Sáng kiến kinh nghiệm Giải phương trình vô tỉ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giải phương trình vô tỉ

1. a. đặt vấn đề. 1. Cơ sở lý luận. Mục đích của việc giảng dạy bộ môn Đại số THCS là: - Mở rộng khái niệm về số. - Biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số (hữu tỉ và vô tỉ). - Hàm số. - Phương trình. “Phương trình” là 1 trong 4 mục đích cần đạt của việc giảng dạy bộ môn Đại số THCS. Đây là một vấn đề xuyên suốt toàn cấp mang tính chất “kỹ thuật” có nhiều áp dụng thực tiễn. Khái niệm “phương trình” được hiểu một cách tường minh theo quan điểm hàm: là một đẳng thức f(x) = g(x), f và g là hai hàm số xét trên miền xác định chung mà ta phải tìm giá trị của biến số x sao cho giá trị tương ứng của hai hàm số bằng nhau. Có thể nói: “Tư tưởng của khái niệm là tư tưởng hàm, nội dung của khái niệm thể hiện ở kỹ thuật tìm nghiệm tức là ở việc giải phương trình. Do vậy biến số có tên là ẩn số nói lên phần nào nội dung của khái niệm”. Giải một phương trình là thực hiện liên tiếp các phép biến đổi tương đương phương trình đã cho để đi đến một phương trình đơn giản nhất: A(x) = B(x) x = a (nghiệm) Vì vậy dạy “phương trình” chủ yếu là làm cho học sinh nắm vững kỹ thuật giải phương trình(kỹ thuật tìm nghiệm) song không được coi nhẹ tư tưởng của phương trình là hàm số. 2. Cơ sở thực tiễn. Trong chương trình Đại số cấp 2, phương trình có dạng như: Phương trình bậc nhất một ẩn số ax + b = 0 (a ≠0). Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn số, phương trình bậc 2 một ẩn số ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Ngoài ra còn các phương trình quy về dạng chính tắc như: + Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
2. + Phương trình tích dạng: f(x).g(x) .h(x) = 0 + Phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ. + Phương trình quy về phương trình bậc hai. + Phương trình được đưa về phương trình bậc nhất. Trong chương trình Đại số lớp 9, việc tìm nghiệm của một phương trình có chứa ẩn số trong dấu căn(phương trình vô tỉ) đối với học sinh còn gặp những khó khăn như chưa trình bày được lời giải 1 phương trình một cách đầy đủ và chính xác, học sinh thường vi phạm một trong các sai lầm như: chưa tìm tập xác định của phương trình( điều kiện có nghĩa của phương trình) đã thực hiện các phép biến đổi phương trình như: bình phương hai vế, lập phương hai vế Hoặc khi chọn được nghiệm thì kết luận ngay không đối chiếu nghiệm với tập xác định để chọn nghiệm rồi kết luận. Học sinh thường bỏ qua các phép biến đổi tương đương một phương trình với một hệ điều kiện và trình bày phương trình rời rạc không theo một quy trình(Angôrit). Mặt khác, việc định dạng các phương trình thường gặp trong chương trình cũng như trong các tài liệu ôn tập tham khảo khác học sinh chưa có được cách giải phù hợp với từng dạng đó. Chỉ áp dụng máy móc như bình phương liên tục (nhiều lần) các phương trình làm cho việc trình bày lời giải dài dòng, thiếu hiệu quả. Hơn nữa, do thực tế của chương trình Đại số 9 việc giải phương trình vô tỉ cũng chỉ dừng ở những bài tập quen thuộc, đơn điệu nên nhiều giáo viên chủ quan, không đề cập cho học sinh những dạng phương trình vô tỉ khác sách giáo khoa và bài tập quy định, vì thế khi dự thi các kỳ thi học sinh giỏi nhiều học sinh không giải được các phương trình vô tỉ đòi hỏi vận dụng kiến thức trong chương trình. Để khắc phục những tình trạng nói trên, đồng thời nhằm giúp học sinh lớp 9 có được một cách nhìn nhận mới về các phương pháp giải một phương trình vô tỉ trên nền tảng các kiến thức cơ bản đã được trang bị của cấp học, qua đó giúp
3. các em trau dồi được những phẩm chất trí tuệ như: tính độc lập, linh oạt, sáng tạo trong quá trình giải toán, góp phần bồi dưỡng các em trở thành học sinh khá, giỏi bộ môn toán ở trường THCS. Tôi xin trình bày một số quan điểm của mình về giải một phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS dưới hình thức nêu ra một số cách giải các dạng phương trình vô tỉ. B. Nội dung I/ Các kiến thức cần chú ý khi giải một phương trình vo tỉ. 1. Khái niệm về phương trình vô tỉ: là một phương trình đại số có chứa ẩn số trong dấu căn. 2. Các phép biến đổi tương đương, không tương đương một phương trình. * Khái niệm về hai phương trình tương đương: Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm. - Chú ý: + Nếu phương trình này là hệ quả của phương trình và ngược lại thì hai phương trình đó tương đương.(phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) nếu S1  S2 với S1 là tập nghệm của (1); S2 là tập nghiệm của (2). + Mọi phương trình vo nghiệm đều được coi là tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là . a. Các phép biến đổi tương đương các phương trình: - Các định lý về biến đổi tương đương ở lớp 8. - Thực hiện biến đổi hằng đẳng ở từng vế của một phương trình không làm thay đổi TXĐ của chúng sẽ được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. b. Các phép biến đổi có thể dẫn tới hai phương trình không tương đương (dẫn tới một phương trình hệ quả). - Nhân hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn( có thể xuất hiện nghiệm lạ, nghiệm ngoại lai).
4. - Chia hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn số( có thể làm mất nghiệm của phương trình đầu). - Cộng vào hai vế của phương trình đã cho với cùng một phân thức. - Nâng hai vế của một phương trình lên cùng một luỹ thừa tự nhiên: m > 1 Nếu m chắn: thì khi nâng hai vế của f1(x) = f2(x) lên cùng một luỹ thừa chẵn thì phương trình mới nhận thêm nghiệm của phương trình f1(x) = - 2 2 f1 (x) f 2 (x) f2(x) vì: [f1(x)] = [f2(x)] f1 (x0 f 2 (x) Vì thế khi giải phương trình vô tỉ ta cần thử nghiệm vào phương trình đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai( phép bình phương hai vế của một phương trình có thể dẫn đến một phương trình hệ quả). 3. Những sai lầm thường gặp khi giải một phương trình vô tỉ. - Không đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa mà đã vội bình phương hai vế của phương trình. - Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương. - Khi tìm được nghiệm bỏ quên bước thử lại phương trình đầu hoặc chọn nghiệm thích hợp theo điều kiện đã đặt ra mà vội kết luận nghiệm cảu phương trình vô tỉ. Ví dụ: Khi gải phương trình: x 1 - 5x 1 = 3x 2 (1) Học sinh giải: x 1 = 5x 1 + 3x 2 (2) Bình phương hai vế: x 1 5x 1 3x 2 2 5x 1 3x 2 (3) Rút gọn: 2x 7 2 15x 2 13x 2 (4) Bình phương hai vế: 4 14 49x 2 4 15x 2 13x 2 (5) Rút gọn 11x 2 24x 4 0 2 x 11x 2 x 2 0 11 x 2
5. 2 Kết luận: x ; x 2 1 11 2 * Phân tich ssai lầm của học sinh: + Học sinh đã không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức là: x 1 x 1 0 1 5x 1 0 x x 1 3 3x 2 0 2 x 3 2 Nên giá trị x không là nghiệm của phương trình (1) 11 Để khắc phục sai lầm này phải tìm TXĐ của phương trình từ bước đầu tiên + Học sinh không đặt điều kiện để biến đổi tương đương nên (4) không tương đương (5) 2 7x 0 Phương trình (4) chỉ tương đương với hệ: 2 2 2 7x 4 15x 13x 2 Phương trình (5) là hệ quả của phương trình (4), nó chỉ tương đương với 2 (4) với điều kiện: 2 7x 0 x , do đó x 2 không là nghiệm của (1). 7 * Cách giải đúng: 2 + Cách 1: Sau khi tìm được x và x 2 thử lại vào phương trình ban 1 11 2 đầu, phương trình (1) không có nghiệm đúng. Vậy (1) vô nghiệm. + Cách 2: Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa x 1 (*) sau đó từ (4) 2 2 chuyển sang (5) đặt thêm điều kiện x ( ), đối chiếu các giá trị x và 7 1 11 x2 2 với (*) và ( ) ta thấy x1 và x2 không thoả mãn. Vậy (1) vô nghiệm. + Cách 3: Điều kiện x 1 x 5x x 1 5x 1 x 1 5x 1 0 3x 2 0 3x 2 0 Vế trái 0, vậy (1) vô nghiệm
6. * Nói chung để tránh sai lầm cho học sinh khi giải một phương trình vô tỉ ta nên hướng học sinh làm theo các bước sau: B1: Tìm TXĐ của phương trình (đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa). B2: Nâng hai vế phương trình lên cùng một luỹ thừa, nếu phương trình còn căn bậc hai thì đặt tiếp điều kiện, tiếp tục khử căn để đưa phương trình về dạng đã biết cách giải. B3: Thử nghiệm theo các điều kiện hoặc theo phương trình đầu suy ra kết luận nghiệm. II/ Các phương pháp giải phương trình vô tỉ. 1. Sử dụng các phép biến đổi tương đương. a. Dạng: f x A (A là một số hoặc một biểu thức đã biết) (1) * Công thức giải: A 0 f x A 2 f x A (2) ở phương pháp này ta đã biến đổi tương đương phương trình đã cho f x A với một hệ hỗn hợp, như vậy nghiệm của (2) chính là nghiệm của (1). Do vậy ta chỉ giải hệ (2) rồi kết luận nghiệm của (1). Cơ sở của phương pháp này là dựa vào khái niệm căn bậc hai số học của f x 0 . * Chú ý: Khi A< 0 ta kết luận ngay phương trình f x A vô nghiệm. * Ví dụ: Khi giải phương trình x 2 3x 2 ta giải như sau: x 2 3x 2 x 2 3x 4 x 2 3x 4 0 x 1 0 x 1 x 1 x 4 0 x 4 0 x 4 Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1; x2 = -4 ở phương trình trên không cần thiết phải đặt điều kiện x 2 3x 0 vì (1)  với (2) trong đó f x A2 f x 0 .
7. b. Dạng: f x g x * Công thức giải: g x 0 f x g x 2 f x g x  * Ví dụ: Giải phương trình x 2 3x 11 2x 1 (1) 1 2x 1 0 2x 1 x Ta có (1) 2 2 2 2 x 3x 11 2x 1 3x x 10 0 2 3x x 10 0(*) 5 Giải (*) ta có: x ; x 2 1 3 2 1 x 2 5 5 5 x Vậy (1) có nghiệm là x x 3 3 3 x 2 * Chú ý: Kh chỉ ra được g(x) < 0 ta kết luận ngay phương trình vô nghiệm. Ví dụ: Giải phương trình x 2 3x 5 x 2 3 (*) Vì x 2 0 x 2 3 3 0 x 2 3 0vậy (*) vô nghiệm. c. Dạng: f x g x * Công thức giải: f x 0 f x g x g x 0 f x g x * Ví dụ: Giải phương trình 3x 1 2 2 x (1) 1 x 3x 1 0 3 Ta có (1) 2 x 0 x 2 x 1 3x 1 4 2 x x 1 Kết luận: phương trình có nghiệm x=1
8. d. Dạng: f x h x g x (1) f x h x g x * Cách giải phương trình (1): - B1: Tìm điều kiện cho (1) có nghĩa (TXĐ). (*) - B2: Bình phương hai vế của (1) 1 (1) f x h x g x 2 f x h x  (2) 2 - B3: Đặt điều kiện mới cho (2): g x 2 f x h x 0 ( ) Bình phương hai vế của (2) đưa về một phương trình (3) đã biết cách giải. - B4: Giải (3), chọn nghiệm thoả mãn (*) và ( ) => Kết luận nghiệm. * Ví dụ: Giải phương trình x 3 5 x 2 (1) (1) x 3 x 2 5 (2) x 3 0 x 3 Điều kiện: x 2 (*) x 2 0 x 2 Với x 2 hai vế không âm, bình phương hai vế của (2) rồi thu gọn ta có phương trình: x 2 x 6 12 x (3) 12 x 0 x 12 x 12 (3) x 6 2 2 x x 6 12 x 25x 150 x 6 x = 6 thoả mãn (*) và ( ). Vậy phương trình có nghiệm là x= 6 * Chú ý: Với phương trình thuộc dạng (1), khi phương trình đã cho chưa ở dạng f x h x g x mà như ở ví dụ trên, ta nên biến đổi tương đương phương trình đã cho về dạng (1), không nên để nguyên phương trình mà bình phương hai vế vì cho dù có điều kiện để phương trình có nghĩa nhưng phép biến đổi không tương đương (do hai vế x 3 và 5 x 2 không đồng thời lớn hơn hoặc bằng 0). Cách giải phương trình dạng f x h x g x hoàn toàn tương tự.