Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh vận dụng tốt 8 hằng đẳng thức đáng nhớ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh vận dụng tốt 8 hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Trung v¨n ®øc tr­êng thcslai thµnh kim s¬n I) MÔÛ ÑAÀU: Trong ñaïi soá 8 haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù laø moät noäi dung raát quan troïng vaø caàn thieát. Vieäc naém vöõng, nhaän daïng, ñeå vaän duïng caùc haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn laø moät nhu caàu khoâng theå thieáu khi hoïc ñaïi soá 8. Tuy nhieân khi vaän duïng hoïc sinh thöôøng gaëp phaûi nhöõng thuaän lôïi vaø khoù khaên caàn phaûi khaéc phuïc sau: 1. Thuaän lôïi: - Vaän duïng toát haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù ñeå giaûi toaùn, Hoïc Sinh seõ tieát kieäm ñöôïc thôøi gian, baøi giaûi goïn vaø haïn cheá nhieàu sai soùt khi bieán ñoåi. - Haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù laø moät coâng cuï khoâng theå thieáu trong voán kieán thöùc cuûa Hoïc Sinh, ñeå vaän duïng giaûi baøi toaùn töø luùc baét ñaàu hoïc cho ñeán caùc lôùp treân. - Khi vaän duïng haèng ñaúng thöùc toát, Hoïc Sinh seõ coù keát quaû baát ngôø, ñaày höùng thuù, kích thích tinh thaàn say meâ hoïc toaùn. 2. Khoù khaên: - Hoïc Sinh thöôøng gaëp nhöõng baøi toaùn maø khi bieán ñoåi môùi thaáy ñöôïc caàn aùp duïng daïng haèng ñaúng thöùc naøo. - Phaïm vi vaän duïng haèng ñaúng thöùc ñeå giaûi toaùn roäng, neân khoâng bieát khi naøo thì aùp duïng. - Khi vaän duïng haèng ñaúng thöùc thì Hoïc Sinh coøn nhaàm laãn veà luyõ thöøa, bieåu thöùc, daáu, daãn ñeán beá taéc. ❖ Do ñoù ñeå vaän duïng toát haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn Ñaïi Soá lôùp 8 (Chöông I: pheùp nhaân vaø pheùp chia caùc ña thöùc) Hoïc Sinh caàn: o Hoïc thuoäc loøng caùc haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù o Bieát phoái hôïp vôùi moät soá kieán thöùc khaùc o Söû duïng chính xaùc haèng ñaúng thöùc maø noäi dung töøng baøi toaùn yeâu caàu. o Keát hôïp vôùi bieán ñoåi, tính toaùn. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 1
2. Trung v¨n ®øc tr­êng thcslai thµnh kim s¬n II) KEÁT QUAÛ: Ñeå hoïc sinh coù keát quaû khaû quan khi hoïc Ñaïi Soá töø lôùp 8 trôû ñi thì hoïc sinh caàn naém chaéc noäi dung vaø caùch giaûi quyeát moät soá baøi toaùn daïng haèng ñaúng thöùc sau: 1. Nhöõng haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù: A. 7 haèng ñaúng thöùc:(SGK) Vôùi A, B laø caùc bieåu thöùc • (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 • (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 • A2 – B2 = (A + B)(A – B) • (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3 • (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 •A 3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) •A 3 – B3 = (A – B) (A2 + AB +B2) B. Caùc haèng ñaúng thöùc lieân quan: • (A + B)2 = (A –B)2 + 4AB • (A – B)2 = (A +B)2 – 4AB •A 3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B) •A 3 + B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B) • (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC) C. Caùc haèng ñaúng thöùc daïng toång quaùt: • (A + B)n = An + n An-1B + . . .+ n ABn-1 + Bn •A n – Bn = (A – B) (An-1 + An-2B + . . . +ABn-2 + Bn-1) 2 2 2 2 •(A 1 + A2 + . . . +An) = A1 + A2 + . . . + An + 2(A1A2 + A1A3+. . . +An-1An) 2. Aùp duïng: Chuùng toâi taïm chia theo noäi dung sau, nhöng taát caû ñeàu söû duïng haèng ñaúng thöùc ñeå giaûi. A. Thöïc hieän caùc pheùp tính: ➢ Phöông phaùp: Xem bieåu thöùc ñaõ cho coù daïng haèng ñaúng thöùc naøo. Bieán ñoåi bieåu thöùc ñaõ cho ñeå xuaát hieän daïng haèng ñaúng thöùc. Thöïc hieän caùc haèng ñaúng thöùc hôïp lyù ta coù keát quaû (coù theå keát quaû khoâng goïn). ➢ Baøi taäp: a. (a – b – c)2 – (a –b + c)2 b. (a – x – y )3 – (a + x – y )3 c. (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a – 1)(a2 + 1)(a – 2) d. (1 – x - 2x3 + 3x2)(1 – x + 2x3 – 3x2) e. (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 + a +1) ➢ Giaûi: S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2
3. Trung v¨n ®øc tr­êng thcslai thµnh kim s¬n e. (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 + a +1) = (a + 1) (a – 1) (a2 – a + 1) (a2 + a +1) = [(a + 1) (a2 – a +1)] [(a – 1) (a2 + a + 1)] = (a3 +1) (a3 – 1) = (a3)2 – 1 = a6 – 1 B. Ruùt goïn bieåu thöùc: ➢ Phöông phaùp: Xem bieåu thöùc ñaõ cho coù daïng haèng ñaúng thöùc naøo. Bieán ñoåi bieåu thöùc ñaõ cho ñeå xuaát hieän daïng haèng ñaúng thöùc. Thöïc hieän caùc haèng ñaúng thöùc hôïp lyù ta coù keát quûa thöôøng thì keát quaû raát goïn). ➢ Baøi taäp: a. (2x + y) (4x2 – 2xy + y2) – (2x – y) (4x2 + 2xy + y2) b. 2(2x + 1) (3x – 1) + (2x +1)2 + (3x – 1)2 c. (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x –y +z) . (y – z) d. (x – 3) (x + 3) – (x - 3)2 e. (x2 – 1) (x +2) – (x – 2) (x2 + 2x +4) ➢ Giaûi: c. (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x –y +z) (y – z) = (x – y + z)2 - 2(x – y + z) (z – y) + (z – y)2 = [(x – y + z) – (z – y)]2 = (x – y + z –z + y)2 = x2 C. Tính nhanh: ➢ Phöông phaùp: Xem bieåu thöùc ñaõ cho coù daïng haèng ñaúng thöùc naøo. Bieán ñoåi hoaëc theâm, bôùt vaøo bieåu thöùc ñaõ cho ñeå xuaát hieän daïng haèng ñaúng thöùc. Thöïc hieän haèng ñaúng thöùc vaø caùc pheùp tính ta coù keát quaû. ➢ Baøi taäp: a.3 4 . 54 – (152 + 1) (152 – 1) b. 452 + 402 – 152 + 80 . 45 c. 502 – 492 + 482 – 472 + . . . +22 - 12 d. 3(22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) e. (3 +1) (32 +1) (34 + 1) (38 + 1) (316 + 1) ➢ Giaûi: e. (3 +1) (32 +1) (34 + 1) (38 + 1)(316 + 1) 1 = .(32 – 1) (32 + 1) (34 + 1) (38 + 1) (316 + 1) 2 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 3
4. Trung v¨n ®øc tr­êng thcslai thµnh kim s¬n 1 = .(34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)(316 + 1) 2 1 = . ( 38 - 1) (38 + 1) (316 + 1) 2 1 = . (316 - 1) (316 + 1) 2 1 = . (332 – 1) 2 D. Tính giaù trò bieåu thöùc: ➢ Phöông phaùp: Döïa vaøo haèng ñaúng thöùc thu goïn bieåu thöùc. Thay giaù trò cuûa bieán vaøo bieåu thöùc thu goïn. Thöïc hieän pheùp tính caùc soá ta coù keát quaû. ➢ Baøi taäp: a. x2 – 2xy - 4z2 + y2 taïi x = 6, y = - 4, z = 45 b.x 3 + 9x2 + 27x + 27 taïi x = 97 c. 27 x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 taïi x = 8, y = 25 d.x 2 - y2 taïi: x = 87, y = 13 e. 5x2z – 10xyz + 5y2z taïi x = 124, y = 24, z = 2 ➢ Giaûi: a. x2 – 2xy - 4z2 + y2 =( x2 – 2xy + y2 – 4z2 = (x – y)2 – (2z)2 =(x – y + 2z) (x – y – 2z) =(6 + 4 + 90) (6 + 4 – 90) =100 . (-80) = - 8000 E. Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû: ➢ Phöông phaùp: Baûn thaân caùc haèng ñaúng thöùc laø ôû daïng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû. Döïa vaøo haèng ñaúng thöùc ñeå tìm ra nhaân töû chung, hoaëc nhoùm haïng töû, hoaëc taùch haïng töû, hoaëc theâm bôùt cuøng moät haïng töû. Bieát keát hôïp ñeå ñöa ña thöùc veà daïng tích caùc ña thöùc. ➢ Baøi taäp: a. (a + b) (a3 – b3) – (a – b) (a3 + b3) b.x 6 – y6 c. x(y + z)2 + y(x + z)2 + z(x + y)2 – 4xyz d.x 8 + x4 + 1 e.x 3 – 3x2 + 3x – 1 – y3 ➢ Giaûi: S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 4
5. Trung v¨n ®øc tr­êng thcslai thµnh kim s¬n c. x(y + z)2 + y(x + z)2 + z(x + y)2 – 4xyz = x(y2 + 2yz + z2) + y(x2 + 2xz + z2) + z(x + y)2 – 4xyz = xy2 + 2xyz + xz2 + x2y + 2xyz + yz2 + z(x + y)2 – 4xyz =(xy2 + x2y) + (xz2 + yz2) + z(x + y)2 =xy(y + x) + z2(x + y) + z(x + y)2 =(x + y) [xy + z2 + z(x + y)] =(x + y) (xy + z2 + zx + zy) =(x + y) [(x(y +z) + z(y + z)] =(x + y) (y + z) (x + z) F. Chöùng minh: coù nhieàu daïng ➢ Phöông phaùp: ❖ Chia heát: Döïa vaøo haèng ñaúng thöùc Phaân tích ña thöùc ñaõ cho veàù daïng tích. Trong ñoù coù ít nhaát moät thöøa soá chia heát cho soá ñoù. Phaân tích ña thöùc ñaõ cho thaønh toång. Trong ñoù caùc soá haïng phaûi chia heát cho soá ñoù. ❖ Bieåu thöùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán: Döïa vaøo haèng ñaúng thöùc. Ta thöïc hieän caùc pheùp tính ruùt goïn keát quaû khoâng chöùa bieán. ❖ Bieåu thöùc döông hoaëc aâm: Döïa vaøo haèng ñaúng thöùc Ñöa bieåu thöùc veà daïng f(x) > 0 vôùi  x hoaëc f(x,y) > 0 vôùi x, y f(x) 0 (vôùi x > 0, y > 0) e. Neáu x, y, z laø ñoä daøi 3 caïnh cuûa tam giaùc thì A = 4x2y2 – (x2 + y2 - z2)2 luoân döông. ➢ Giaûi: c. Ta bieát: 32007 3 Ñaët 32007 = 3n S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 5
6. Trung v¨n ®øc tr­êng thcslai thµnh kim s¬n 2007 Ta coù: 1 + 23 = 1 + 23n = 13 + (2n)3 = (1 + 2n) ( 1 – 2n + 22n) (tích 2 thöøa soá khaùc 1 vaø 1 + 23n) 2007 Vaäy: 1 + 23 khoâng phaûi laø soá nguyeân toá. G. Tìm giaù trò nhoû nhaát (hoaëc lôùn nhaát) cuûa bieåu thöùc: ➢ Phöông phaùp: Nhoû nhaát: Min f(x) = m +Döïa vaøo haèng ñaúng thöùc chöùng minh: f(x) m (m laø haèng soá)  x0 : f(x0) = m Lôùn nhaát: Max f(x) = M +Döïa vaøo haèng ñaúng thöùc chöùng minh: f(x) M (M laø haèng soá)  x0: f(x0) = M Thoâng thöôøng ñeå laøm loaïi toaùn naøy ta phaûi bieán ñoåi ñeå söû duïng haèng ñaúng thöùc bình phöông cuûa moät toång (hoaëc moät hieäu), coäng (tröø) vôùi moät haèng soá . Löu yù: heä soá cuûa x2 trong tam thöùc baäc 2 aâm(hoaëc döông) ñeå tìm giaù trò lôùn nhaát (hoaëc nhoû nhaát). Tröôøng hôïp: bieåu thöùc laø phaân thöùc maø töû laø moät haèng soá thì keát quaû nghòch ñaûo vôùi giaù trò ña thöùc. Tröôøng hôïp: bieåu thöùc coù 2 bieán ta nhoùm laïi laøm cho töøng bieán nhö treân. ➢ Baøi taäp: a.x 2 - x + 1 b. x – x2 c.x 2 + y2 – x – 6y + 10 2 d. 6x 5 9x2 3 e. 2x2 2x 3 ➢ Giaûi: 2 2 c.x + y – x – 6y + 10 = (x2 – x + 1) + ( y2 – 6y + 9) 1 1 3 = (x2 – 2. x . + ) + (y – 3)2 2 4 4 1 3 3 =(x - )2 + + (y – 3)2 2 4 4 3 Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc baèng 4 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 6
7. Trung v¨n ®øc tr­êng thcslai thµnh kim s¬n 1 Khi: (x - )2 = 0 vaø (y – 3)2 = 0 2 1 => x - = 0 => y – 3 = 0 2 1 =>x = =>y = 3 2 H. Laøm tính chia ña thöùc cho ña thöùc: ➢ Phöông phaùp: Xem ña thöùc bò chia hoaëc ña thöùc chia ôû daïng haèng ñaúng thöùc naøo. Bieán ñoåi ña thöùc veà daïng tích vaø ruùt goïn ta coù keát quaû. ➢ Baøi taäp: a. (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) : (x2 – 2xy +y2) b. (x2 – 2xy +y2) : (y – x) c. (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) : (x + y) d. (4x2 – 9y2) : (2x – 3y) e. (27x3 – 1) : (3x – 1) ➢ Giaûi: e. (27x3 – 1) : (3x – 1) = [(3x)3 – 1] : (3x – 1) = (3x – 1) (9x2 + 3x + 1) : ( 3x – 1) = 9x2 + 3x + 1 I. Tìm x: ➢ Phöông phaùp: Döïa vaøo haèng ñaúng thöùc phaân tích moät veá thaønh tích caùc ña thöùc. Thu gon caùc thöøa soá, nhaän xeùt vaø giaûi phöông trình ax + b = 0, tìm x. ➢ Baøi taäp: a. (x – 2)3 – (x – 3) (x2 + 3x + 9) + 6(x + 1)2 = 15 b. 2x3 – 50x = 0 c. 5x2 – 4(x2 – 2x +1) – 5 = 0 d. x3 – x = 0 e. 27x3 – 27x2 + 9x – 1 = 1 ➢ Giaûi: c. 5x2 – 4(x2 – 2x +1) – 5 = 0 => 5(x2 – 1) – 4(x – 1)2 = 0 => 5(x + 1) . (x – 1) – 4(x – 1)2 = 0 => (x - 1) . [5(x + 1) – 4(x – 1)] = 0 => (x - 1) . (5x + 5 – 4x + 4) = 0 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 7