Sáng kiến kinh nghiệm Giải toán vận dụng phép quay

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giải toán vận dụng phép quay

1. Phần 1. MỞ ĐẦU Học sinh thường gặp khó khăn khi giải toán hình học, đặc biệt khi tiếp xúc với những bài toán có vẽ thêm đường phụ. Đưng trước những bài toán này, học sinh không thấy được sự liên hệ giữa các dữ kiện đã cho, không biết được các yếu tố của bài toán sẽ sử dụng như thế nào và ở đâu trong quá trình tìm tòi lời giải. Từ thực tế trên, tài liệu Giải toán vận dụng phép quay được biên soạn. Tài liệu đã được báo cáo trong Hội thảo chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán của tỉnh. Tài liệu này giúp học sinh biết thêm một phương pháp vẽ đường phụ. Nắm chắc cơ sở của cách vẽ đường phụ là xuất phát từ Phép biến hình. Một trong các Phép biến hình được sử dụng trong tài liệu là phép quay. Phép quay cũng là một trong các nội dung làm chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9 khi tham gia dự thi Học sinh giỏi các cấp thành phố và tỉnh. Từ cách nhìn bài toán thông qua việc phân tích cách giải bằng phép quay, học sinh dễ dàng tìm ra các đường phụ cần vẽ, từ đó biết diễn đạt lời giải bài toán dưới dạng ngôn ngữ, cách thức và các kiến thức thông thường của chương trình toán THCS. Các bài toán có vẽ thêm đường phụ thường khó và phức tạp, đòi hỏi học sinh một trình độ tư duy nhạy bén, một khả năng liên tưởng phân tích và tổng hợp chặt chẽ, mạch lạc. Tài liệu bao gồm các dạng bài toán được chọn lọc sắp xếp theo từng nội dung trong đó phương pháp giải chủ đạo là Phép quay . Sau lời giải bằng Phép quay là gợi ý cách vẽ đường phụ, giúp học sinh biết trình bày lời giải theo cách thức thông thường. GIẢI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP QUAY 1 Bùi Văn Chi
2. Các bài toán trong tài liệu được đúc kết, sắp xếp, chọn lọc qua nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ở trường, thành phố và tỉnh. Hầu hết các bài toán đều có lời giải chi tiết, có nêu rõ cơ sở của phép vẽ đường phụ, giúp học sinh dễ nắm bắt vấn đề, từ đó hình thành dần kỹ năng để giải những bài tập tương tự được tập hợp trong phần đề nghị ở cuối tài liệu. GIẢI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP QUAY 2 Bùi Văn Chi
3. Phần 2. KẾT QUẢ Phép biến hình có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất, mối liên hệ của các hình và là công cụ để giải nhiều bài toán hình học. Phép biến hình có nhiều dạng. Tài liệu này giới thiệu một lớp các bài toán hình học được giải bằng Phép quay. Nhờ tính chất bảo toàn khoảng cách và bảo toàn độ lớn góc, Phép quay thiết lập những “đường phụ” then chốt, liên kết các yếu tố của hình vẽ, từ đó đưa ra những gợi ý độc đáo cho lời giải bài toán. I. PHÉP QUAY 1.Định nghĩa Trong mặt phẳng P định hướng, cho điểm O cố định và một góc định hướng α sai khác k.360 0, (k ∈ Z) Phép quay tâm O với góc quay α là một phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M thành điểm M ’ sao cho: OM = OM ’ và (OM,OM' ) = α . Trong đó (OM,OM' ) là góc định hướng với tia đầu là OM, tia cuối là OM ’. Phép quay tâm O, góc quay α được ký hiệu là Q(O; α ). Khi α = 180 0, phép quay trùng vói phép đối xứng tâm. 2.Định ly ù Phép quay là một phép dời hình. Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm và độ lớn của góc. GIẢI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP QUAY 3 Bùi Văn Chi
4. 3.Tính chất • Phép quay có đầy đủ các tính chất của một phép dời hình. • Phép quay tâm O với góc quay α ≠ 0 có tâm O là điểm kép duy nhất. Mọi đường thẳng a đi qua tâm O có ảnh là đường thẳng a ’ cũng đi qua tâm O. • Phép quay tâm O, góc quay α biến điểm M thành điểm M ’ thì phép quay tâm O, góc quay – α biến điểm M ’ thành điểm M. • Phép quay tâm O, góc quay α nếu biến điểm A thành điểm A ’, điểm B biến thành điểm B ’ thì: AB = A ’B’ và hai đường thẳng AB, A ’B’ cắt nhau tạo nên một góc bằng α và một góc bằng (180 0 – α ). • Phép quay hoàn toàn được xác định nếu biết tâm quay O và góc quay α . GIẢI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP QUAY 4 Bùi Văn Chi
5. II. ÁP DỤNG PHÉP QUAY VÀO GIẢI TOÁN Bài toán 1 Cho hai đường thẳng song song a và b. C là một điểm bất kỳ không nằm trên a, b. Hãy tìm trên a, b lần lượt hai điểm A, B b a sao cho ABC đều. A Giải a’ H +) Phân tích 60 0 C B 0 Giả sử đã dựng được ABC đều 60 thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Ta có: Q(C,60 0): A B H’ A ∈ a B ∈ a ’ Vì B ∈ b nên B = a ’ ∩ b. +) Cách dựng Dựng đường thẳng a ’ là ảnh của đường thẳng a trong phép quay Q(C,60 0) bằng cách kẻ CH ⊥ a tại H, tìm ảnh H ’ của H qua phép quay đó, rồi vẽ a ’ ⊥ CH ’ tại H ’. Gọi B = a ’ ∩ b và lấy điểm A là tạo ảnh của B trong phép quay trên ta có A ∈ a. +) Chứng minh Ta dễ dàng chứng minh được ABC đều từ định nghĩa phép quay. +) Biện luận GIẢI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP QUAY 5 Bùi Văn Chi
6. Với phép quay Q(C,-60 0) ta có thêm một vị trí mới của ABC cần dựng. Hai tam giác này đối xứng với nhau qua trục CH. Nếu a ’ và b không cắt nhau, bài toán vô nghiệm. Nếu a ’ và b trùng nhau, bài toán có vô số nghiệm. *Gợi ý vẽ đường phụ Kẻ CH ⊥ a tại H. Qua C vẽ một tia CH ’ tạo với tia CH một góc 60 0 và lấy trên đó điểm H ’ sao cho CH ’ = CH. Qua H ’ vẽ đường thẳng a ’ ⊥ CH ’, a ’ cắt b tại B. Dựng tam giác đều ABC với A ∈ a. Bài toán 2 Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC ta dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và ACPQ. a) Chứng minh NC = BQ và NC ⊥ BQ. b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh AD ⊥ QN và AD = NQ . 2 Q Giải E N P A M B D C GIẢI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP QUAY 6 Bùi Văn Chi
7. Q E N P A M B D C a) Thực hiện phép quay Q(A,90 0): N B C Q ⇒ NC BQ ⇒ NC = BQ, NC ⊥ BQ. b) Gọi E là điểm đối xứng của B qua A. Ta có: AD là đường trung bình của BCE nên AD // CE, AD = CE . 2 Mặt khác, phép quay Q(A,90 0): C Q E N ⇒ CE QN ⇒ CE = QN, CE ⊥ QN. Do đó AD ⊥ QN, AD = QN . 2 *Gợi ý vẽ đường phụ Vẽ E là điểm đối xứng của A qua B thì AD là đường trung bình của ABE nên AD // CE và AD = CE/2. Mặt khác CE = NQ và CE ⊥ NQ (do ANQ = EAC), suy ra AD = NQ/2 và AD ⊥ NQ. GIẢI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP QUAY 7 Bùi Văn Chi
8. Bài toán 3 Cho điểm M chuyển động trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Dựng ra phia ngoài tam giác AMB một hình vuông MBCD. a) Tìm quỹ tích của điểm C khi M vạch nửa đường tròn (O). b) Trên tia Bx vuông góc với AB tại B và nằm cùng phía với nửa đường tròn, lấy điểm E sao cho BE = BO. Chứng minh OM ⊥ EC. Giải x A’ D M E C A O B a) Quỹ tích của C Thực hiện phép quay tâm B, góc quay -90 0: Q(B,-90 0): M C Do đó khi M vạch nửa đường tròn (O) đường kình AB thì C vạch nửa đường tròn (E), đường kình BA ’ là ảnh của nửa đường tròn (O) trong phép quay Q(B,-90 0). Vậy quỹ tích của C là nửa đường tròn (E) đường kính BA ’ với BA ’ = Q(B,-90 0)(BA). GIẢI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP QUAY 8 Bùi Văn Chi
9. b) Chứng minh OM ⊥ EC Trong phép quay Q(B,-90 0): O E M C Suy ra OM ⊥ EC. *Gợi ý vẽ đường phụ Vẽ tia Ax ⊥ AB và lấy trên đó điểm A ’ sao cho BA ’ = BA ’ ' 0 Khi đó BCA = BMA (c.g.c) ⇒ BCA= BMA = 90 Suy ra C ∈ đường tròn tâm E, đường kính BA ’. Tiếp tục chứng minh BOM = BEC, từ đó suy ra OM ⊥ EC. x A’ D M E C A O B GIẢI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP QUAY 9 Bùi Văn Chi
10. Bài toán 4 Cho góc nhọn xOy = ∝, M là điểm nằm trong góc. Hãy dựng đường tròn tâm M cắt các cạnh Ox, Oy theo các dây AB, CD sao cho AB + CD = m (m là số dương cho trước). Giải x B H A Q M O ∝ R ∝ P C D’ I I’ C’ D y +) Phân tích Gọi ∝ = (Oy,Ox ) . Giả sử đã dựng được đường tròn tâm M cắt Ox, Oy theo các dây AB, CD thỏa mãn các điều kiện bài toán: AB + CD = m (m > 0) Thực hiện phép quay tâm M, góc quay ∝ , ta có vị trí mới của CD là C ’D’ // AB và C’D’ là dây cung của đường tròn (M). Khi đó ABD ’C’ là hình thang cân. Gọi PQ là đường trung bình của hình thang cân ABD ’C’, ta có: AB+ C'D' AB + CD m PQ = = = . 2 2 2 GIẢI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP QUAY 10 Bùi Văn Chi
11. Đường thẳng PQ cắt đường trung trực chung của AB và D ’C’ là đoạn HI tại R là trung điểm của đoạn PQ. PQ m Ta có RP = RQ = = . 2 4 Từ đó suy ra cách dựng như sau: +) Cách dựng Quay cạnh Oy một góc ∝ với phép quay tâm M góc quay ∝, đường thẳng này // Ox. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với Ox tại H và đường thẳng song song với Ox tại I’. Từ trung điểm R của HI ’ vẽ đường thẳng song song với Ox, và trên đường thẳng này lấy hai điểm P, Q sao cho RP = RQ = m . 4 Từ Q vẽ đường thẳng ⊥ MQ tại Q, đường thẳng này cắt Ox tại B. Vẽ đường tròn tâm M bán kính MB ta được đường tròn cần dựng thỏa mãn các điều kiện bài toán. +) Chứng minh Theo cách dựng ta dễ dàng chứng minh được AB + CD = m +) Biện luận Bài toán có một nghiệm hình. *Gợi ý vẽ đường phụ Vẽ MI ⊥ Oy. Qua M kẻ tia MI ’ tạo với tia MI một góc bằng α và lấy trên đó điểm I ’ sao cho MI ’ = MI. Qua I ’ vẽ đường thẳng C’D’ ⊥ MI ’. Qua M kẻ đường thẳng ⊥ Ox tại H và ⊥ C ’D’ tại I ’. Gọi R là trung điểm của HI ’. Qua R kẻ đường thẳng ⊥ HI ’ và lấy trên đó hai điểm P, Q đối xứng qua M sao cho PQ = m/2. Qua Q vẽ đường thẳng ⊥ MQ, cắt Ox tại B. Vẽ đường tròn tâm M, bán kính MB. GIẢI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP QUAY 11 Bùi Văn Chi