Sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

1. Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU trang 02 I. Lí do chọn đề tài trang 02 II. Đối tượng nghiên cứu trang 03 III. Phạm vi nghiên cứu trang 03 IV. Phương pháp nghiên cứu trang 03 B. NỘI DUNG trang 06 I. Cơ sở lí luận trang 06 II. Cơ sở thực tiễn trang 07 III. Giải quyết vấn đề trang 09 C. KẾT LUẬN trang 21
2. Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử II- ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Các giải pháp rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. III- PHẠM VI NGHIÊN CỨU: -Không gian: Học sinh lớp 8/1 Trường PTDTBT THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm -Thời gian: 3 giai đoạn trong năm học 2018 – 2019 Giai đoạn 1: Từ tháng 9 đến khảo sát chất lượng đầu năm Giai đoạn 2: Từ tháng 11/ 2018 đến thi học kì I Giai đoạn 3: Từ tháng 01/ 2019 đến giữa học kì II. IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 1. Đọc tài liệu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn có liên quan + Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập, vở bài tập. + Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông. + Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán. + Đổi mới phương pháp dạy học toán. + Tổng hợp kiến thức Toán 8 THCS. + Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8.  Chọn lọc kiến thức phù hợp với đơn vị. Học hỏi các giải pháp hay đã áp dụng để tích lũy kinh nghiệm. 2. Điều tra: a.Dự giờ: - Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ. - Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ. Qua đó, tôi luôn chú ý đến phương pháp giảng dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đó
3. Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử - Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực hành ngay tại lớp, để thực hiện được điều đó giáo viên phải giúp học sinh cũng cố kiến thức ngay tại lớp qua các bài tập và các ?/SGK nhằm giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản một cách sâu sắc từ đó hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh. Đồng thời giáo viên phải chú trọng bước hướng dẫn học sinh tự học ở nhà để học sinh củng cố lại kiến thức đã học và vận dụng giải các bài tập ở nhà tạo thói quen tự học cho học sinh. e.Theo dõi các bài kiểm tra: - Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình, khá, giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng. Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích hợp cho từng đối tượng học sinh. g.Giả thiết khoa học. - Qua các nội dung chương trình Sách giáo khoa, nếu tổ chức dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh và kết hợp với các tiết luyện tập, ôn tập khắc sâu bằng bài học kinh nghiệm hợp lí có thể góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn.
4. Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mở rộng thêm các cách giải khác nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn của học sinh. II- CƠ SỞ THỰC TIỄN: - Trong quá trình giảng dạy với lượng thời gian theo phân phối chương trình chỉ có 6 tiết từ tuần 5 cho đến tuần 7 nên khi học dạng toán này đa số học sinh còn rất lúng túng trong việc áp dụng phương pháp, đối với học sinh khá giỏi còn nhiều vấn đề chưa được đề cập đến. Do đó kết quả qua các bài kiểm tra của học sinh còn thấp, còn nhiều học sinh yếu, kém, số lượng học sinh giỏi thấp. - Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy tình trạng của học sinh khi giải toán như sau: + Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ? Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học. + Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau. + Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic. - Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa số học sinh chưa có kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau : Đối với giáo viên : Trong tiết dạy giáo viên thường phối hợp nhiều phương pháp đễ dẫn dắt học sinh tìm hiểu kiến thức nhưng nội dung bài học nhiều không đảm bảo được thời lượng 45 phút nên chưa có được phương pháp giải bài tập cụ thể cho từng loại đối tượng học sinh. Đối với phụ huynh:
5. Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử III- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: PHẦN 1: CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI - Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản. - Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử. 1) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản + Phương pháp đặt nhân tử chung + Phương pháp dùng hằng đẳng thức + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử 2) Đối với học sinh trung bình: Vận dụng và phát triển kỹ năng + Phối hợp nhiều phương pháp ( các phương pháp trên) Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán. Cũng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kỹ năng thực hành. Tìm cách giải hay, khai thác bài toán. 3) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy + Phương pháp tách hạng tử + Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I- Các phương pháp cơ bản: Củng cố kiến thức cơ bản 1) Phương pháp đặt nhân tử chung: Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. A.B + A.C = A ( B + C). Cách làm: + Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số). + Tìm nhân tử chung của các biến (lấy với số mũ nhỏ nhất).
6. Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2 = ( x – y) [9x + 10( x – y)] = ( x – y)(19x – 10y). Sai lầm: - Thực hiện đổi dấu sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2 - Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và ( y – x)2 của tích – 10( y – x)2 Vì – 10( y – x)2 = - 10( y – x)( y –x). Cách giải đúng: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) - 10( x - y)2 = ( x – y) [9x - 10( x – y)] = ( x – y)(10y – x). Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh: - Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử. - Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích. 2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức. * Học sinh cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ sau: 1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B ) 4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) 7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
7. Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức. Cách làm: + Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm. + Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. + Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức. VD6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. Cách 1: ( x2 – xy ) + ( x – y ) Cách 2: ( x2 + x ) - ( xy + y ) Cách giải sai: x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y ) = x( x – y ) + ( x – y ) = ( x – y )( x + 0) Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung. Cách giải đúng: x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y ) = x( x – y ) + 1.( x – y ) = ( x – y )( x + 1) VD7: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử. Giải: x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – ( 2y )2 = ( x – 1 )2 – ( 2y )2 = ( x – 1 + 2y ) ( x – 1 – 2y ) VD8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
8. Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử x4 – 9x3 + x2 – 9x = x( x3 – 9x2 + x – 9 ) = x[(x3 – 9x2 ) + ( x – 9 )] = x[x2( x – 9 ) + 1. ( x – 9 )] = x( x – 9 )(x2 + 1) VD10: Phân tích đa thức A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử. Gợi ý: Aùp dụng hằng đẳng thức: ( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = A3+ B3 + 3AB( A + B) A3+ B3 = ( A + B )3 – 3AB( A + B) Giải: A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 = [( x + y ) + z]3 – x3 – y3 – z3 = ( x + y )3 + z3 + 3z( x + y )( x + y + z ) – x3 – y3 – z3 = [( x + y )3 – x3 – y3 ] + 3z( x + y )( x + y + z ) = 3xy( x + y ) + 3( x + y)( xz + yz + z2 ) = 3( x + y )( xy + xz + yz + z2 ) = 3( x + y )( y + z )( x + z ) Khai thác bài toán: 1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên. 2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz Hướng dẫn: x3 + y3 = ( x + y )3 – 3xy( x + y ) x + y + z = 0 x + y = - z III- Các phương pháp đặc biệt: Phát triển tư duy 1)Phương pháp tách hạng tử:
9. Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử = ( x – 2 )( 3x – 2 ) * Nhận xét: - Cách 1: Tách hạng tử 3x2 làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. - Cách 2: Tách hạng tử - 8x làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau từ đó xuất hiện nhân tử chung ( x – 2 ). - Cách 3: Tách hạng tử 4 làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung. Như vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là khâu quan trọng và cần thiết đối vối học sinh trong việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Khai thác cách giải: Tách hạng tử - 8x Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 có các hệ số ở các số hạng là: 3, -6, -2, 4 tỉ 6 4 lệ với nhau hay (-6).(-2) = 3.4 và (-6) + (-2) = -8 3 2 f(x) = 3x2 – 8x + 4 Đặt a = 3, b = -8, c = 4 và phân tích a.c = b1.b2 ( b = b1 + b2 ) Ta có: a.c = b1.b2 = 3.4 = (-6).(-2) = 12; b1 + b2 = (-6) + (-2) = -8. Tổng quát: + Tìm tích ac. + Phân tích ac thành tích hai số nguyên. + Chọn hai thừa số có tổng bằng b. VD12: Phân tích đa thức f(x) = - 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử. Đặt a = -6, b = 7, c = -2 + a.c = (-6).(-2) = 12;
10. Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử Cách làm: Phải thêm bớt cùng một hạng tử nào đó để đa thức chuyển về dạng hiệu hai bình phương hoặc áp dụng phương pháp nhóm. VD14: Phân tích đa thức f(x) = x4 + 4 thành nhân tử. Giải: f(x) = x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = ( x2 + 2 )2 – ( 2x )2 = ( x2 + 2 + 2x ) ( x2 + 2 – 2x ). Khai thác bài toán: - Thay “ 4 ” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán mới: f(x) = x4 + 64y4 Hướng dẫn: f(x) = x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) - 16 x2y2 = ( x2 + 8y2 )2 – ( 4xy )2 = ( x2 + 8y2 + 4xy )( x2 + 8y2 – 4xy ). - Thay “ 4 ” thành “ 64 ”, ta có bài toán mới: f(x) = x4 + 64 Hướng dẫn: f(x) = x4 + 64 = x4 + 16x2 + 64 – 16x2 = ( x2 + 8 )2 – ( 4x )2 = ( x2 + 8 + 4x )( x2 + 8 – 4x ). VD15: Phân tích đa thức f(x) = x4 + x2 + 1 thành nhân tử. Giải:
11. Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử - Việc giải bài toán theo các định hướng trên tạo cho học sinh thói quen học tập, biết quan sát và nhận dạng bài toán, có cách nhận xét bài theo quy trình nhất định từ đó biết lựa chọn phương pháp giải thích hợp vận dụng cho từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải tóan, rèn khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. 2)Kết quả: Các biện pháp trên góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh được thống kê qua các giai đoạn như sau: Học sinh có kỹ năng Học sinh chưa có kỹ THỜI ĐIỂM giải bài toán năng giải bài toán SL TL SL TL Từ tháng 9 đến KSCL 19 45,2% 23 54,8% đầu năm Từ tháng 11 đến thi HKI 25 59,5% 17 40,5% Từ tháng 01- 2019 đến 33 78,6% 9 21,4% giữa HKII Tóm lại: Trước khi áp dụng phương pháp trên tôi nhận thấy nhiều học sinh nhìn nhận giải quyết bài toán chưa đúng, chưa biết quan sát để thấy được đặc điểm của đề bài, chưa nắm được phương pháp giải từng dạng toán. Cho nên nhiều học sinh làm bài còn mơ hồ, trình bày không khoa học thiếu tính logíc, kỹ năng biến đổi còn hạn chế và chưa biết tự kiểm tra kết quả. Qua thực tế giảng dạy từ khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán ở dạng bài tập này. Phương
12. Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử C- KẾT LUẬN 1)Bài học kinh nghiệm: - Đối với học sinh yếu, kém: Là một quá trình liên tục củng cố và rèn luyện các kỹ năng để vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải toán. Giáo viên cần cho học sinh thực hành theo bài tập mẫu với các bài tương tự từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên cho học sinh làm các bài tập khác với nội dung của SGK. - Đối với học sinh trung bình: Cần chú ý cho học sinh nắm chắc các phương pháp cơ bản, kỹ năng biến đổi và vận dụng các phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể từ đó rèn luyện khả năng tự học, chủ động chiếm lĩnh kiến thức mới. - Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, giáo viên cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác thông qua các bài tập dạng nâng cao giúp học sinh vận dụng thành thạo kỹ năng biến đổi, linh hoạt trong lựa chọn các phương pháp. Qua đó kích thích óc tìm tòi, sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho học sinh. - Đối với giáo viên: Phải định hướng và vạch ra những dạng toán giúp học sinh tìm ra các phương pháp giải hợp lý từ đó nắm vững các dạng toán, rèn kỹ năng phân tích từng dạng bài tập. Thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong chương trình đại số 8 đã đề cập ở trên. Đồng thời giáo viên phải tạo ra không khí tích cực trong khi giải bài tập đối với mọi đối tượng học sinh. Muốn vậy giáo viên cần tác động đến từng đối tượng sao cho phù hợp. Chẳng hạn đối