Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học Lớp 8

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học Lớp 8

1. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 Phần một: MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong thời kỳ đổi mới hiện nay vấn đề đổi mới phương pháp dạy học Toán ở bậc THCS là nhiệm vụ hàng đầu đối với nghành giáo dục. Việc vận dụng đổi mới phương pháp dạy học Toán trong các năm qua của giáo viên ở mỗi trường có những thành công và hạn chế khác nhau. Nhất là việc dạy học phân môn hình học có nhiều vấn đề còn nhiều vướng mắc và trừu tượng. Chính vì thế, hơn 1 năm học qua tôi đã tìm hiểu thực trạng, nguyên nhân khiến cho nhiều học sinh học yếu và không đam mê phân môn hình học và giải pháp khắc phục. Từng bước tôi đã vận dụng các giải pháp mà mình tìm được và thấy hiệu quả học tập của học sinh có nâng dần hơn. Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của những người yêu thích toán học. Đối với học sinh để có một vốn kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều và bền bỉ. Đối với giáo viên làm thế nào để trang bị cho các em đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng đặt ra cho bản thân. Đối với học sinh THCS, có những bài toán mà nếu không biết sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh thì việc giải bài toán đó sẽ gặp nhiều khó khăn. Bởi vậy khi dạy phần diện tích đa giác, tôi cũng rất quan tâm đến vấn đề này, mỗi khi có điều kiện để nêu ra cho học sinh , tôi đều không bỏ qua. Học sinh THCS đã biết sử dụng công thức diện tích để tính toán vì các em đã được làm quen từ Tiểu học. Nhưng làm thế nào để HS biết sử dụng chúng để chứng minh thì không đơn giản chút nào. Sau đây tôi xin được trình bày một số kinh nghiệm của mình kết hợp với những vấn đề mình tìm tòi học hỏi được để “Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học". Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 1
2. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 học” đạt hiệu quả. Vì những nguyên nhân này mà tôi đưa ra một số giải pháp nhỏ khi giải bài tập bằng cách ứng dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học. III. CÁC GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: 1. Các giải pháp: Các bài toán hình học sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh ở trung học cơ sở đa số nằm trong chương trình hình học lớp 8. Đây là một trong những phương pháp rất hiệu quả trong việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh. Khi dạy nội dung này tôi chia làm các phần sau: Phần 1: Chứng minh các công thức diện tích. Phần 2: Chứng minh các bổ đề và các định lý: - Định lý Talet. - Tính chất đường phân giác của tam giác. Phần 3: Ứng dụng vào giải các bài tập cụ thể. Phần 1: Giới thiệu và chứng minh các công thức diện tích. 1.1.Khái niệm và tính chất diện tích đa giác: + Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích đa giác đó. + Diện tích đa giác có các tính chất sau: - Tính chất 1: Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. - Tính chất 2: Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó. - Tính chất 3: Nếu chọn hình vuông có cạnh bằng 1cm, 1dm, 1m, làm đơn vị đo diện tích thì đơn vị diện tích tương ứng là: 1cm2, 1dm2, 1m2, 1.2. Công thức diện tích hình chữ nhật: S = a.b ( a;b là hai kích thước của hình chữ nhật) Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 3
3. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 Lấy một cạnh tuỳ ý, chẳng hạn lấy cạnh BC và vẽ đường cao AH ứng với cạnh đó. Ta chứng minh: S= 1 BC.AH (tức là S = 1 a.h). Có 3 trường hợp xảy ra: 2 2 A A A h h h B H C B C H H B C a b c a/ Điểm H nằm giữa B và C (Hình a) ABC được chia thành 2 tam giác vuông BHA và CHA. 1 Ta có: SBHA = AH.BH (diện tích tam giác vuông) 2 1 SCHA = AH.CH (diện tích tam giác vuông) 2 1 1 Vậy SABC = ( BH + HC). AH = BC.AH 2 2 b/ Điểm H nằm ngoài đoạn thẳng BC (Hình b) Giả sử C nằm giữa B và H. Trong trường hợp này , có thể xem BHA được chia thành 2 tam giác ABC và AHC không có điểm chung trong. Do đó: SBAH = SABC + SACH (tính chất 2) 1 Nhưng: SACH = AH.CH (diện tích tam giác vuông) 2 1 SABH = AH.BH (diện tích tam giác vuông) 2 1 1 Vậy : S ABC = (BH –CH). AH = BC.AH 2 2 c/ Điểm H trùng với một trong các đỉnh B hay C (Hình c) Giả sử H  B. Khi đó ABC vuông tại B. Ta có : S = 1 BC.AB = 1 BC.AH 2 2 1.5. Diện tích hình thang: S = 1 (a+ b) .h 2 Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 5
4. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 1 a1h 1 1 S1 2 a1 Ta có : S1= a1h , S2 = a2h nên (đpcm) 2 2 S 1 a 2 a h 2 2 2 Bổ đề 2: Nếu hai tam giác có hai cạnh đáy bằng nhau thì tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số diện tích của hai tam giác. Chứng minh: Gọi S1 và S2 là diện tích của hai tam giác chung cạnh đáy có độ dài b, hai đường cao tương ứng la h1, h2. 1 2S1 Ta có : S1 = bh1 h1 = 2 b 2S1 1 2S2 h1 b S1 S2 = bh2 h2 nên (đpcm). 2 b h2 2S2 S2 b 2.1 Chứng minh định lí talet: A AD AE Cho ABC, nếu DE//BC thì AB AC D E Chứng minh: B C ADE và ABE có chung đường cao kẻ từ E nên theo bổ đề 1 ta có AD S ADE (1) AB SABE AED và ACD có chung đường cao kẻ từ D nên theo bổ đề 1 ta có : AE S AED (2) AC SACD Ta lại có : SBEC = SBDC (chung đáy BC, các đường cao tương ứng bằng nhau) Nên SABC – SBEC = SABC – SBDC SABE = SACD (3) AD AE Từ (1) , (2) và (3) suy ra . AB AC 2.2Chứng minh tính chất phân giác của tam giác. DB AB Nếu AD là phân giác của ΔABC thì DC AC Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 7
5. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 Bài toán 2: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trong tam giác đều ABC đến ba cạnh của tam giác bằng chiều cao của tam giác đó. Giải : A Gọi a là độ dài các cạnh của tam giác đều ABC, h là đường cao của tam giác đều. F E M Ta có: B C SMBC + SMAC + SMAB = SABC D a a a a a a .MD .ME .MF .h (MD ME MF) .h 2 2 2 2 2 2 MD ME MF h Ghi nhớ : Phải kẻ các đường phụ MA, MB, MC để tạo ra các tam giác MBC, MAC, MAB. Bài toán 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm M thuộc tia đối của tia BC. Chứng minh rằng hiệu các khoảng cách từ điểm M đến các đường thẳng AC và AB bằng đường cao ứng với cạnh bên của tam giác ABC. Giải : Đặt AB = AC = a , kẻ MH  AC , MK  AB, BI  AC. Ta sẽ chứng minh MH – MK = BI A Ta có : SMAC – SMAB = S ABC H I AC AB AC a a a .MH .MK .BI .MH .MK .BI M 2 2 2 2 2 2 B C K a a (MH MK) .BI MH MK BI 2 2 Ghi nhớ: Sử dụng tính chất 2 về diện tích đa giác để có S MAC – SMAB = SABC . Bài toán 4: Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng: KD là tia phân giác của góc AKC. Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 9
6. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 O A ' O B ' O C ' S S S S S S Do đó: 1 2 3 1 2 3 1 A A ' B B ' C C ' S S S S Ghi nhớ: Có thể biểu thị tỷ số của hai đoạn thẳng theo tỷ số diện tích của hai tam giác. Bài toán 6: Gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự ở A’, B’ , C’ . Chứng minh AC ' BA' CB' rằng: . . 1 C 'B A'C B' A A BA' SBAA ' BA' SBOA ' Giải: Theo bổ đề1: ; A'C SCAA ' A'C SCOA ' C' B' Nên theo tính chất dãy tỷ số bằng nhau: 3 2 O BA' S S S 1 BAA ' BOA ' 3 B C A' A'C SCAA ' SCOA ' S4 AC ' S CB' S Tương tự: 2 ; 1 C 'B S1 B' A S3 AC ' BA' CB' S S S Do đó: . . 2 . . 1 1 C 'B A'C B' A S1 S2 S Ghi nhớ: Có thể biểu thị tỷ số của hai đoạn thẳng theo tỷ số diện tích của hai tam giác. Bài toán 7: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) , các đường chéo cắt nhau tại O . Qua O, kẻ đường thẳng song song với hai đáy nó cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng: OE = OF. A B Giải : Cách 1 F N M E Kẻ AH , BK ,CN, DM vuông góc với EF. H O K Đặt AH = BK = h1 ; CN = DM = h2 D C Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 11
7. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 Ta có : AB .AC= (m +r ) (n +r ) = mn + mr + nr + r2 (1) 2 Ta thấy : mr = 2S1 , nr =2 S2 , r = S3 AB.AC Và 2S1 + 2S2 + S3 = SABC = 2 nên : mr +nr + r2 = AB.AC (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra : AB.AC = mn + AB.AC 2 Vậy mn = AB.AC 2 Ghi nhớ : Có thể biểu thị tích của độ dài hai đoạn thẳng theo diện tích của tam giác Bài toán 9: Cho hình bình hành ABCD. Điểm E trên tia đối của tia BA, điểm F trên tia đối của tia DA. Nối BF và DE cắt nhau tại K. Chứng minh diện tích tứ giác ABKD bằng tổng diện tích hai tam giác CKE và CKF. Giải: Kẻ EM  CD, FN BC B E 1 1 A SECD = EM . CD = SABCD 2 2 K 1 D C SECK = SABCD – S KCD (1) M 2 N 1 1 F SFBC = FN . BC = SABCD 2 2 1 SFKC = SABCD – SKCB (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra : 1 1 SFKC + S ECK = ( SABCD + SABCD ) –( SKCD + SKCB ) = SABKD . 2 2 Ghi nhớ: Phải kẻ thêm đường phụ EM và FN để sử dụng công thức diện tích trong tam giác ECD,FBC. Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 13
8. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 Vậy ba tam giác A1MB1 , B1MC1, C1MA1 có cùng diện tích. Do đó M là trọng tâm của A1B1C1. Ghi nhớ: Phải lấy thêm điểm A2. 2. Kết quả đạt được: Sau khi thấy được các công thức diện tích không phải chỉ để tính diện tích mà chúng còn rất có ích để giải nhiều bài toán chứng minh khác, học sinh rất thích thú, nhất là khi các em tự mình giải được bài tập theo phương pháp nói trên. Qua đó, nó giúp học sinh vững tin hơn khi vận dụng kiến thức một cách sáng tạo để giải bài tập theo nhiều phương pháp khác nhau. Nó góp phần đáp ứng yêu cầu mới hiện nay, giúp cho HS học tập một cách năng động hơn, khả năng ứng dụng phong phú hơn. Nó góp phần làm cho số lượng học sinh yêu thích môn Toán ngày càng tăng lên. Sự yêu thích bộ môn giúp các em thêm tích cực học tập và tiến bộ hơn Phần ba: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I. KẾT LUẬN: Trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi phương pháp giải phù hợp cho học sinh và khai thác phương pháp đó để học sinh vận dụng một cách linh hoạt vào các bài tập khác. Trong chứng minh hình học, học sinh rất sợ những bài toán phải vẽ thêm đường phụ và không để ý áp dụng công thức diện tích các hình (tam giác, tứ giác, đa giác). Do học sinh không biết vẽ từ đâu, và vẽ để làm gì. Qua các bài toán trên giúp học sinh định hướng được vẽ đường phụ nhằm tạo ra những tam giác để sử dụng công thức diện tích khi chứng minh. Qua thực tế bản thân tôi áp dụng phương pháp diện tích các hình (tam giác, tứ giác, đa giác) trong chứng minh các bài toán hình học ở Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 15
9. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 V/ PHỤ LỤC: Tham khảo các tài liệu : 1/. Sách giáo khoa toán 8 – Tập 1 – nhà xuất bản Giáo dục năm 2003. 2/. Sách giáo khoa toán 8 – Tập 2 – nhà xuất bản Giáo dục năm 2003. 3/. Sách Hình Học 8 – Nhà xuất bản Giáo dục – 1998. 4/. 500 bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8.- Nhà xuất bản ĐHSP. 5/. Toán nâng cao hình học 8 – Nhà xuất bản giáo dục . 6/. Các chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi trung học cơ sở – Nhà xuất bản Giáo dục. Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 17
10. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 SABC = SAMN + S BMNC . Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M, các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. Gọi I,J,K theo thứ tự là trung điểm của BD,AC,MN. Chứng minh rằng I,J,K thẳng hàng. N Giải: A K Ta có: SNIJ = SNDC – SNDI – SNJC – SCIJ - SCID J B 1 1 1 1 I = SNDC - SNBD - SNAC - SAIC - SCBD 2 2 2 2 D C M 1 1 1 1 = SNDC – SNAB - SABD - SABC - (SADC – SADIC) - SCBD 2 2 2 2 1 1 1 = SABCD - (SABD + SBCD) + SABCD - (SABC + SADC) 2 4 2 1 = SABCD 4 1 Tương tự: SMIJ = SABCD 4 Vậy SNIJ = SMIJ. Do đó các khoảng cách từ M và N tới IJ là bằng nhau. Mặt khác M và N nằm về hai phía của IJ, nên IJ đi qua trung điểm của MN. Ghi nhớ: Hai tam giác có diện tích bằng nhau mà có chung một cạnh thì khoảng cách từ hai đỉnh đối diện với cạch chung đó bằng nhau. Bài toán 12: Cho góc xOy.Hai điểm A,B thuộc Ox. Hai điểm C,D thuộc Oy. Tìm tập hợp những điểm M nằm trong góc xOy sao cho hai tam giác MAB và MCD có cùng diện tích. Giải: Lấy E và F lần lượt trên Ox,Oy sao cho: OE = AB; OF = CD. Gọi I là trung điểm của EF. Ta có: Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 19
11. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 Từ (2),(3) và (4) suy ra N,M,I thuộc quỹ tích nói ở (1). Do đó chúng thẳng hàng. Ghi nhớ: Do tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) nên AB + CD = AD + BC => SIAB = SICD = SIAD = SIBC HẾT Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 21
12. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 PHÒNG GIÁO DỤC DI LINH TRƯỜNG THCS GIA HIỆP TỔ TOÁN . KINH NGHIỆM NHỎ: TRONG GIẢNG DẠY BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI DÙNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC. Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 23
13. GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 Người thực hiên: Bạch Long Hùng Trang 25