Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ để giải toán hình

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ để giải toán hình

1. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH___ NGUYỄN THANH LAM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mơn tốn cĩ vai trị quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thơng . Kiến thức tốn cịn là cơng cụ cho việc tiếp thu kiến thức của các mơn học khác. Trong thời kỳ đất nước phát triển và hội nhập, việc dạy và học mơn tốn càng cĩ ý nghĩa và vai trị quan trọng hơn . Làm thế nào để học tốt mơn tốn ? Đĩ là băn khoăn chung của học sinh, càng là sự lo lắng của học sinh cĩ học lực trung bình yếu. Để giải quyết câu hỏi này, ngồi việc địi hỏi nơi các em phải cần cù, nỗ lực phấn đấu; cịn cần phải cĩ phương pháp, phải căn cứ vào tính đặc thù từng mơn học để cĩ phương pháp cụ thể. Phương pháp hay là cĩ thể bỏ cơng sức ít mà kết qủa đạt cao. Nhà sinh lý học người Pháp Penna đã nĩi : “Phương pháp học tốt giúp ta phát huy được tài năng vốn cĩ, phương pháp học dở sẽ cản trở phát triển tài năng”. Do đĩ , học tập một cách khoa học, cĩ phương pháp là vơ cùng quan trọng. Rất nhiều học sinh gặp khĩ khăn, lúng túng trong việc định hướng giải một bài tốn hình, các em qúa coi trọng việc học thuộc định lý, cơng thức mà khơng chú ý nắm vững quá trình dựng hình, phương pháp chứng minh các định lý và cơng thức đĩ. Do đĩ, trong thực tế đã cĩ những trường hợp thuộc làu định lý và cơng thức nhưng khơng thể vận dụng vào giải bài tập. Hiểu rõ các khía cạnh của định lý, quy tắc và cơng thức khơng những giúp ích cho việc nắm vững các định lý mà cịn biết được phương pháp làm bài tập. Do vậy cần coi trọng quá trình hướng dẫn các em phân tích và tập cho các em biết suy luận khi giải một bài tốn. Với quan điểm dạy học là nhằm phát huy tích tích cực và tính độc lập về nhận thức của học sinh. Rõ ràng hướng dẫn học sinh giải tốn khơng phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà cịn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài tốn, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài tốn. Từ thực tế giảng dạy, tơi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh lớp 10 ( mơn tự chọn ) và học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong khơng gian để giải một số bài tốn hình học .Tơi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chia sẻ cùng đồng nghiệp, đồng mơn ; để gĩp phần cùng cộng đồng trách nhiệm, chung sức để tìm ra biện pháp nâng cao chất lượng dạy và học mơn tốn tại các trường vùng sâu, vùng xa như trường THPT Thanh Bình. Đĩ là lý do tơi chọn đề tài : HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH 1
2. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH___ NGUYỄN THANH LAM II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1. Thuận lợi - Qua việc giảng dạy mơn tốn nhiều năm, tơi đã kinh qua việc giảng dạy nhiều đối tượng học sinh với lực học chênh lệch nhau, được giao nhiệm vụ bồi dưỡng đội tuyển thi học sinh giỏi tốn 10, 11, 12, đồng thời cĩ năm được phân cơng phụ đạo học sinh yếu nên ít nhiều tơi đã tích lũy được một số kinh nghiệm cho bản thân trong việc hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ để giải tốn. - Việc được gĩp ý sau những lần dự giờ, được trao đổi chuyên mơn với đồng nghiệp đã giúp tơi ngày càng tích lũy, học hỏi được một số kinh nghiệm trong việc giảng dạy về hướng dẫn học sinh giải bài tập một cách chủ động. - Qua việc tơi được điều động chấm thi tốt nghiệp THPT hàng năm cũng đã ít nhiều giúp tơi cĩ được cách nhìn khái quát về những ưu, khuyết trong việc học sinh thực hiện việc vận dụng phương pháp toạ độ vào giải tốn. 2. Khĩ khăn - Lực học của học sinh trong một lớp thường cĩ sự chênh lệch lớn nên việc thực hiện giảng dạy tốn trên lớp cũng gặp khĩ khăn trong việc làm sao cho mọi đối tượng học sinh trong lớp đều nắm vững phương pháp qua tiết dạy. - Khơng ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài tốn mà các em chỉ làm một cách máy mĩc, lập luận thiếu căn cứ, khơng chính xác, dơi lúc khơng phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đĩ kết quả khơng như mong đợi. - Trong phân cơng giảng dạy hàng năm, tơi thường được nhận lớp 12 trong khi các em này thường học tốn lớp 10 và 11 với những giáo viên khác nên cũng cĩ khĩ khăn nhất định trong việc làm quen và truyền dạt kiến thức đến các em .Để các em mau chĩng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, địi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm của cả thầy và trị. 3. Số liệu thống kê. Qua thống kê sơ bộ điểm mơn tốn của 2 lớp; 12A12 ;12A13 năm học 2005 - 2006, lớp12A1 ; 12A10 năm học 2006 - 2007, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau : + Bài kiểm tra một tiết (2005 - 2006 ), trong 92 bài kiểm tra cĩ : • 6 bài diểm 8 tỷ lệ 6,5 % • 13 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 14,1 % • 21 bài điểm 5 tỷ lệ 22,8 % • 52 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 56,6 % 2
3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH___ NGUYỄN THANH LAM + Bài kiểm tra một tiết (2006 - 2007 ), trong 91 bài kiểm tra cĩ : • 7 bài diểm 8 tỷ lệ 7,7 % • 19 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 20,9 % • 26 bài điểm 5 tỷ lệ 28,6 % • 39 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 42,8 % Trong các lớp tơi được nhà trường phân cơng giảng dạy cĩ đến 60 % học sinh cĩ kết quả mơn Tốn cuối năm học 2004 - 2005 xếp loại trung bình yếu. Qua tìm hiểu, tơi cảm nhận được rằng trong số những em cĩ học lực yếu cũng cĩ những em cĩ kỹ năng tính tốn tương đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải tốn cịn qúa hạn chế . III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận Vào năm 1637, nhà tốn học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của tốn học. Descartes là nhà tốn học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngơn ngữ đại số thay cho ngơn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hố và trừu tương hố tốn học trong nhiều lĩnh vực. Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đĩ. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài tốn gồm : • Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài tốn • Bước 2 : Xây dựng thuật giải • Bước 3 : Thực hiện thuật giải • Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Một trong những nhiệm vụ dạy học mơn tốn chương trình phổ thơng đặc biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải tốn, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các cơng thức cĩ liên quan vào giải tốn. Để giải một bài tốn bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo các bước sau : • Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ phù hợp, chuyển bài tốn đã cho về bài tốn hình học giải tích • Bước 2 : Giải bài tốn hình học giải tích nĩi trên. • Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài tốn hình học giải tích sang các tính chất hình học tương ứng. Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải tốn thật khơng hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình 3
4. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH___ NGUYỄN THANH LAM trừu tượng hố và khái quát hĩa trong việc rèn luyện tư duy tốn học. Do vậy, thơng qua một số bài tốn cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải tốn bằng phương pháp toạ độ. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài Trong chương I - § 4 và chương II - § 2 sách giáo khoa (SGK) hình học 10, Trần Văn Hạo chủ biên, NXBGD 1997, ta cĩ các định nghĩa : y M (x; y) OM x.i y. j OM 1.i OM 2. j M2 a (a1;a2 ) a a1.i a2. j M (x; y) x OM.cos ; y OM.sin ( 0o 180o ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : a (a1;a2 ) và b (b1;b2 ) , ta cĩ : • a cùng phương với b a1b2 a2b1 0 j • a.b a .b .cos(a,b) O i M1 • a.b a1b1 a2b2 • a  b a.b 0 a1b1 a2b2 0 Trong chương II - § 2 và § 3 sách giáo khoa (SGK) hình học 12, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, ta cĩ thêm các định nghĩa : v x.i y. j z.k v (x; y; z) z OM x.i y. j z.k M (x; y; z) M (x; y, z) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho : a (a1;a2 ,a3 ) và b (b1;b2;b3 ) , ta cĩ : • a.b a .b .cos(a,b) k j O y • a.b a1b1 a2b2 a3b3 i • a  b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 x M1 •[ a,b ] (a2b3 a3b2;a3b1 a1b3;a1b2 a2b1) • a cùng phương với b [ a,b ] O Trong khuơn khổ nội dung chuyên đề này, tơi xin phép được trình bày các nội dung sau : 4
5. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH___ NGUYỄN THANH LAM a. Dùng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải bài tốn hình. Bài 1. Cho tam giác cân ABC đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H trên AC , M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM vuơng gĩc với BD. (SGK Hình 10, trang 50, Trần Văn Hạo chủ biên, NXBGD 1997 ) Bài tốn này, học sinh thường dùng phương pháp vectơ để chứng minh, cách giải này khá phức tạp. Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp toạ độ bài tốn sẽ đơn giản hơn, học sinh dễ tiếp thu hơn. Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac y A vuơng gĩc Oxy như sau : H  O(0;0) ; A(0;a) ; B( c;0) ; C(c;0) ; D(x; y) Ta chứng minh : D AM.BD 0 M x B O H C Ta cĩ : HD (x ; y) AC (c ; a) HD  AC cx ay 0 ax cy ac AD (x ; y a) AD cùng phương AC a2c x 2 2 2 2 a c a c ac D ; ac2 a2 c2 a2 c2 y a2 c2 2 Toạ độ trung điểm M của HD xH xD a c xM 2 2 2 2(a c ) y y ac2 y M D M 2 2 2 2(a c ) AM a2c 2a3 ac2 Toạ độ vectơ AM ; 2 2 2 2 2(a c ) 2(a c ) BD 2a2c c3 ac2 Toạ độ vectơ BD ; 2 2 2 2 a c a c 2a4c2 a2c4 a2c4 2a4c2 Tính : AM.BD AM.BD 0 2(a2 c2 ) 2(a2 c2 ) Kết luận Vì AM.BD 0 AM  BD (đpcm ) 5
6. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH___ NGUYỄN THANH LAM Bài 2. Từ một điểm P trong một hình trịn ta kẻ hai dây cung APB và CPD vuơng gĩc với nhau tại P. Chứng minh rằng đường chéo PQ của hình chữ nhật APCQ vuơng gĩc với đường thẳng BD. Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : y Q C Chọn hệ trục toạ độ Đêcac A O B x vuơng gĩc Oxy như sau : p P  O(0;0) ; A( a;0) ; B(b;0) ;C(0;c) ; D(0; d) Q( a;c) Ta chứng minh : PQ.BD 0 D Ta cĩ : PA a ; PB b Theo hệ thức lượng trong đường trịn ta cĩ : PC c ; PD d PA.PB PC.PD a.b c.d Toạ độ vectơ PQ PQ ( a;c) Toạ độ vectơ BD BD ( b; d) Tính : PQ.BD PQ.BD a.b c.d 0 Kết luận Vì PQ.BD 0 PQ  BD ( đpcm ) Bài 3. Cho tam giác ABC vuơng gĩc tại A, các cạnh gĩc vuơng là b và c. M là bc một điểm trên cạnh BC sao cho gĩc BAM .Chứng minh AM bcos csin ( SGK Hình 10, trang 60, Trần Văn Hạo chủ biên, NXBGD 1997 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : y Chọn hệ trục toạ độ Đêcac C vuơng gĩc Oxy như sau : A  O(0;0) ; B(c;0) ;C(0;b) ; M (x; y) M (x; y) bc Ta chứng minh : AM A x bcos csin O B x y x AM.cos cos và sin Ta cĩ : AM AM y AM.sin CM và CB cùng phương ? M (AM cos ; AM sin ) 6