Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN KIM BÔI TRƯỜNG TH & THCS LẬP CHIỆNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ” Tên tác giả: Quách Thanh Long. Trình độ chuyên môn: Đại học Vật lí. Chức vụ: Giáo viên. Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Lập Chiệng. LẬP CHIỆNG – 2017 1
2. MỤC LỤC TT NỘI DUNG TRANG 1 Chương I 01 Tổng quan: 2 ChươngII Mô tả sáng kiến: 1. Nêu vấn đề của sáng kiến 02 2. Giải pháp thực hiện sáng 02- 03 kiến 3. Khả năng áp dụng, nhân 03 - 16 rộng sáng kiến. 3 Chương III Kết luận và đề xuất kiến 17 - 18 nghị . 2
3. Chương I: Tổng quan. Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic, vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại. Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn. Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể. Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ” . 3
4. Chương II: Mô tả sáng kiến 1. Nêu vấn đề của sáng kiến : Để đáp ứng mục tiêu đào tạo của Bộ giáo dục - Đào tạo và sự đổi mới phương pháp dạy học nên đòi hỏi giáo viên phải không ngừng học tập, nghiên cứu hoa học để đáp ứng những yêu cầu mới giáo dục mới trong giai đoạn hiện nay. Chương trình Toán THSC, phần “ Giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ”. Đưa vào dạy đại trà và dành cho học sinh khá - giỏi là một trong những phần khó. Muốn nắm được các cách giải của dạng toán này học sinh phải nắm vững được : Các cách biến đổi để từ đó vận dụng vào bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính, nhưng thực tế trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh gặp trở ngại khi giải dạng toán này, lúng túng khi giải bài toán chứng minh về tính chất chia hết, phân tích thành nhân tử, nhóm các hạng tử, đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ, đăt nhân tử chung, phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử học sinh rất lúng túng. Chính vì lý do trên tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Hướng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ”. Với mong muốn thiết thực giúp học sinh làm tốt dạng toán này hơn. Hi vọng sẽ đem lại kết quả tốt cho các em. 2. Giải pháp thực hiện sáng kiến : Nội dung chương trình Sách giáo khoa được đổi mới giảm nhẹ tính lý thuyết, tăng yêu cầu thực hành. Thời lượng dành cho lí thuyết cũng đã giảm, thời gian dành cho bài tập, luyện tập, ôn tập và thực hành được tăng lên, giúp khắc sâu kiến thức cho học sinh hơn so với chương trình cũ. Giáo viên được tham gia đầy đủ các lớp bồi dưỡng chuyên môn về đổi mới nội dung chương trình Sách giáo khoa, đổi mới phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh .Cơ sở vật chất của nhà trường phục vụ cho công tác giảng dạy tương đối đầy đủ . 4
5. Trong quá trình giảng dạy toán ở trường tôi thấy đa số học sinh là người dân tộc thiểu số nhận thức còn chậm, kĩ năng tư duy toán học còn chưa tốt, nên việc giúp các em tiếp cận những kiến thức cơ bản và vận dụng vào giải bài tập là điều rất quan trọng. Tài liệu toán học, sách tham khảo, sách nâng cao ở thư viện nhà trường còn ít về số lượng, về chủng loại. Học sinh không có điều kiện tiếp xúc với các loại sách tham khảo, nâng cao. Tài liệu duy nhất học sinh được trang bị để học tập là Sách giáo khoa và sách bài tập toán. Kinh tế gia đình đại đa số học sinh còn nghèo, không trang bị đầy đủ các dụng cụ học tập cần thiết cho việc học tập môn toán của học sinh như : máy tính bỏ túi, máy tính kết nối mạng. Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo. Học sinh chưa biết vận dụng linh hoạt các cách phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, tách hạng tử Chưa biết vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán có liên quan. Chính vì vậy mà khi gặp dạng toán này học sinh thường ngại, lúng túng không tìm được hướng giải và khi giải hay mắc sai sót. 3. Khả năng áp dụng nhân rộng sáng kiến. 3.1 . Một số kiến thức cần nhớ : - Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: A( B + C) = AB + AC - Các hằng đẳng thức đáng nhớ: 1. ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2. ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 3. A2 - B2 = ( A + B)( A - B) 4. ( A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5. ( A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6. A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) 5
6. 7. A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) - Các phép toán cộng, trừ đơn thức, cộng, trừ đa thức. - Phép nhân đa thức với đa thức: (A + B)( C + D) = AC + AD + BC + BD - Phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp. - Quy tắc đổi dấu đa thức. - Định lí Bơ - du: Nếu đa thức f(x) có một nghiệm nguyên m thì f(x) chia hết cho x - m 3.2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thông thường 3.2.1. Phương pháp đặt nhân tử chung: Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp này thường làm như sau: - Tìm nhân tử chung - Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung, các nhân tử khác. - Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng. Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 2 2 2 2 M1 = 7x y - 21xy + 14x y = 7xy(x - 3y + 2xy) 3.2.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 2 2 2 M2 = x + 4xy + 4y = x + 2x.2y + (2y) (Áp dụng quy tắc nhân đơn thức) = (x + 2y)2 (Hằng đẳng thức thứ nhất) Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 2 2 M3 = 25x - 10x y + y = (5x2)2 - 2.5x2 .y + y2 (Áp dụng quy tắc nhân đơn thức) = ( 5x2 - y)2 (Hằng đẳng thức thứ hai) 6
7. 3.2.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: Khi sử dụng phương pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phương pháp đã biết để phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2 M4 = 4x +8xy - 3x - 6y 2 = (4x + 8xy ) - (3x + 6y) ( Nhóm các hạng tử) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) (Đặt nhân tử chung) = (x+2y)(4x-3) (Đặt nhân tử chung) 3.2.4. Phối hợp nhiều phương pháp: Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để có thể phân tích đa thức thành nhân tử. Phương pháp này thường được tiến hành theo các trình tự sau : + Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn + Nhóm hạng tử + Dùng hằng đẳng thức Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2 M5 = 3a - 3b + a - 2ab + b = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử) = 3(a - b) + (a - b)2 ( Đặt nhân tử chung và dùng hăng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) ( Đặt nhân tử chung) Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2 M6 = a - b - 2a + 2b = (a2 - b2) - (3a - 2b) ( Nhóm các hạng tử) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung) = (a - b) (a + b - 2) (Đặt nhân tử chung) Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các 7
8. bước phân tích được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích được nữa). 3.3. Một số phương pháp khác. Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phân tích thành nhân tử thông thường và kết hợp các phương pháp sau để làm các bài toán khó. 3.3.1. Phương pháp tách hạng tử: Phân tích thành nhân tử các đa thức sau: Ví dụ 8: x2 – 8x + 12 = x2 – 2x – 6x +12 = ( x2 – 2x) – ( 6x -12) = x(x-2) - 6(x -2) = (x – 2)(x – 6) Ví dụ 9: N = a2 - 6a + 8. Cách 1: N = a2 - 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a) = (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử) = a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung) = (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung) Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại. Cách 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1) = (a2 - 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức) = (a - 3)2 - 1 (Sử dụng hằng đẳng thức) = (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và Đặt nhân tử chung) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt nhân tử chung) Cách 3: N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4x + ( - 2x) = ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử) 8
9. = (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và Đặt nhân tử chung) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt nhân tử chung) Cách 4: N = 3a2 - 6a + 8 - 2a2 (Tách a2 = 3a2 - 2a2) = 3a (a - 2) - 2(a2 - 4) (Đặt nhân tử chung) = 3a (a - 2) - 2(a - 2)(a + 2) (Dùng Hằng đẳng thức) = (a - 2)(3a - 2a - 4) (Đặt nhân tử chung) = (a - 2)(a - 4) Trong tam thức bậc hai: ax2 + bx + c Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1. b2 = a.c Trong thực hành ta làm như sau; + Tìm tích a.c + Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách + Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b Ngoài ra có thể tách hạng tử bậc hai, hoặc có thể tách đồng thời nhiều hạng tử tuỳ theo dạng của bài toán. 3.3.2. Phương pháp thêm bớt hạng tử: Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử 4 P1= x + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 (Thêm 4x2, bớt 4x2) = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (Nhóm hạng tử) = (x2 + 2)2 - (2x)2 (Dùng hằng đẳng thức) = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) 4 Ví dụ 11: Phân tích đa thức : P2 = a + 64 4 2 2 2 2 P2 = (a + 16a +64) - 16a (Thêm 16a , bớt 16a ) = (a2 + 8)2 - (4a)2 (Dùng hằng đẳng thức) = (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) (Dùng hằng đẳng thức) Ví dụ 12: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử. 9