Sáng kiến kinh nghiệm Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giải bài toán bằng cách lập phương trình

1. Lời nói đầu Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở chương trình đại số các lớp 8 và 9 ở trường trung học cơ sở là một dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Do đặc trưng của loại này thường là loại toán có đề bài bằng lời văn và thường được xen trộn nhièu dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, vật lý). Hầu hết các bài toán có các dự kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đến việc lập phương trình hoặc hệ phương trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải toán là giải phương trình. Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì đến lớp 8 học sinh mới được học về khái niệm phương trình và các phép biến đổi tương đương các phương trình. Nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tuỳ theo từng đối tượng học sinh. ở lớp 1, 2 phương trình được cho dưới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống:  - 2 = 5 ở lớp 3 được nâng dần dưới dạng: x + 3 – 2 = 10 ở lớp 4, 5, 6 cho dưới dạng phức tạp hơn như: x : 3 = 4 : 2 x . 3 + 5 = 11; (x – 15). 7 = 21 ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ như trên bài toán còn cho dưới dạng lời văn có các dữ kiện kèm theo. Vì vậy muốn giải được loại toán này học sinh phải suy nghĩa để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phương trình (hệ phương trình). Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly thực tế Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặt khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu
2. trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải loại toán này. Chính vì vậy, muốn giải bài toán bằng các lập phương trình hay hệ phương trình thì điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ cho trong bài thành những quan hệ toán học. Do vậy, nhiệm vụ của người thầy giáo không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy cho học sinh cách giải bài tập. Do đó khi hướng dẫn cho học sinh giải loại toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lượng (tăng, giảm, thêm, bớt ) làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng, dẫn đến lập được phương trình dễ dàng. Đây là bước quan trọng và khó khăn đối với học sinh. Trong thời gian giảng dạy ở trường trung học cơ sở, qua học hỏi kinh nghiệm của các thầy giáo lớp trước và các đồng nghiệp trong nhóm là đề tài này. Được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Trịnh Khang Thành, tôi mạnh dạn viết đề tài này với mong muốn được trao đổi cùng với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”. Nội dung chính của đề tài gồm: Chương I: Phương pháp nghiên cứu và yêu cầu về giải một bài toán. Chương II: Phân loại các bài toán và các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình. Chương III: Những loại toán và hướng dẫn học sinh giải. Chương IV: Phần thực nghiệm. Do trình độ có hạn nên đề tài này không tránh được những sai sót rất mong các thầy giáo lượng thứ và chỉ bảo để bản thân tôi rút được kinh nghiệm trong giảng dạy và áp dụng. ngày tháng năm 200 Tác giả
3. Chương I Phương pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán I. Phương pháp nghiên cứu: Dựa vào phân phối chương trình chung của Bộ giáo dụ - đào tạo ban hành về chương trình toán bậc THCS ở lớp 8 có tất cả 25 tiết nghiên cứu về phương trình bậc nhất một ẩn và giải bài toán bằng cách lập phương trình. ở lớp 9 có 36 tiết nghiên cứu về phương trình bậc hai một ẩn. Trong chương trình sách giáo khoa ở cả hai lớp trên có 74 bài tập. Một trong các phương pháp hướng dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa vào quy tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Nội dung quy tắc gồm các bước: Bước 1: Lập phương trình (gồm các công việc) - Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn. - Dùng ẩn số và các số đã biết, đã cho trong bài toán để biểu thị số liệu khác nhau có liên quan, diễn giải các bộ phận hình thành phương trình (hệ phương trình). Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) Tuỳ thuộc vào từng dạng phương trình mà chọn cách giải cho thích hợp và ngắn gọn. Bước 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời. - Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không? sau đó trả lời kết quả (có kèm theo đơn vị). Mặc dù đã có quy tắc trên xong người giáo viên trong quá trình hướng dẫn giải loại toán này cần cho học sinh vận dùng theo sát yêu cầu về giải một bài toán nói chung.
4. II. Yêu cầu về giải một bài toán. 1. Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ. Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không sai sót về kiến thức, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn. Phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn số và xem xét đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn đã hợp lý chưa. Ví dụ 1: (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 1995 – 1996) Tỷ số giữa tuổi em và tuổi anh bằng 0,5. Sau 3 năm nữa tỷ số sẽ tăng thêm 0,1. Hỏi tuổi anh và em hiện nay? Nếu gọi tuổi em là x(x > 0, x N). Nếu tuổi em là x thì tuổi anh là 2x (phân tích). x 3 Theo bài ra ta có phương trình: 0,5 0,1 0,6 2x 3 x + 3 = 0,6 (2x + 3) x = 6 (thoả mãn điều kiện đã đặt) => Tuổi em hiện nay là 6, tuổi anh là 12. 2. Yêu cầu 2: Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình thực hiện từng bước có logic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải chú ý đến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập được phương trình (hệ phương trình) từ đó tìm được giá trị của ẩn số. Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn số? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? điều kiện có đủ để xác định được ẩn không? Từ đó mà xác định được hướng đi, xây dựng được cách giải.
5. Ví dụ 2: (Toán phát triển đại số 9 – 1996 – Nguyễn Ngọc Đạm – Trương Công Thành – NXB Giáo dục). Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m2. Hướng dẫn: ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật, học sinh thường có xu thế bài toán hỏi gì thứ gọi đó là ẩn số. Nếu gọi chu vi của hình chữ nhật là ẩn số thì bài toán đi vào bế tắc khó có lời giải. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề. Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần gì? => (cạnh hình chữ nhật). Từ đó gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (x> 0). Từ đó ta có phương trình. x(x + 4) = 1200 x2 + 4x + 1200 = 0 Giải phương trình ta có: x1 = 30 x2 = -34 Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x2 chỉ lấy x1 = 30 => chiều dài là 30 + 4 = 34 và chu vi là: 2(30 + 34) = 128m (ở bài toán này nghiệm x2 = - 34 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài hình chữ nhật, học sinh dễ mắc sai sót coi đó cũng là kết quả của bài toán. 3. Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Hướng dẫn học sinh không được bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhưng cũng không thiếu. Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đã đầy đủ chưa? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp với mọi cái nói chung. Nếu thay đổii điều kiện bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt thì kết quả vẫn luôn luôn đúng. Ví dụ 3: (Bài ôn luyện toán 9 – NXB Hà Nội) Một tam giác có chiều cao bằng ắ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy.
6. Lưu ý học sinh: Dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy của tam giác thì diện tích (S) của nó luôn được tính theo công thức: S = 1 (cạnh đáy . chiều cao) 2 Từ đó gọi chiều dài cạnh đáy (lúc đầu) là x(x > 0, dm) thì chiều cao sẽ là 3 x (lúc đầu). 4 => S lúc đầu là 1 x . 3 x 2 4 => S sau là: 1 (x-2) . ( 3 x + 3) 2 4 1 3 Theo bài ra ta có phương trình: (x 2). x 3 2 4 Giải phương trình ta tóm được: x = 20 thoả mãn điều kiện => chiều cao của tam giác là 3 x 20 = 15dm 4 4. Yêu cầu 4: Lời giải bài toán phải đơn giản Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên. Không sai sót, có lập luận, mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm được. Ví dụ 4: (Bài toán cổ) Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Một trăm chân chẵn. Hỏi có mấy gà, mấy chó? Với bài toán này nếu giải như sau:
7. Gọi số gà là x(x>0), x N) thì số chó là 36x – x. Gà có 2 chân => Số chân gàn là 2x chân Chó có 4 chân => Số chân chó là 4(36 – x) chân Theo bài ra ta có phương trình: 2x + 4(36 – x) = 100 Giải ra ta có: x = 22 => gà = 22 con => số chó có là 36 – 22 = 14 con Thì bài toán ngắn gọn dễ hiểu. Nhưng học sinh giải theo cách dùng 2 ẩn (x, y) hoặc gọi số chân gàn là x => số chân chó là 100 – x. x 100 x => Phương trình: 36 2 4 Kết quả cũng là gàn 22 con, chó 14 con nhưng đã vô tình biến bài giải khó hiểu hơn hay không hợp với trình độ của học sinh. 5. Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học. Đó là lưu ý đến mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải logic, chặt chẽ với nhau, các bước sau được suy ra từ các bước trước nó, đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng, hoặc những điều đã biết từ trước. Ví dụ 5: (Toán phát triển đại 9 – Nguyễn Ngọc Đạm – Trương Công Thành – NXB Giáo dục 1996). Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành 2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác. A h B C b' H c’ Theo hình vẽ’ ta có: Bài toán yêu cầu tìm độ dài BC khi đã biết AH. Trước khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức h2 =b’.c’ AH2 = BH . HC.