Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh Lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh Lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số

1. Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số a - đặt vấn đề I-Lời mở đầu : Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân. ở trưòng THCS, trong dạy học Toán: cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các kiến thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài tập thì việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi là mục tiêu quan trọng của ngành giáo dục nói chung và bậc học THCS nói riêng. Do đó việc hướng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải toán là rất cần thiết và không thể thiếu được. Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường THCS tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế dạy học tôi thấy: trong chương trình Toán THCS "Các bài toán về cực trị trong đại số" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này.ở THPT để giải quyết các bài toán về cực trị đại số người ta thường dùng đến "công cụ cao cấp" của toán học là: đạo hàm của hàm số. ở THCS, 1
2. Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số vì không có (hay nói chính xác hơn là không được phép dùng) "công cụ cao cấp" của Toán học nói trên, nên người ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quết các bài toán loại này. Chính vì vậy, các bài toán cực trị đại số ở THCS không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống. Trên thực tế giảng dạy Toán 8-9 những năm qua tôi nhận thấy: phần "Các bài toán cực trị trong đại số" là một trong những phần trọng tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường THCS. Thế nhưng thực trạng học sinh trường chúng tôi và những trường tôi đã từng dạy là: học sinh không có hứng thú với loại toán này, bởi lẽ các bài toán về cực trị đại số ở trường THCS không theo một phương pháp nhất định nên các em rất lúng túng khi làm toán về cực trị, các em không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào. Hầu hết học sinh rất ngại khi gặp các bài toán cực trị và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập khác. Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ: "Làm thế nào để học sinh không thấy ngại và có hứng thú với loại toán này". Với trách nhiệm của người giáo viên tôi thấy mình cần giúp các em học tốt hơn phần này. Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy của bản thân và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tòi thử nghiệm, được sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp. Đặc biệt là những bài học sau những năm ở trường sư phạm. Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Hướng dẫn học sinh THCS giải các bài toán cực trị trong đại số". Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài toán cực trị đại số, giúp các em học tốt hơn. Đồng thời 2
3. Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quả cao nhất, tốt nhất. II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu. 1, Đối với học sinh :. Thực trạng khi nhận chuyên môn phân công dạy toán 8 ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy hụt hẩng trước cách học của học sinh. Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tượng nổi bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt chấp hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng của học sinh tôi đưa ra một số ví dụ thì học sinh lúng túng không biết chứng minh như thế nào. Trước thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện pháp kết quả cho thấy. Giỏi Khá TB Yếu- kém Lớp Sỉ số SL % SL % Sl % SL % 8 49 02 06 31 10 Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm rất mơ hồ, một sô học sinh làm được chỉ nằm vào một số học sinh khá- giỏi. Số còn lại chủ yếu là học sinh TB, Yếu, kém không biết giải thích bài toán như thế nào. 2, Đối với giáo viên : Thực trạng này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi vì người giáo viên là người chủ động, chủ đạo kiến thức, cũng chỉ tuân theo SGK mà dạy bài toán này đòi hỏi học sinh phải tư duy tốt và phải thâu tóm được kiến thức đã học để tận dụng vào làm bài tập . 3
4. Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số Đôi khi giáo viên áp đặt gò bó các em phải thê này, phải thế nọ mà không đưa ra thực tế để các em nhìn nhận vấn đề. Về phí học sinh cảm thấy khó tiếp thu bởi vì đây là dạng toán mà các em rất ít được gặp chính vì lí do đó mà người thầy phải tìm ra PP phù hợp nhất để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng bài toán “ Toán Cực chỉ” nên cảm thấy mơ hồ phân vân tại sai lại phải làm như vậy. Nếu không biến đổi thì có tìm được kết quả không. Từ những băn khoăn đó của học sinh giáo viên khẳng định nếu không biến đổi như vậy thì không trả lời yêu cầu của bài toán. Sau đây tôi xin đưa ra một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải các bài toán cực trị trong đại số 8. 4
5. Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số B- giải quyết vấn đề I - các giải pháp thực hiện 1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x0, y0, z0) S mà ta có: P(x0, y0, z0) P(x, y, , z) hoặc P(x0, y0, z0) P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x0, y0, z0) trên miền S. P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x0, y0, z0) S còn gọi là P đạt cực đại tại (x0, y0, z0) hoặc Pmax tại (x0, y0, z0). Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x0, y0, z0) S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x0, y0, z0) hoặc Pmin tại (x0, y0, z0). Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của P trên miền S. 2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là: *) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước: - Chứng tỏ rằng P k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S - Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. *) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước: - Chứng tỏ rằng P k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S - Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên. 5
6. Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số Ví dụ: Cho biểu thức A = x 2 + (x - 2)2 Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau: Ta có x2 0 ; (x - 2) 2 0 nên A 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0. Lời giải trên có đúng không? Giải: Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ rằng A 0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời: x2 = 0 và (x - 2) 2 = 0 . Lời giải đúng là: A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x +4 = 2x2 - 4x + 4 = 2(x2 -2x - +1) + 2 = 2(x - 1)2 + 2 Ta có: (x - 1)2 0 ,  x 2(x - 1)2 + 2 2  x A 2  x Do đó A = 2 x = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1. 3. Kiến thức cần nhớ: Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững: a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức. b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc: * a2 0, tổng quát: a2k 0 (k nguyên dương) Xảy ra dấu đẳng thức a = 0 * -a2 0, tổng quát: -a2k 0 (k nguyên dương) Xảy ra dấu đẳng thức a = 0 6
7. Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số * a 0 . (Xảy ra dấu đẳng thức a = 0) * - a a a . (Xảy ra dấu đẳng thức a = 0) * a b a b (Xảy ra dấu đẳng thức ab 0) * a b a b (Xảy ra dấu đẳng thức a b 0 hoặc a b 0) 1 1 * a 2 ,  a >0 và a 2 ,  a 0 (Xảy ra dấu đẳng thức a = b) a b II - các biện pháp thực hiện (Một số dạng bài toán cực trị trong đại số) Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa (sách tham khảo) tôi tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực trị trong đại số ở THCS rồi hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải từng dạng toán đó. Sau đây là một số dạng cơ bản thường gặp: Dạng 1: bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức là tam thức bậc hai. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A(x) = x2- 4x+1 7
8. Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ. Hướng dẫn giải: Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi về dạng A(x) k (k là hằng số) với mọi gía trị của biến và chỉ ra trường hợp xảy ra đẳng thức Lời giải: A(x) = x 2- 4x+1 = x2- 2.2x+1 = (x2- 2.2x+4)- 3 = (x- 2)2- 3 Với mọi giá trị của x: (x - 2)2 0 nên ta có: A(x) = (x- 2)2- 3 -3 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x=2 Đáp số: A(x) nhỏ nhất = - 3 với x=2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = -5x2- 4x+1 Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ Hướng dẫn giải: Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa B(x) về dạng B(x) k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức Lời giải: B(x) = -5x 2 – 4x+1 4 = -5 (x2+ x) +1 5 8