Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm giải bài tập 53 trang 24 sách giáo khoa Toán 8 Tập 1

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm giải bài tập 53 trang 24 sách giáo khoa Toán 8 Tập 1

1. Kinh nghiệm giải bài tập 53 trang 24 sách giáo khoa Toán 8 tập 1 MỤC LỤC MỤC LỤC 1 1. Lý do chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm 2 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2 2.1 Cơ sở lý luận 2 2.2 Thực trạng của vấn đề 3 2.3 Giải pháp thực hiện 3 2.4 Áp dụng 6 2.4.1.Bài tập 1 6 2.4.2. Bài tập 2 7 2.4.3. Bài tập 3 . 7 2.5. Kết quả 8 3. Kết luận 8 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 9 PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA BAN GIÁM KHẢO 10 1 Giáo viên : Nguyễn Sanh Vỹ
2. Kinh nghiệm giải bài tập 53 trang 24 sách giáo khoa Toán 8 tập 1 1. Lý do chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử là một đơn vị kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số 8 . Ở Chương I Đại số 8 tập 1 có bài tập 53 trang 24 : Phân tích đa thức x2 3x + 2 thành nhân tử . Đây là bài tập điển hình cho phương pháp phân tích đa thức bằng cách tách hạng tử .Qua thực tế giảng dạy , tôi thấy rằng hầu hết các em học sinh chưa thực hiện tốt bài tập này .Để giúp các em thực hiện tốt hơn tôi đã suy nghĩ và viết nên đề tài này : “ Kinh nghiệm giải bài tập 53 trang 24 sách giáo khoa Toán 8 tập 1 “ .Mong rằng các em học tập tốt hơn và nắm vững cách giải một dạng bài tập . 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm . 2.1 Cơ sở lý luận : Trên trường số thực ,xét đa thức bậc hai f(x) = ax2 bx + c a 0 với a , b , c là các hệ số nguyên . Ta có : 2 b b2 4ac f x a x 2 2a 4a 2 2 2 b b 4ac a x 2a 2a b b2 4ac b b2 4ac a x x 2a 2a 2a 2a b b2 4ac b b2 4ac a x x (*) 2a 2a b b2 4ac b b2 4ac c a x2 x x 2a 2a a b b2 4ac b b2 4ac ax2 x x c 2 2 2 2 2 b b 4ac * Nhận xét : Nếu b 4ac 0 thì f x a x 2 0 . 2a 4a 2 Giáo viên : Nguyễn Sanh Vỹ
3. Kinh nghiệm giải bài tập 53 trang 24 sách giáo khoa Toán 8 tập 1 Do đó , f(x) không có nghiệm thực nên không phân tích được thành nhân tử . Như vậy, để phân tích được đa thức bậc hai thành nhân tử thì b2 4ac 0 . 2.2 Thực trạng của vấn đề . Trong năm học 2011 – 2012 tôi được giao nhiệm vụ dạy Toán ở 2 khối lớp 7 và 8 . Khối 8 có 2 lớp tổng cộng có 38 học sinh . Qua thực tế khi giải bài tập 53 trang 24 Sách giáo khoa toán 8 tập 1 chỉ một phần nhỏ học sinh có thể giải được . Hầu hết các em lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu , phân tích như thế nào . Sau khi tôi gợi ý hướng dẫn thì có một số em hiểu và làm được nhưng chưa thực sự triệt để , nếu đưa ra một số dạng phức tạp hơn thì các em đó cũng không làm được . Đây là một dạng bài tập thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc tuyển sinh vào các lớp đầu cấp .Do đó yêu cầu các em phải thực hiện tốt dạng bài tập này . 2.3 Giải pháp thực hiện Trước hết xin nhắc lại bài tập 53 trang 24 sách giáo khoa đại số 8 tập 1. Bài tập 53 trang 24 sách giáo khoa toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x2 3x + 2 b) x2 x 6 c) x2 5x +6 d) x4 + 4 . Giải : Để phân tích các đa thức trên ta có một phương pháp hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 8 là tách rồi nhóm các hạng tử của đa thức . Để minh họa cho giải pháp tôi chỉ giải quyết câu a) của bài toán trên . Ta có các hướng sau để tách hạng tử của đa thức . • Hướng 1 : Tách hạng tử tự do . 3 Giáo viên : Nguyễn Sanh Vỹ
4. Kinh nghiệm giải bài tập 53 trang 24 sách giáo khoa Toán 8 tập 1 Cách 1 : Ta tách 2 = 3 + ( - 1 ) . Ta có : x2 3x + 2= x2 3x + 3 - 1 = x2 1 3x - 3 x 1 x 1 3 x 1 x 1 x 1 3 x 1 x 2 Cách 2 : Ta tách : 2 = - 4 + 6 . Ta có : x2 3x + 2 = x2 3x - 4 + 6 = x2 4 3x - 6 x 2 x 2 3 x 2 x 2 x 2 3 x 2 x 1 • Hướng 2 : Tách hạng tử bậc nhất . Cách 1 : Ta có thể tách như sau : - 3x = - x + ( - 2x ) . Ta có : x2 3x + 2 = x2 x 2x +2 = x2 x 2x - 2 x x 1 2 x 1 x 1 x 2 Cách 2 : Ta có thể tách như sau : - 3x = - 4x + x và 2 = 4 – 2 . Ta có : x2 3x + 2 = x2 4x + 4 + x - 2 = x2 4x + 4 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 1 x 2 x 1 • Hướng 3 : Ta có thể tách hạng tử bậc 2 . Cách 1 : Ta có : x2 = 3x2 – 2x2 . Do đó : x2 3x + 2= 3x2 2x2 3x +2 = 3x2 3x 2x2 - 2 3x x - 1 2 x2 1 3x x - 1 2 x 1 x 1 x 1 3x - 2 x+1 x 1 3x - 2x -2 x 1 x 2 Cách 2 : Ta có thể tách như sau : x2 = 2x2 – x2 và : - 3x = - 4x + x . Do đó : x2 3x + 2 = 2x2 4x + 2 - x2 + x = 2x2 4x + 2 x2 x 2 x 1 2 x x 1 x 1 2 x 1 x x 1 2x - 2 - x x 1 x 2 • Hướng 4 : cũng có thể tách đồng thời cả 3 hạng tử , chẳng hạn : x2 = 4x2 – 3x2 ; - 3x = - 8x + 3x + 2x ; 2 = 4 – 2 .Khi đó , ta có : x2 3x + 2 = 4x2 - 3x2 8x + 3x + 2x + 4 - 2 = 4x2 8x + 4 3x2 3x 2x - 2 2 4 x 1 3x x 1 2 x 1 x 1 4 x 1 3x 2 x 1 4x - 4 - 3x + 2 x 1 x 2 • Nhận xét : 4 Giáo viên : Nguyễn Sanh Vỹ
5. Kinh nghiệm giải bài tập 53 trang 24 sách giáo khoa Toán 8 tập 1 - Kết quả phân tích là duy nhất . - Ta có thể lựa chọn một trong ba hạng tử để tách , cũng có thể tách đồng thời hai , ba hạng tử của của đa thức . Trong một bài báo trên tạp chí “ Thế giới trong ta “ chuyên đề 35 + 36 tháng 1 + 2 năm 2005 , thầy giáo Lê Văn Bình ở trường Trung học cơ sở Hưng Thủy , Lệ Thủy , Quảng Bình đã đưa ra 10 cách phân tích để giải bài tập 57a trang 25 sách giáo khoa toán 8 tập 1 – một bài tập cùng dạng với bài tập 53 trang 24 . Hay trong quyển sách “ Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 “ của nhà giáo nhân dân Vũ Hữu Bình ở trang 39 có bài : Phân tích đa thức : 3x2 8x + 4 thành nhân tử . Đây đều là các ví dụ cần được tham khảo và nghiên cứu . Trong bài viết này , tôi không chủ ý trình bày nhiều lời giải cho một bài tập , mà tôi nhấn mạnh vào một hướng phân tích . Ở đây , tôi nhấn mạnh vào hướng phân tích bằng cách tách hạng tử bậc nhất . - Trong một hướng phân tích ta có thể phân tích theo các cách khác nhau . Trên cơ sở lý luận đã nêu khi phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử ta thực hiện như sau : Bước 1 : Tính b2 – 4ac .Từ đó tính : b2 4ac b b2 4ac b b2 4ac Bước 2 : Tách bx x x . 2 2 Bước 3 : Nhóm hạng tử : b b2 4ac b b2 4ac ax2 bx + c = ax2 x + x c sau đó đặt nhân tử 2 2 chung ta được kết quả ở dạng ( * ) . * Nhận xét : - Phương pháp trên áp dụng cho mọi đa thức bậc hai thỏa điều kiện b2 4ac 0 . - Một số trường hợp đặc biệt : + Trường hợp 1 : Nếu a + b + c = 0 thì ta phân tích b = - a – c ( 1 ) Khi đó , ta có : f(x) = ax2 – ax – cx + c = ax( x – 1 ) – c ( x – 1 ) 5 Giáo viên : Nguyễn Sanh Vỹ
6. Kinh nghiệm giải bài tập 53 trang 24 sách giáo khoa Toán 8 tập 1 = ( x – 1 )(ax – c ) + Trường hợp 2 : Nếu a – b + c = 0 thì ta phân tích b = a + c ( 2 ) Khi đó , ta có : f(x) = ax2 + ax + cx + c = ax( x + 1 ) + c ( x + 1 ) = ( x + 1 )(ax + c ) . - Trong trường hợp tổng quát ta có : 2 2 2 2 b b2 4ac b b2 4ac b b 4ac . b b 4ac b b 4ac . a.c 2 2 4 4 Do đó , trong một số trường hợp đơn giản ta có thể phân tích b = b1 + b2 sao a b2 cho : b1.b2 a.c hay ( 3 ) b1 c - Phương pháp trên hiệu quả đối với các bài tập không thỏa mãn các trường hợp ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) và b2 – 4ac không là số chính phương . - Ở những bài tập mà các hệ số có giá trị không lớn lắm , hoặc hệ số thuận lợi thì ta có thể tính nhẩm . Nhưng với các bài tập hệ số có giá trị lớn và phức tạp thì không thể tính nhẩm được .Mà thực tế luôn tồn tại các bài tập như vậy .Nên vận dụng đúng phương pháp là việc làm cần thiết và phải xem trọng . 2.4 Áp dụng : Bây giờ ta áp dụng phương pháp trên để giải các bài tập tương tự . 2.4.1.Bài tập 1 : Bài tập 57 trang 25 sách giáo khoa . Phân tích các đa thức sau thành nhân tử . a) x2 – 4x + 3 b) x2 + 5x + 4 . c) x2 – x – 6 d) x4 + 4 . Giải : a) Ta có : a = 1 ; b = - 4 ; c = 3 suy ra : a + b + c = 0 nên ta tách như sau : - 4 = - ( 1 + 3 ) . Khi đó : x2 – 4x + 3 = x2 – ( 1 + 3 ) x + 3 = x2 – x – 3x + 3 = (x2 – x ) – (3x – 3 ) = x( x – 1 ) – 3 (x – 1 ) = ( x – 1 )( x – 3 ) . b) Ta có : a = 1 ; b = 5 ; c = 4 suy ra : a – b + c = 0 nên ta tách như sau : 5 = 1 + 4 Khi đó : x2 + 5x + 4 = x2 + ( 1 + 4 ) x + 4 = x2 +x + 4x + 4 = x( x + 1) + 4 ( x + 1 ) = ( x +1 ) ( x + 4 ) . 6 Giáo viên : Nguyễn Sanh Vỹ
7. Kinh nghiệm giải bài tập 53 trang 24 sách giáo khoa Toán 8 tập 1 c) Ta có : a = 1 ; b = - 1 ; c = - 6 nên ta có : b2 – 4ac = ( -1 )2 – 4.1.(- 6 ) = 25 . 1 5 1 5 Suy ra : b2 4ac = 5 . Sau đó ta tách 1 3 2 . 2 2 Khi đó : x2 – x – 6 = x2 – 3x + 2x – 6 = (x2 – 3x ) + ( 2x – 6 ) = x ( x - 3 ) + 2 ( x – 3 ) = ( x - 3 ) ( x + 2 ) . d) Không đưa ra lời giải do nội dung không phù hợp với mục tiêu bài viết . 2.4.2. Bài tập 2 Phân tích đa thức : 3x2 8x + 4 thành nhân tử( đây là bài tập trong quyển sách “ Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 “ của nhà giáo nhân dân Vũ Hữu Bình ở trang 39 ) Giải : Ta có : a = 3 ; b = - 8 ; c = 4 . Ta có b2 – 4ac = ( - 8 ) 2 – 4 . 3 . 4 = 64 – 48 = 16 8 4 8 4 . Suy ra : b2 4ac = 4 . Do đó ta tách : 8 2 6 . 2 2 Khi đó : 3x2 8x + 4 = 3x2 2x 6x 4 x 3x 2 2 3x 2 x 2 3x 2 . Rõ ràng chúng ta không phải mò mẫm mà đưa ra phân tích : - 8 = ( - 2 ) + ( - 6). Mà đối với học sinh cho dù có mò mẫm cũng chưa chắc đã nhanh chóng và chính xác . Đặc biệt phương pháp trên rất hiệu quả khi giải bài tập có dạng như sau : 2.4.3. Bài tập 3 : Phân tích đa thức : 35x2 77x 12 . Ở bài tập này , các hệ số không có dạng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 . Đồng thời , các hệ số có giá trị lớn nên rất khó tính nhẩm . Ngoài ra giá trị của b2 – 4ac không chắc là một số chính phương .Đây là một bài tập không dễ đối với các em học sinh . Giải : Ta có : a = 35 ; b = - 77 ; c = 12 . Suy ra b2 – 4ac = ( - 77 ) 2 – 4 . 35 .12 = 4249. Suy ra : b2 4ac 4249 . Do đó ta có : 2 77 4249 77 4249 35x 77x 12 35 x x 2.35 2.35 77 4249 77 4249 35x x 2 70 7 Giáo viên : Nguyễn Sanh Vỹ