Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bất phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp - Nguyễn Quốc Hoàn

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bất phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp - Nguyễn Quốc Hoàn

1. sở giáo dục và đào tạo hà nội Tr•ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bất ph•ơng trình chứa căn thức bậc hai th•ờng gặp Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, 5 / 2010
2. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều mở đầu Giải bất ph•ơng trình là bài toán khó với nhiều học sinh kể cả học sinh đ•ợc cho là khá giỏi; trong đó có bất ph•ơng trình chứa căn thức bậc hai đ•ợc coi là khó hơn cả. Nên tôi chọn đề tài: “ Một số dạng bất ph•ơng trình chứa căn thức bậc hai th•ờng gặp ” để làm sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích mong muốn đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh hiểu rõ hơn về mảng bất ph•ơng trình chứa căn thức bậc hai nói riêng và bất ph•ơng trình nói chung, đồng thời cũng mong muốn đây là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm đến môn toán. Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong ch•ơng trình Toán Đại số lớp 10 ban Cơ bản, ban Khoa học tự nhiên, ban Khoa học xã hội và nhân văn. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này có thể sử dụng để chuyển sang phần ph•ơng trình cũng đ•ợc; xong khi chuyển sang ph•ơng trình có những phần sẽ đ•ợc mở rộng để có bài toán hay hơn. Do đó ng•ời nghiên cứu có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào nhiều mục đích giáo dục khác nhau cũng đ•ợc. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 dạng toán khác nhau. H 1
3. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Một số kiến thức cơ bản sau đã có trong sách giáo khoa đ•a ra sau đây mà không nêu nội dung: 1. ôn tập hàm số bậc hai và đồ thị của nó. 2. ôn tập định lý về dấu của nhị thức bậc nhất. 3. ôn tập định lý về dấu của tam thức bậc hai. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số dạng bất ph•ơng trình chứa căn thức bậc hai th•ờng gặp ” Dạng 1 f(x) 0 f(x) g(x) f(x) > g(x) f(x) 0 f(x) g(x) f(x) g(x) Bài toán. Giải các bất ph•ơng trình sau: 1) x2 3x 2 2x2 5x 2 (1) 2) 2x22 10x 8 x 5x 36 (2) 3) x32 8 2x 5x 14 (3) Giải: x2 2 x2 x8 (1) x 3x 2 0 x1 1) x1 0 x 1 x22 3x 2 2x 5x 2 x0 2 x2 x 8x 0 x8 H 2
4. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (1) là S ( ; 8  0 ; 1  2 ; ). 2 x 9 (2) xx 5 36 0 2) x 4 2x22 10 x 8 x 5 x 36 2 xx 15 44 0 x 9 x 4 x 11 x 4 x 9 x 11 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (2) là S ; 11  9 ; . (3) x33 8 0 x 8 3) 3 2 3 2 x 82x 5x14 x 2x 5x60 x 2 x 2 22 (x1)(x x6)0 x x60 x2 2x3 2x3 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (3) là S = 2 ; 3 . Bài tập t•ơng tự. Giải các bất ph•ơng trình sau: 1) xx2 34 25xx2 2) 2xx2 9 13 xx2 32 3) 2xx2 9 4 xx2 34 4) 2x22 12 x 16 x 3 x 28 5) xx32 21 xx2 2 6) xx32 xx2 2 . H 3
5. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Dạng 2 f (x) 0 f(x) g(x) g(x) 0 2 f (x) g (x) f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0 2 f(x) g (x) Bài toán. Giải các bất ph•ơng trình sau: 1) x2 8x 7 + 3x 1 (1) 2) 2 9 8x x2 + 1 < 9x (2) 1 3) 1 < 2 (3) x Giải: xx2 8 7 0 (1) 1) x2 8x 7 1 3x 1 3x 0 2 2 x 8 x 7 1 3 x 1 1 x x 3 1 3 x x22 8x 7 9x 6x 1 3 3 x x7 8x2 2x 6 0 4 x1 x1 x1 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (1) là S = ;1 . 9 8xx 2 0 (2) 2) 2 9 8x x2 < 9x 1 9x 1 0 22 4(9 8x x ) (9 x 1) H 4
6. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 1 x 9 1 1 x9 x 9 9 2 22 85x 50x 35 0 4x 32x 36 81x 18x 1 1 x9 9 x1 19 x 7 x 17 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (2) là S = (1 ; 9]. x0 x0 (3) 1 x1 3) 10 0 x x 1 3x 1 14 0 x x x0 x1 1 x x0 3 1 x1 x 3 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (3) là 1 S = ;  1 ; . 3 Bài tập t•ơng tự. Giải các bất ph•ơng trình sau: 1) x2 2x 8 + 2 x 2) 2x2 5x 2 + x 2 3) 3x2 8x 3 + 1 2x 4) 3 (x 6)(x 2) 7 + 3 < 5x 5) 3 (x 6)(x 2) 7 + 2x < 6 6) 2x42 5x 3 + 1 < x2. H 5
7. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Dạng 3 g(x) 0 f(x) 0 f(x) > g(x) g(x) 0 2 f(x) g (x) g(x) 0 f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0 2 f(x) g (x) Bài toán. Giải các bất ph•ơng trình sau: 1) 3x2 10x 3 x 1 (1) 2) (x 1)(3 x) 3 4 3x (2) 3) 2x22 8x 1 x 1 (3) Giải: x 1 0 x1 2 1 (1) 3x 10x 3 0 x3 1) 3 x 1 0 x1 2 2 3x 10x 3 x 1 22 3x 10x 3 x 2x 1 x1 x1 2 2 4x 8x 4 0 4(x 1) 0 x1 x1 x1 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (1) là S = 1 . 3x 4 0 2 (2) 4x x 0 2) 4x x2 3x 4 3x 4 0 22 4x x (3x 4) H 6
8. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 4 x 4 3 0x 3 0 x 4 4 4 x x 3 3 2 10x 28x 16 0 22 4x x 9x 24x 16 4 0x 3 4 0x 4 3 x 3 4 x2 4 3 x2 5 0 x 2 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (2) là S = 0 ; 2 . (3) 3) 2x2 8x 1 (x 2 1) 2 2x 2 8x 1 x 4 2x 2 1 x43 8x 0 x(x 8) 0 x(x 2)(x2 2x 4) 0 x(x 2) 0 2 x 0 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (3) là S = 2 ; 0 . Bài tập t•ơng tự. Giải các bất ph•ơng trình sau: 1) (x 3)(5 x) 15 4 2x 2) x2 5x 4 2 3x 3) x2 4x 5 x 11 4) x42 x 1 x 1 5) x42 x 1 1 2x 6) 2x4 5x 2 2 2x 2 1. H 7
9. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Dạng 4 f (x) g(x) p(x) q(x) hoặc: f (x) g(x) p(x) q(x) (Trong đó: f(x) + g(x) = p(x) + q(x)). Ph•ơng pháp: f (x) 0 g(x) 0 Điều kiện: p(x) 0 q(x) 0 Bình ph•ơng hai vế của bất ph•ơng trình, sau đó đ•a về dạng 1. Bài toán. Giải các bất ph•ơng trình sau: 1) x 2 5 2x 2x 7 3x (1) 2) x3 2x5 33x 52x (2) 3) 32x 43x 2x2 x3 (3) Giải: 7 1) Điều kiện: 0 x 3 (1) 22 x 2 5 2x 2x 7 3x x 2 5 2x 2x 2.5 2x 2x 7 3x 22x.7 3x 2 (x 2)(5 2x) 2 2x(7 3x) 2x22 x 10 6x 14x 2x22 x 10 6x 14x 4x2 13x 10 0 5 x2 ; thoả mãn điều kiện. 4 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (1) là 5 S = ;2 . 4 5 2) Điều kiện: x1 2 H 8
10. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều (2) x 3 5 2x 3 3x 2x 5 22 x 3 5 2x 3 3x 2x 5 x 3 5 2x 23 x.5 2x 3 3x 2x 5 23 3x.2x 5 2 (3 x)(5 2x) 2 (3 3x)(2x 5) 2x22 x15 6x 9x15 2x22 x 15 6x 9x 15 4x2 8x 0 x0 x2 Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph•ơng trình (2) là 5 S = ; 2  0 ;1 . 2 4 3) Điều kiện: –1 x 3 (3) 32x x3 43x 2x2 22 32x x3 43x 2x2 3 2x x 3 23 2x.x 3 4 3x 2x 2 24 3x.2x 2 2 (3 2x)(x 3) 2 (4 3x)(2x 2) 2x22 3x 9 6x 2x 8 2x22 3x 9 6x 2x 8 4x2 5x 1 0 1 x1 ; thoả mãn điều kiện 4 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (3) là 1 S = ;1 . 4 Bài tập t•ơng tự. Giải các bất ph•ơng trình sau: 1) x1 3x1 2x1 2x1 H 9
11. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 2) x1 3x1 2x1 2x1 3) 2x1 2x2 x1 3x2 4) x 1 3x 2 2x 1 2x 2 5) 5x1 5x7 2x3 2x5 6) 2x 3 x 2 4x 3 3x 4. Dạng 5 Có những bài toán gần giống dạng 2 và dạng 3, nh•ng g(x) ở đây là tam thức bậc hai, khi bình ph•ơng hai vế sẽ dẫn đến bất ph•ơng trình bậc bốn rất khó giải. Do đó ta có cách giải khác là đặt ẩn phụ, d•ới đây là một số bài toán minh hoạ. Bài toán 1. Giải các bất ph•ơng trình sau: 1) (x 1)(x 2) x2 x 8 (1) 2) 6x22 18x 12 10 3x x (2) 3) 2 x2 2x 10 5 x(x 2) (3) Giải: 1) Đặt: t = (x 1)(x 2) ; t 0 t2 x 2 x 2 x 2 x t 2 2 (1) 22 t2 t t 2 8 0 t t 6 0 t 3 (loại) 22 x3 Vậy: (x1)(x2)2 x x24 x x60 x2 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (1) là S = ; 2  3 ; . H 10
12. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 2) Đặt: t = 6x2 18x 12 ; t 0 12 t2 t2 6x 2 18x 12 3x x 2 6 (2) 12 t2 t10 6t6012t22 t 6t720 12 t 6 6 Vậy: 6x22 18x 12 6 x 3x 2 6 2 x2 x2 x 3x 2 0 1 x 1 x1 x1 2 2 x 4 x 3x 2 6 2 x 3x 4 0 1 x 4 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (2) là S = 1;1  2 ; 4 . 3) Đặt: t = x2 2x 10 ; t 3 t2 x 2 2x 10 x(x 2) t 2 10 (3) 2t5t22 10 t 2t150 3t5 Vậy: x22 2x 10 5 x 2x 10 25 x2 2x 15 0 5 x 3 Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (3) là S = ( 5 ; 3). Bài toán 2. Cho bất ph•ơng trình: x2 2x (x 3)(1 x) 5 m (*) a) Giải bất ph•ơng trình (*) với m = 2. b) Tìm m để bất ph•ơng trình (*) có nghiệm. c) Tìm m để bất ph•ơng trình (*) nghiệm đúng x  4 ; 2 . Giải: (x 3)(1 x) 5 x22 2x 8 (x 4)(2 x) 9 (x 1) Đặt : t (x 3)(1 x) 5; 0 t 3 t2 x 2 2x 8 x 2 2x 8 t 2 H 11
13. Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều (*) 8t 22 tm t t8m( ) ( ) a) m = 2, tt8222 tt60 2t3 Vậy: x22 2x 8 3 9 (x 1) 3; nghiệm đúng x [–4 ; 2]. Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (*) là S = [–4 ; 2]. b) Bất ph•ơng trình (*) có nghiệm bất ph•ơng trình ( ) có nghiệm t thoả mãn: 0 t 3 Gọi f(t) = t2 t 8; 0 t 3 Bảng biến thiên: 1 t 0 3 + 2 33 f(t) 4 8 2 33 2 f(t) ;  t  0 ; 3 4 33 33 Do đó ( ) có nghiệm t 0 ; 3 m m 44 33 Kết luận: m, bất ph•ơng trình (*) có nghiệm. 4 c) Bất ph•ơng trình (*) nghiệm đúng x  4 ; 2 bất ph•ơng trình ( ) nghiệm đúng t [0 ; 3]. Theo kết quả phần trên, có: 2 m m 2. Kết luận: m 2, bất ph•ơng trình (*) nghiệm đúng x  4 ; 2. Bài toán 3. Cho bất ph•ơng trình: 2 (x 1)(x 7) 25 6x x2 m (1) a) Giải bất ph•ơng trình (1) với m = 3. b) Tìm m để bất ph•ơng trình (1) có nghiệm. H 12