3d x 3 x 3 d x 3 x 3 d x 3 0 0 0 3 x 3 2 x 3 2 9 1 = - 3 4 5 2 0 2 3 2 2 * Chú ý đối với học sinh: 2n f x 2n f x n 1, n N b b I = 2n f x 2n f x dx ta phải xét dấu hàm số f(x) trêna;b a a rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Một số bài tập tương tự: 3 1/ I = 1 sin 2x dx ; 2/ I = x 3 2x 2 x dx 0 0 2 1 3 3/ I = x 2 2 dx 4/ I = tg 2 x cot g 2 x 2 dx 2 1 x 2 6 0 dx Ví dụ 8: Tính I = 2 1 x 2x 2 * Sai lầm thường gặp: Giáo viên:Trần Minh Cường Trang 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm 0 d x 1 I = arctan x 1 0 arctan1 arctan 0 2 1 1 x 1 1 4 * Nguyên nhân sai lầm : Đáp số của bài toán thì không sai. Nhưng khái niệm hàm số ngược bây giờ không đưa vào chương trình thpt. * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tant dx 1 tan2 t dt với x=-1 thì t = 0 với x = 0 thì t = 4 2 4 1 tan t dt 4 Khi đó I = dt t 4 0 0 tan t 1 0 4 * Chú ý đối với học sinh: Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích b 1 phân dạng dx ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx 2 a 1 x b 1 dx thì đặt x = sint hoặc x = cost 2 a 1 x *Một số bài tập tương tự: 1 8 x 2 16 1 2x 3 2x 3 3 x 3 dx 1/ I = dx 2/ I = dx 3/ I = 2 8 4 x 0 x 1 0 1 x Ví dụ 9: 1 4 x 3 Tính :I = dx 2 0 1 x *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt x 3 sin 3 t dx dt 1 x 2 cos t Đổi cận: với x = 0 thì t = 0 Giáo viên:Trần Minh Cường Trang 6
7. Sáng kiến kinh nghiệm 1 với x= thì t = ? 4 * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 x 2 thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân 1 này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = không tìm được chính xác t = ? 4 * Lời giải đúng: x Đặt t = 1 x 2 dt = dx tdt xdx 1 x 2 1 15 Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = thì t = 4 4 1 4 x 3 I = dx = 2 0 1 x 15 15 4 2 4 3 15 1 t tdt 2 t 15 15 15 2 33 15 2 1 t dt t 4 1 1 t 1 3 4 192 3 192 3 * Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của : + hàm số có chứa 1 x 2 thì thường đặt x = sint + hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác. *Một số bài tập tương tự: 7 x 3 2 dx 1/ tính I = dx 2/tính I = 2 2 0 1 x 1 x x 1 1 x 2 1 Ví dụ 10: Tính I = dx 4 11 x * Sai lầm thường mắc: 1 1 1 1 1 1 2 x 2 I = x dx 1 2 1 x 2 1 1 2 x 2 x x Giáo viên:Trần Minh Cường Trang 7
8. Sáng kiến kinh nghiệm 1 1 Đặt t = x+ dt 1 dx x x 2 Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2; 2 dt 2 1 1 t 2 I = = ( )dt =(ln t 2 -ln t 2 ) 2 ln 2 2 2 2 2 t 2 2 t 2 t 2 t 2 2 2 2 2 2 2 = ln ln 2 ln 2 2 2 2 2 2 * Nguyên nhân sai lầm: 1 2 1 x 1 x 2 4 là sai vì trong  1;1 chứa x = 0 1 x 1 2 x x 2 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được. Nhưng từ sai lầm này nếu các bạn thấy rằng x=0 không thuộc thuộc tập xác định thì cách làm như trên thật tuyệt vời. * Lời giải đúng: 1 x 2 x 2 1 Xét hàm số F(x) = ln ( áp dụng phương pháp hệ số bất định ) 2 2 x 2 x 2 1 1 x 2 x 2 1 x 2 1 F’(x) = (ln ) 2 2 x 2 x 2 1 x 4 1 1 x 2 1 1 x 2 x 2 1 1 2 2 Do đó I = dx = ln 1 ln 4 2 1 11 x 2 2 x x 2 1 2 2 2 *Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 . * Một số bài tập tương tự: 1 2 2 3 4 3 xsin x 1 x 1/ x x 1 dx 2/ dx 3/ dx 2 4 0 0 1 cos x 1 x III/ Đối với các bài toán liên quan đến hàm số 3x 5 Ví dụ 11 : Tìm m để hàm số y đồng biến trên khoảng (2; ) 2x m * Sai lầm thường gặp : m Điều kiện : x . 2 Giáo viên:Trần Minh Cường Trang 8
9. Sáng kiến kinh nghiệm 3m 10 Để hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) y/ 0,x (2; ) 2x m 2 10 3m 100 m 3 m * Nguyên nhân sai lầm: Chưa chú ý điều kiện xác định x và theo bài toán 2 m Hàm số phải xác định trên khoảng (2; ) là ta phải có 2 m 4 2 * Lời giải đúng: m Điều kiện : x . 2 3m 10 Để hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) y/ 0,x (2; ) 2x m 2 3m 100 10 m 10 m 3 m 4 2 3 2 m 4 1 Ví dụ 12 : Tìm cực trị của hàm số y cosx+ cos2x 2 * Sai lầm thường gặp : 1 Đặt t = cosx , t -1;1 khi đó hàm số đã cho trở thành y t 2 t 2 đạo hàm : y/ 2t 1 1 1 2 y/ 0 t cosx=- x k2 ,k Z 2 2 3 2 y// 20,t -1;1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x k2 ,k Z 3 * Nguyên nhân sai lầm: Do tìm các điểm cực trị theo x nên khi đổi biến số và lấy dạo hàm thì cần sử dụng đạo hàm cho hàm số hợp . Lời giải cần sử dụng công thức : y/ (x) y/ (t).t / (x) * Lời giải đúng: 1 Đặt t = cosx , t -1;1 khi đó hàm số đã cho trở thành y t 2 t 2 y/ (x) y/ (t).t / (x) (2t 1).( sinx)=-sinx(2cosx+1) Giáo viên:Trần Minh Cường Trang 9