Sáng kiến kinh nghiệm Giải một bài toán quỹ tích như thế nào?

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giải một bài toán quỹ tích như thế nào?

1. Trường THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên Giải một bài toán quỹ tích như thế nào? PHầN I: Đặt vấn đề Trong chương trình sách giáo khoa chỉnh lí của môn hình học, không những chỉ có từ quỹ tích được sử dụng trở lại mà các kiến thức về quỹ tích cũng đã được trả về vị trí xứng đáng của nó. Điều này cũng có lí do chính đáng. Không thể phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng to lớn của quỹ tích trong việc rèn luyện tư duy toán học nói riêng và đối với việc rèn luyện tư duy linh hoạt nói chung, một phẩm chất rất cần thiết cho các hoạt động sáng tạo của con người. Tuy vậy, cũng phải nhận rằng đây cũng là phần khó, nếu không muốn nói là khó nhất của chương trình, khó đối với học sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp, và càng khó hơn trong việc vận dụng các phương pháp ấy vào việc giải bài tập. Đối với các thầy, cô giáo dạy toán thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng phân tích, dẫn giải để giúp cho học sinh hiểu được một cách rõ ràng, nắm chắc chắn những gì mà thầy cô giáo muốn truyền đạt cho học sinh. Bài toán quỹ tích được chính thức giới thiệu ở chương III- Góc với đường tròn - trong phần hình học lớp 9, còn gọi là bài toán tìm tập hợp điểm mà các học sinh khá giỏi đã được làm quen ở lớp 8 với các kiến thức thuộc chương trình hình học lớp 7 và lớp 8. Khi gặp dạng toán quỹ tích học sinh giải toán rất kém, nhiều học sinh khá cũng không biết bắt đầu giải bài toán như thế nào? Học sinh giải các bài toán quỹ tích còn nhiều hạn chế. Vì: - Nhiều giáo viên quen với việc sử dụng các phương pháp truyền thống, thiên về diễn giải lý thuyết mà ít chú ý tới việc phải đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề, phù hợp với nội dung bài toán để đưa các em vào hoạt động rèn luyện kỹ năng tư duy không gian. Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 1 -
2. Trường THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên - Một số giáo viên có áp dụng phương pháp mới, đưa ra các tình huống có vấn đề để hướng học sinh giải quyết nhưng không giúp học sinh hình thành kỹ năng phân tích và giải bài toán quỹ tích. Trong chương trình hình học lớp 7 và 8 học sinh đã được làm quen với một số bài toán quỹ tích cơ bản. Việc giải bài toán quỹ tích chỉ dừng lại ở phần tìm quỹ tích các điểm thoả mãn một điều kiện nào đó (phần thuận), nhưng việc giải bài toán quỹ tích ở lớp 9 được trình bày theo ba phần: Phần thuận (và tìm giới hạn quỹ tích), phần đảo, phần kết luận. Xuất phát từ thực tế dạy học, tôi thấy cần thiết phải nghiên cứu dạng toán này. Trước hết là để xây dựng cho mình một phương pháp dạy học đạt kết quả tốt. Sau nữa, tôi mong rằng sau bài viết này, các giáo viên đang giảng dạy môn toán ở chương trình THCS có thể tham khảo và áp dụng. Trong bài viết này, tôi cố gắng trong phạm vi có thể trình bày việc giải các bài toán quỹ tích trên cơ sở phân tích các thao tác tư duy để đi đến lời giải. bằng cách này, tôi hy vọng sẽ giúp học sinh tự mình xây dựng được các kĩ năng, tích luỹ được các kinh nghiệm giải toán, và trong một chừng mực có thể nêu nên các phương pháp giải toán. Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 2 -
3. Trường THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên PHầN II- Nội dung nghiên cứu 1. Định nghĩa quỹ tích. Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất (hay tập hợp của những điểm M có tính chất ) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất . Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất là một hình (H) nào đó, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình (H). Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất . Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất là hình (H). 2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tích. Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên tiếp các mệnh đề toán học. Nhưng khác với các bài toán chứng minh hình học, trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho được cái ta cần phải chứng minh. Những thao tác tư duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hướng được suy nghĩ, hình dung ra được quỹ tích cần tìm là một hình như thế nào và trong một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới hạn v.v như thế nào? Dưới đây tôi xin trình bày kĩ những thao tác tư duy chuẩn bị cơ bản nhất. 2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bài toán. GV cần chỉ cho HS biết trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng: a) Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm. b) Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 3 -
4. Trường THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”. c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích. Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB. GV: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán, dẫn dắt học sinh tìm hướng giải bằng hệ thống các câu hỏi như: - Trong bài toán này thì yếu tố cho trước (tức yếu tố cố định) là gì? + HS: Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy. - Yếu tố không đổi là gì? + HS: Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB. - Yếu tố thay đổi trong bài toán là gì? + HS: Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B. - Nếu A, B thay đổi thì yếu tố nào sẽ thay đổi theo? + HS: Do đó kéo theo trung điểm M của AB cũng thay đổi. GV lưu ý học sinh: Cần chú ý là trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu tố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi. Do vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố nào liên quan đến cách giải của ta mà thôi. ở bài toán trên ta chỉ quan tâm đến độ dài AB không đổi, khoảng cách giữa M với A, B không đổi nhưng vị trí của M sẽ thay đổi theo A, B. Cũng cần cho HS biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúc nào cũng được cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải được hiểu một cách linh hoạt. Chẳng hạn khi nói: “Cho một đường tròn cố định ” thì ta hiểu rằng tâm của đường tròn là một điểm cố định và bán kính của đường tròn là một độ dài không đổi, hay như trong ví dụ 2 sau đây. Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 4 -
5. Trường THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên Ví dụ 2: Cho một đường thẳng b và một điểm A cố định không thuộc đường thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng b sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C. Trong ví dụ này HS dễ dàng thấy: + Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b. + Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C. - Vậy còn yếu tố không đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác ABC. Nếu dừng lại ở khái niệm chung là hình dạng không đổi (tự đồng dạng) thì HS không thể giải được bài toán. Do vậy, GV phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC luôn tự đồng dạng ra như sau: AC - Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn là một số AB không đổi. Như vậy HS hiểu, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để tìm được những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp cho việc tìm ra cách giải bài toán. 2.2 Đoán nhận quỹ tích Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khi còn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa. Để đoán nhận quỹ tích GV hướng dẫn HS là thường phải tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp HS hình dung được hình dạng quỹ tích. - Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng. - Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn. GV làm sáng tỏ điều này cho HS trong ví dụ sau: Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 5 -
6. Trường THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM. Tìm tập hợp các điểm N. GV: Hướng dẫn HS đoán nhận - Khi M B thì độ dài đoạn BM bằng bao nhiêu? - HS: Độ dài BM bằng 0. - Khi đó kéo theo độ dài AN bằng bao nhiêu? Vị trí điểm N ? - HS: Do vậy AN = 0 hay N A. - Từ đó em rút ra nhận xét gì? - HS: Vậy A là một điểm của quỹ tích. - Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, hãy so sánh IA và IB? - HS: Do AI=BI nên N I. Vậy I là một điểm của quỹ tích. - Khi M A thì dây cung AM có vị trí như thế nào với đường tròn? - HS: Tiếp xúc với đường tròn tại A. - GV: Như vậy, Khi M A thì dây cung AM đến vị trí của tiếp tuyến At với đường tròn tại điểm A và do BM=BA nên điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B’ trên tiếp tuyến At sao cho AB’=AB=2R; B’ là một điểm của quỹ tích. - Qua 3 vị trí của các điểm thuộc quỹ tích, em hãy dự đoán hình dạng của quỹ tích điếm N? t' B' I M N A O B Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 6 -
7. Trường THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên - HS: Do 3 điểm A, I, B’ không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm N sẽ nằm trên đường tròn đi qua 3 điểm A, I, B’, tức là đường tròn đường kính AB’. Ví dụ 4: Cho góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên Ox, một điểm B chạy trên Oy. Người ta dựng hình chữ nhật OAMB. Tìm tập hợp điểm M sao cho chu vi hình chữ nhật OAMB bằng một độ dài 2p cho trước. Đoán nhận quỹ tích y D Dễ thấy MA +MB = p B M Khi A O thì B D trên Oy, mà OD = p Khi B O thì A C trên Ox, o A C x mà OC = p. Dự đoán tập hợp của M là đoạn thẳng CD. Ví dụ 5: Cho một góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Một góc vuông tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox ở B và Az cắt Oy ở C. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng BC. Dự đoán quỹ tích y A M1 - Khi B O thì điểm C sẽ dần đến vị trí điểm C1 thuộc C z M Oy và điểm M đến vị trí M1 O x B M2 sao cho M1O=M1C1=M1A t M1 nằm trên đường trung trực của OA. - Khi C O thì điểm B sẽ dần đến vị trí B1 thuộc Ox và điểm M đến vị trí M2 sao cho M2O=M2B1=M2A M2 nằm trên đường trung trực của OA. Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 7 -