Sáng kiến kinh nghiệm Dùng máy tính cầm tay giải nhanh một số dạng toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Dùng máy tính cầm tay giải nhanh một số dạng toán

1. ax b Tính các nguyên hàm, tích phân hữu tỉ dạng: dx (x x1 )(x x2 ) Đây là tích phân rất cơ bản và thường gặp phải xử lý để đi tính các tích phân khác phức tạp hơn. Cơ sở : ax b A B Đặt (x x1 )(x x2 ) (x x1 ) (x x2 ) Khi đó : ax b = A (x x2 ) + B (x x1) A B a Nên ta luôn luôn có hệ PT : x2 A x1B b Từ đó chỉ cần bấm MTCT giải hệ PT 2 ẩn với các hệ số : 1 1 a -x2 -x1 b dễ dàng tìm được A, B và đi đến lời giải ngắn gọn: Ta có : ax b A B dx = dx dx (đến đây giải được dễ dàng) (x x1 )(x x2 ) (x x1 ) (x x2 ) Như vậy ta có thể giúp học sinh dùng MTCT rút ngắn quá trình giải dạng tích phân này không cần phải trình bày cả quy trình đồng nhất 2 vế khi đặt: ax b A B (x x1 )(x x2 ) (x x1 ) (x x2 ) Các ví dụ minh họa: 1 Ví dụ 1: Tính dx x 2 7x 12 1 1 Giải : Ta có dx dx dx dx x 2 7x 12 (x 3)(x 4) x 3 x 4 Bấm MTCT giải hệ 2 ẩn với các hệ số 1 1 0 -4 -3 1 Kết quả : nghiệm -1 và 1 Ghi vào bài giải : 1 1 1 1 Ta có dx dx dx dx x 2 7x 12 (x 3)(x 4) x 3 x 4 = ln x 3 ln x 4 C 2x 5 Ví dụ 2: Tính dx x 2 2x 24 Tương tự Bấm MTCT giải hệ 2 ẩn với các hệ số 1 1 2 -4 6 5 Kết quả : nghiệm 7/10 và 13/10 Ghi vào bài giải : 7 13 2x 5 2x 5 Giải : Ta có dx dx 10 dx 10 dx (Đi đến kết quả) x 2 2x 24 (x 6)(x 4) x 6 x 4 Nhận xét : Trường hợp học sinh viết ngược lại:
2. 2x 5 2x 5 Ta có dx dx dx dx x 2 2x 24 (x 6)(x 4) x 4 x 6 Bấm MTCT giải hệ 2 ẩn với các hệ số 1 1 2 6 -4 5 Kết quả : nghiệm 13/10 và 7/10 6x 7 Ví dụ 3: Tính dx 2x 2 5x 2 (HD học sinh bấm MTCT giải PT bậc 2 tìm 2 nghiệm của mẫu) Bấm MTCT giải hệ 2 ẩn với các hệ số 1 1 -6 -2 -1/2 7 Kết quả : nghiệm -8/3 và 10/3 Ghi vào bài giải : 8 10 6x 7 1 6x 7 1 Giải : Ta có dx dx 3 dx 3 dx 2x 2 5x 2 2 1 2 1 x 2 (x )(x 2) x 2 2 2x 1 Ví dụ 4: Tính dx (3x 5)(4x 3) 2x 1 Giải : Ta có dx dx dx (3x 5)(4x 3) 3x 5 4x 3 Ví dụ này tổng quát hơn nhưng cũng bằng cơ sở tương tự như trên, ta cũng dễ dàng có các hệ số của hệ PT 2 ẩn:432 -3 5 1 Từ đó có lời giải: 2x 1 Giải : Ta có dx dx dx (3x 5)(4x 3) 3x 5 4x 3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP BẰNG MODE TABLE Ý tưởng : Nghiệm của các phương trình, bất phương trình tổ hợp, chỉnh hợp là số nguyên dương, thường là số không lớn lắm. Dùng Mode 7 (Table) của MTCT Fx 570VN- Plus hoặc các MTCT tương tự, có thể lợi dụng để tìm nghiệm của các phương trình, bất phương trình tổ hợp, chỉnh hợp nhanh và chính xác hơn. Có thể áp dụng giải các đề thi về nhị thức Newton mà trong đề thi buộc phải giải PT, BPT tổ hợp, chỉnh hợp trước. Trong các đề tài trước đây cũng đã đề cập việc dùng Mode 7 (Table) để lập bảng giá trị của hàm số, một khâu trong khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Tính năng này rất hiệu quả nhưng xin phép được không trình bày lại ở đây. Các ví dụ minh họa: 1 3 Ví dụ 1: Giải phương trình Cn Cn 13n ( Xem vế trái trừ vế phải là biểu thức f(x), Cần tìm số tự nhiên x sao cho giá trị f(x)=0 ) Giải : Điều kiện n N,n 3 Thao tác bấm MTCT Ý nghĩa Kết quả Mode 7 Vào chương trình tính f(x)= bảng giá trị
3. Anpha x shift  1 + anpha x Nhập hàm số vế trái trừ vế shift  3 - 13 n phải. 1 3 f(x)=Cn Cn 13n = Bắt đầu tính bảng, máy sẽ hỏi số đầu bảng Start? Số đầu theo ĐK 3 = End? Số cuối bảng 15 = Step? 1 = Bước nhảy (khoảng cách giữa 2 biến) (bảng giá trị) Đưa con trỏ sang cột f(x) dò xuống dần, đến kết quả : 0, đối chiếu sang cột x chính là nghiệm của phương trình. Kết quả : n=10 x x x 2 Ví dụ 2: Giải phương trình C4 C5 C6 Giải : Điều kiện x N, x 4 Px x x x 2 Vào Mode 7- Nhập biểu thức f(x)= C 4 C5 C6 Px Chọn Start :0 (Do điều kiện) End: 4 Step :1 (mặc nhiên) Được bảng giá trị. Đưa con trỏ sang cột f(x) dò xuống dần, đến kết quả : 0, đối chiếu sang cột x chính là nghiệm của phương trình. (x=2) 5 Tương tự : Ví dụ 3: Giải phương trình Px 2 72 Ax 1.Px 5 (x = 10) Tương tự: Ta có thể sử dụng mode 7 để giải Bất phương trình tổ hợp. 3 2 5 4 3 2 Ví dụ : Ax 5.Ax 21x (x=3;4) ; C x 2.C x 4.C x x 1 (x=5;6;7;8;9) Cách làm như trên. RÚT GỌN BIỂU THỨC – KHÔNG CẦN KHAI TRIỂN BIỂU THỨC: - Bằng cách tính giá trị biểu thức và trừ đi biểu thức tương đương, ta có kết quả là biểu thức được rút gọn mà không cần phải khai triển biểu thức. Cách này hướng dẫn cho học sinh áp dụng rất hiệu quả trong nhiều quy trình giải toán. Ví dụ 1: Rút gọn 8(x+1)3-7(x-4)2 +4(2x+3) – 9 Thao tác bấm MTCT Ý nghĩa Kết quả (Nhập biểu thức lên màn hình) = Nhấn = để lưu biểu thức 8(x+1)3-7(x-4)2 + CALC 1000 = Gán 1000 cho biến x 4(2x+3) – 9  - 8 anpha x x 3 = Đưa con trỏ lên, Trừ biểu KQ: 8017087899 thức cho 8x3 ( 8x3 ) 2  - 17 anpha x x = Đưa con trỏ lên, Trừ biểu KQ: 17087899 ( 17x2) 2  - 88 anpha x = thức cho 17x KQ: 87899 ( 88x )  + 101 = KQ: -101 KQ: 0 Vậy kết quả rút gọn : 8x3 +17x2 +88x -101 Lưu ý học sinh: .Cho x = 1000 để dễ thấy giá trị biểu thức rút gọn . ( x2=1.000.000, x3= 1.000.000.000 làm tròn lên 5(x 2) 2 7(x 4) Ví dụ : Rút gọn 2(x 1)3 9 3 4 Để ra kết quả là số nguyên, dễ phát hiện ta nhân toàn bộ biểu thức cho mẫu số chung: 12, rồi thực hiện các động tác tương tự. 24x 3 52x 2 173x 80 Kết quả: 12
4. Ví dụ áp dụng: Trong không gian Oxyz, cho M(2;1;-3), N(-3;-2;1). Viết phương trình x 1 y 1 z mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d : và đi qua 2 điểm M, N. 2 1 2 Giải: (Vắn tắt) I thuộc d nên I (1+2t; -1 –t; 2t) mc(S) qua M, N MI=NI=R : bán kính MI2=NI2 (1+2t)2+(-2-t)2+(2t+3)2=(4+2t)2+(1-t)2+(2t-1)2 Đến đây ta có thể bấm MTCT để rút gọn: Nhập biểu thức: (1+2x)2+(-2-x)2+(2x+3)2-(4+2x)2-(1-x)2-(2x-1)2 = Nhấn CALC cho x = 1000. KQ: 9996 ( 10x) Đưa con trỏ về cuối biểu thức nhấn thêm - 10x = KQ:-4 Đưa con trỏ về cuối biểu thức nhấn thêm +4 = KQ: 0 Vậy biểu thức được rút gọn : 10t-4 (Phần bài giải còn lại dễ thực hiện) Áp dụng: Chia đa thức không dư 3x 4 8x 3 58x 2 15x 18 Ví dụ : x 2 3x 18 B1. Nhập biểu thức vế trái vào màn hình Nhấn = : để lưu biểu thức B2. Nhấn CALC , cho x = 1000 =, KQ: 2998999 ( 3x2), nhấn  đưa con trỏ lên cuối biểu thức, nhập thêm - 3x2 = KQ: -1001 ( -x ) nhấn  đưa con trỏ lên cuối biểu thức, nhập thêm + x = KQ: -1 nhấn  đưa con trỏ lên cuối biểu thức, nhập thêm + 1 = KQ: 0 3x 4 8x 3 58x 2 15x 18 Vậy ta có : 3x 2 x 1 x 2 3x 18 Áp dụng để giải phương trình bậc cao Ví dụ : Giải phương trình 2x4 – 13x3 + 9x2 + 23x + 4 = 0 Thao tác Ý nghĩa Kết quả 2 anpha x x 4 - 13 Nhập biểu thức vế trái vào 2x4 – 13x3 + 9x2 + 23x + 4 anpha x x 3 + 9 anpha màn hình x x2 + 23 anpha x +4 = Lưu biểu thức Shift CALC 5 = Dò nghiệm với x =5 5,192582404 Shift STO A Gán nghiệm vừa tìm vào A A  Lấy lại biểu thức 2x4 – 13x3 + 9x2 + 23x + 4 Shift CALC - 5 = Dò nghiệm với x = - 5 -0,8507810594 Shift STO B Gán nghiệm vừa tìm vào B B   Lấy lại biểu thức Shift CALC 0 = Dò nghiệm gần 0 -0,192582403 Shift STO C C AC Thoát màn hình Anpha A + anpha B = Thử tìm A+B 4,341801344 Anpha A + anpha C = Thử tìm A+C 5 Anpha A + anpha C = Tìm A.C -1 ( Vậy ta được 1 thừa số là ( x2 – 5x -1 ) ) 4 3 2      Nhấn  nhiều lần, lấy lại bth 2x – 13x + 9x + 23x + 4 (2x4 – 13x3 + 9x2 + 23x + 4)  ) (  Đóng, mở ngoặc toàn bộ Anpha x x2 – 5anpha x- 1 biểu thức.
5. Chia biểu thức cho x2– 5x -1 2x 4 13x 3 9x 2 23x 4 CALC 1000 = x 2 5x 1 (Thực hiện như VD chia đa KQ: 3x2-x-1 thức ở trên) Ta có bài giải ngắn gọn hơn như sau: 2x4 – 13x3 + 9x2 + 23x + 4 = 0 x 2 5x 1 0 (x 2 5x 1)(3x 2 x 1) 0 2 3x x 1 0 Áp dụng để phân tích ra thừa số, giải hệ PT: VD: Phân tích biểu thức x2 – 6y2 + xy +4x +17y -5 Ta gán x, hoặc y một giá trị cố định. Khi đó ta còn lại một tam thức bậc hai giải tìm nghiệm của tam thức và phân tích ra thừa số, sau đó thay giá trị cố định thành x, hoặc y trở lại. Gán y bằng 1000 Nhấn 1000 shift STO y Giải phương trình bậc hai Mode 5 3 Nhập hệ số a, b, c ( có chứa y) a=1 1 = b=y+4 anpha y + 4 = c=-6y2+17y-5 -6 anpha y x2 + 17 anpha y -5 = Kết quả x1=1995 (=2y-5) , x2=-2999 (=-3y+1) Ta phân tích được : (x-1995)(x+2999) hay x2 – 6y2 + xy +4x +17y -5= (x-2y+5)(x+3y-1) * Có rất nhiều bài toán giải hệ phương trình trong các đề thi ĐH, đề thi HSG chứa dạng phương trình này. Do đó HS có thể áp dụng để phân tích và giải bài toán nhanh hơn. * VD: