Sáng kiến kinh nghiệm Giúp đỡ học sinh học tốt phương pháp tích phân đổi biến số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp đỡ học sinh học tốt phương pháp tích phân đổi biến số

1. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ Trang MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài 4 Mục đích nghiên cứu 4 Đối tượng ngiên cứu 4 Giới hạn của đề tài 4 Nhiệm vụ của đề tài 4 Phương pháp nghiên cứu 4 Thời gian nghiên cứu 4 NỘI DUNG 5 Cơ sở lí luận 5 Cơ sở triết học 5 Cơ sở tâm lí học 5 Cơ sở giáo dục học 5 Thực trạng của đề tài 6 Thời gian và các bước tiến hành 6 Tìm hiểu học sinh 6 Giải quyết vấn đề 6 Phương pháp đổi biến số dạng 1 7 Phương pháp đổi biến số dạng 2 (đổi biến số theo sint và tant) 10 Một số trường hợp thường gặp cho ta dấu hiệu để đổi biến hợp lý 14 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 18 Kết quả thực tiễn 19 Kết quả thực nghiệm 19 KẾT LUẬN 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 GV: ĐINH VĂN QUYẾT - ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC 1
2. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cách đây khoảng 2.000 năm những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân. Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính giải tích, đã chính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học. J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học. Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học và vật lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức. Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong đặt nền tảng lô- gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân. Liouville (1809–1882) xây dựng một phương pháp để tìm xem khi nào tích phân vô định của hàm cơ bản lại là một hàm cơ bản. Hermite ( 1822–1901) tìm thấy một thuật toán để tính tích phân cho các hàm phân thức. Phương pháp này đã được mở rộng cho các phân thức chứa lô-ga-rít vào những năm 1940 bởi A. M. Ostrowski. Vào những năm trước thời đại máy tính của thế kỷ 20, nhiều lý thuyết giúp tính các tích phân khác nhau đã không ngừng được phát triển và ứng dụng để lập các bảng tra cứu tích phân và biến đổi tích phân. Một số những nhà toán học đóng góp cho công việc này là G. N. Watson, E. C. Titchmarsh, E. W. Barnes, H. Mellin, C. S. Meijer, W. Grobner, N. Hofreiter, A. Erdelyi, L. Lewin, Y. L. Luke, W. Magnus, A. Apelblat, F. Oberhettinger, I. S. Gradshteyn, H. Exton, H. M. Srivastava, A. P. Prudnikov, Ya. A. Brychkov, và O. I. Marichev. Vào năm 1969, R. H. Risch đã đóng góp một phát triển vượt bậc cho các thuật toán tính tích phân vô định bằng công trình của ông về lý thuyết tổng quát và ứng dụng GV: ĐINH VĂN QUYẾT - ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC 2
3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ trong tích phân các hàm cơ bản. Phương pháp đã chưa thể được ứng dụng ngay cho mọi hàm cơ bản vì cốt lõi của phương pháp là giải một phương trình vi phân khá khó. Những phát triển tiếp nối của nhiều nhà toán học khác đã giúp giải được phương trình vi phân này cho nhiều dạng hàm cơ bản khác nhau, ngày càng hoàn thiện phương pháp của Risch. Trong những năm 1980 đã có những tiến bộ mở rộng phương pháp này cho cả các hàm không cơ bản đặc biệt. Từ thập niên 1990 trở lại đây, các thuật toán để tính biểu thức tích phân vô định được chuyển giao sang và tối ưu hoá cho tính toán bằng máy tính điện tử. Máy tính đã giúp loại bỏ sai sót con người, tạo nên khả năng tính hàng nghìn tích phân mới chưa bao giờ xuất hiện trong các bảng tra cứu. Một số phần mềm máy tính thương mại có khả năng tính biểu thức tích phân hiện nay là Mathematica, Maple, Trong chương trình Toán lớp 12 bài toán tích phân là một trong những bài toán khó đối với đại đa số học sinh. Thực tế sau khi học sinh học xong phương pháp tích phân đổi biến số thì các em vẫn chưa nắm được tất cả những dạng bài tập áp dụng phương pháp này một cách có hệ thống. Nhằm giúp học sinh học tốt hơn tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số khi giải bài toán tích phân, tôi xin trình bày một số cách biến đổi phù hợp với các hàm số dưới dấu tích phân và cách khai thác giả thiết của bài toán tích phân liên quan đến cận của tích phân thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp phổ thông và thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. 2. Mục đích nghiên cứu: Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ phương pháp đổi biến số tích phân. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học. 3. Đối tượng ngiên cứu: Phương pháp tích phân đổi biến số. 4. Giới hạn của đề tài: Dựa vào bộ sách giáo khoa hiện hành và đổi mới phương pháp dạy học đối với khối 12. Vì vậy tôi chỉ tập chung vào vấn đề “Giúp đỡ học sinh học tốt Phương pháp tích phân đổi biến số ”. GV: ĐINH VĂN QUYẾT - ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC 3
4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 5. Nhiệm vụ của đề tài: Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt Phương pháp tích phân đổi biến số. Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT. 6. Phương pháp nghiên cứu: Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau: Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài. Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS). Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn, ). Phương pháp thực nghiệm. 7.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2009 - 2010 GV: ĐINH VĂN QUYẾT - ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC 4
5. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ NỘI DUNG I/ Cơ sở lí luận: 1. Cơ sở triết học: Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn. 2. Cơ sở tâm lí học: Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục. Vì vậy GV cần phải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đã biết với tri thức của nhân loại. Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về Phương pháp tích phân đổi biến số các em thường có tâm lí khó hiểu. 3. Cơ sở giáo dục học: GV: ĐINH VĂN QUYẾT - ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC 5
6. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng đối tượng học sinh. II/ Thực trạng của đề tài: 1. Thời gian và các bước tiến hành: Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2009 - 2010 2. Tìm hiểu học sinh Thông qua các tiết dạy và học của thầy và trò tôi nhận thấy học sinh còn yếu. Việc lĩnh hội kiến thức về tích phân và kĩ năng giải toán tích phân ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ: Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc. Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp. Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán. III/ Giải quyết vấn đề: Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “Cái dễ đến cái khó”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh. Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể đơn giản và giải chi tiết để học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. GV: ĐINH VĂN QUYẾT - ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC 6
7. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ CƠ SỞ KHOA HỌC (Phương pháp đổi biến số) Định lí: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục sao cho hàm số hợp f(u(x)) xác định trên K ; hai số a và b thuộc K thì b u(b) f [u(x)].u '(x)dx f (u)du a u(a) 1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 : b Sử dụng cho những tích phân có dạng f [u(x)].u'(x)dx a *Phương pháp: + Chọn biến t = u(x) dt = u’(x)dx + Đổi cận: Khi x = a t = u(a), khi x = b t= u(b) + Chuyển về tích phân theo biến mới b u(b) Khi đó f [u(x)].u'(x)dx = f (t)dt a u(a) * Khi đặt t = u(x) cần chú ý các vấn đề sau: . Hàm số t = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b . Hàm số hợp f(u(x)) xác định trên đoạn a;b b u(b) Khi đó ta có: f [u(x)].u'(x)dx = f (t)dt a u(a) Ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán: + Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn. + Phát hiện và đặt t = u(x) cho thích hợp bài toán. Trong phương pháp này chủ yếu là học sinh xác định được thành phần nào là f(u(x)), thành phần nào là u’(x). Do vậy giáo viên cần dẫn dắt học sinh nhận biết các thành phần đó trong mỗi bài toán tính tích phân. Giáo viên cho học sinh phát hiện các dấu hiệu đặc trưng khi chọn hàm u(x) trong phép đổi biến số. GV: ĐINH VĂN QUYẾT - ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC 7