Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học bất đẳng thức và giải toán cực trị

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học bất đẳng thức và giải toán cực trị

1. Lời nĩi đầu Bất đẳng thức và các bài tốn cực trị đại số là hai chuyên đề ít được đề cập đến lí thuyết trong chương trình sách giáo khoa tốn ở bậc trung học cơ sở.Ở lớp 8 chuyên đề bất đẳng thức được trình bày 2 tiết lý thuyết và 1 tiết luyện tập,do yêu cầu của chương trình mà hai chuyên đề này trong chương trình sách giáo khoa khơng đi sâu vào mơ tả khái niệm bất đẳng thức và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp,tuy nhiên trong sách bài tập lại đưa ra bài tập của hai chuyên đề này vào cuối của một số chương, đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc thi vào lớp 10 các trường chuyên thì học sinh lại gặp những bất đẳng thức rất phức tạp.Nhiều học sinh đã tỏ ra lúng túng khi đứng trước bài tốn chứng minh bất đẳng thức hoặc bài tốn tìm cực trị của một biểu thức cĩ nhiều em đã chán nản khi phải học bất đẳng thức.Tự kiểm điểm lại bản thân, các em thấy rằng mình đã rất cố gắng trong quá trình học tập, cứ nghĩ mình đã nắm rất vững kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong sách giáo khoa thế nhưng đứng trước bài tốn chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm cực trị của một biểu thức thì lại bế tắc khơng tìm ra lời giải.về sau tham khảo lời giải của những bài tốn ấy thì thấy khơng cĩ gì khĩ khăn lắm vì chỉ tồn sử dụng kiến thức cơ bản về bất đẳng thức,cĩ những bài giải rất đơn giản nhưng chỉ vì một chút thiếu sĩt hoặc khơng nghĩ đến cách ấy mà các em đã giải sai.Là giáo viên tốn, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài trơng sách giáo khoa thơi thì chưa đủ mà phải biết vận dụng kiến thức để giải quyết trong những tình huống cụ thể, phải biết phân loại các dạng tốn và cách giải từng dạng tốn. Các bài tốn về bất đẳng thức và tìm cực trị của một biểu thức trong các sách bồi dưỡng học sinh giỏi, tạp chí tốn học, báo tốn học tuổi trẻ, , và cả trên thư viện điện tử rất đa dạng, phong phú cĩ những bài cĩ nhiều hướng giải quyết và cũng khơng ít bài cĩ cách giải độc đáo.song thời gian dạy và hướng dẫn cho học sinh học tập lại hạn chế, do đĩ địi hổi người thầy phải biết tổng hợp,phân loại các dạng tốn thường gặp và các phương pháp để giải chúng.Từ đĩ hướng dẫn học sinh rèn
2. luyện ý thức định hướng và đúc rút kinh nghiệm.Trong quá trình học tốn và dạy tốn, tơi đã phân loại được một số dạng tốn về bất đẳng thức, bài tốn cực trị thường gặp và các phương pháp thích hợp để giải chúng.vì vậy tơi mạo muội viết ra những kinh nghiệm của bản thân để chia sẻ cùng các thầy(cơ) dạy tốn,các em học sinh và những ai yêu thích mơn tốn. Phạm vi chọn đề tài. Do thời gian cĩ hạn, nên đề tài này tơi chỉ nêu một số tính chất của bất đẳng thức, cách chứng minh một số dạng bất dẳng thức thường gặp trong chương trình tốn ở bậc THCS và cách giải một số dạng bài tốn cực trị đại số.Các dạng bất đẳng thức khác ở bậc THPT.Cách giải các dạng ốn cự trị hình học chưa được đề cập đến. Phần 1: Thực trạng Qua quan sát tình hình học tập bất đẳng thức và giải tốn cực trị cũng như kiểm tra học sinh về phần này tơi thấy rằng, đại đa số học sinh lung túng khi đứng trước bài tốn chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của một biểu thức đại số. Cụ thể nghiên cứu như sau: Về chứng minh bất đẳng thức: Ở mức độ kiến thức cơ bản, trong 115 học sinh thì cĩ 52 học sinh (42%) chứng minh được. Ở mức độ nâng cao thì trong 115 em chỉ cĩ 2 em (2%) chứng minh được. Về giải tốn cực trị: Ở mức độ cơ bản như sách giáo khoa và sách bài tập, trong 115 em thì cĩ 9 em (0,8%) làm được ở mức độ nâng cao trong 115 em,khơng cĩ em nào làm được. Qua đây ta cĩ thể rút ra một số nguyên nhân dẫn đến mức độ nắm bắt kiến thức về bất đẳng thức và vận dụng kiến thức về bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của một biểu thức ở học sinh kém như sau: • Nhiều học sinh học yếu mơn tốn. • Học sinh chưa nắm vững khái niệm, cũng như các tính chất của bất đảng thức. • Chưa vậ dụng linh hoạt lí thuyết về bất đẳng thức vào giả các bài tốn cụ thể. • Kinh nghiệm giả tốn bất đẳng thức và tốn cực trị cịn ít.
3. • Hệ thống bài tập tự giải tự tích lũy của các em chưa nhiều. • Các em chưa phân loại được các dạng tốn cùng phương pháp chứng minh. Từ thực trạng tình hình và phân tích nguyên nhân các em học sinh gặp vướng mắc khi giải tốn bất đẳng thức trong quá trình dạy học, tơi đã tổng hợp được một số dạng tốn chứng minh bất đẳng thức và giải bài tốn cực trị ở bậc THCS cùng với phương pháp giải chúng.Sau đây là phương pháp giải một số dạng tốn về bất đẳng thức và tìm cực trị của một biểu thức đại số. A. BẤT ĐẲNG THỨC Khái niệm về bất đẳng thức: Ta gọi a b (hay a b,a b, a b) là bất đẳng thức. a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. Một số tính chất: * Với a,b,c R ,a>b, ta cĩ: a) a+c>b+c b) ac>bc (nếu c>0) c) ac b và b>c thì a>c * V ới a>b>0,n là số nguyên dương, ta cĩ a) an> bn b) n a n b * với mọi a,b R , ta cĩ: a>b a-b>0 Chú ý: Các tính chất trên vẫn đúng trong trường hợp dấu của bất đẳng thức là “ hoặc ” I. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. VD 1: Chứng minh rằng:
4. a2+b2+c2 ab+ac+bc cm: a2 b2 c2 ab bc ac a2 b2 c2 ab ac bc 0 a2 b2 c2 a2 c2 b2 ab ac bc 0 2 2 2 2 2 2 a2 2ab b2 c2 2ac a2 c2 2cb b2 0 2 2 2 2 2 2 a b c a c b 0 2 2 2 bất đẳng thức hiển nhiên đúng.Dấu “=” x ảy ra khi a=b=c VD 2: Chứng minh rằng 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với mọi a, b, c (2) a2 b2 c2 a2 2ab 2ac 0 (a2 2ab b2 ) (a2 2ac c2 ) 0 (a b)2 (a c)2 0 hiễn nhiên đúng với mọi a,b,c. dấu “=” xảy ra khi a=b=c vậy 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với mọi a,b,c VD 3: chứng minh rằng: (a c)2 (b d)2 a2 b2 c2 d 2 a,b,c,d Cm: (a c)2 (b d)2 a2 b2 c2 d 2 a,b,c,d (a c)2 (b d)2 a2 b2 c2 d 2 2 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (a c)2 (a2 c2 ) (b d)2 (b2 d 2 ) 2 (a2 b2 )(c2 d 2 ) 2ac 2bd 2 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ( 1)(ac bd) (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac)2 2(ac)(bd) (bd)2 (ac)2 (ad)2 (bc)2 (bd)2 2(ac)(bd) (ad)2 (bc)2 (ad)2 2(ad)(bc) (bc)2 0 (ad bc)2 0 hiển nhiên đúng.Dấu “=” xảy ra khi ad=bc
5. vậy (a c)2 (b d)2 a2 b2 c2 d 2 a,b,c,d VD 4: chứng minh rằng a a 2 2 a 1 a>0 cm: a a 2 2 a 1 a>0 2 a a 2 4(a 1) a+2 a(a 2) a 2 4a 4 2 a(a 2) 2a 2 a(a 2) a 1 a 2 2a a 2 2a 1 hiển nhiên đúng . vậy a a 2 2 a 1 a>0 VD 5: chứng minh rằng : 1 1 4 1 1 x,y>0, x+y 0 x y x y đặt x2+y2=X; 2xy=Y 1 1 4 4 theo chứng minh trên, ta cĩ = (1) X Y X Y (x y)2 x,y>0 2 4 (x y) 1 2 4 (2) x+y 1 1 a2 1 b2 1 ab CM: nhân cả hai vế của BĐT với (1+a2).(1+b2).(1+ab) thì 1 1 2 (1+a2).(1+ab)+(1+b2). (1+ab) 2(1+a2)(1+b2) 1 a2 1 b2 1 ab
6. (1+a)(2+a2+b2)-2(1+a2)(1+b2) 0 2+a2+b2+2ab+ab.a2+ab.b2-2-2b2-2a2-2a2b2 0 ab.a2+ab.b2-a2-b2+2ab-2a2b2 0 (ab.b2 –b2)+(ab.a2-a2)+(2ab-2a2b2) 0 b2(ab-1) + a2(ab-1)-2ab(ab-1) 0 (b-a)2(ab-1) 0 hiển nhiên vì ab>1 1 1 2 vậy với mọi ab>1 1 a2 1 b2 1 ab Bài tập tự giải Chứng minh rằng: bài 1: a2 + b2 +c2+d2 + e2 a(b+c+d+e) a,b,c,d p2 q2 bài 2: pq p,q>0 p q a2 b2 bài 3: a b a,b>0 b a bài 4: a3+b3 a4+b4 với a+b 2 1 1 1 3 bài 5: với mọi a,b,c>0 a b c a b c a b c bài 6: a b 1 ab với a 1; b 1 trong quá trình học bất đẳng thức chúng ta cịn gặp nhiều bất đẳng mà chứng minh nĩ bằng phương pháp biến đổi tương đương sẽ gặp rất nhiều khĩ khăn, cũng cĩ những bài khơng thể làm được bằng phương pháp này. Để chứng minh những bất đẳng thức như vậy đơi khi ta phải nhờ đến một bất đẳng thức khác như bất đẳng thức cauchy (cơ sy), Bunhiacopsky, sau đây là một số bài tốn chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp áp dụng bất đẳng thức cơ sy. II. DỰA VÀO BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. a a a a Với a ,a ,a , ,a 0 ta cĩ 1 2 3 n n a a a a 1 2 3 n n 1 2 3 n Ta cũng cĩ thể viết a1,a2 ,a3 , ,an 0 ta cĩ n a1 a2 a3 an n a1a2a3 an Chứng minh:€€€Error! No bookmark name given.
7. a. BĐT đúng với n = 2. thật v ậy Với mọi a1,a2 0 ta cĩ a a ( a a )2 0 a 2 a a a 0 a a 2 a a 1 2 a a 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 (1) dấu “=” xảy ra khi a1 a2 .Bất đẳng thức đúng. - giả sử BĐT đúng với n=k (k bất kì). Ta phải chứng minh B ĐT đ úng với n=2k a a a a thật vậy giả sử a ,a ,a , ,a 0 ta cĩ 1 2 3 k k a a a a 1 2 3 k k 1 2 3 k với 2k số khơng âm a1,a2 ,a3 , ,a2k ta cĩ a a a a 1 k k 1 2k a a a a k a a a a k a a a2 1 2 3 2k k k 1 2 3 k k 1 k 2 k (GT. QN) 2k 2 k k 2k a1a2a3 ak ak 1ak 2 a2k a1a2a3 a2k (2) dấu “=” xảy ra khi a1 a2 a3 , , a2k - Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k (k bất kì) sẽ đúng với n=k-1 thật vậy với k-1 số khơng âm a1,a2 ,a3 , ,ak 1 ta cĩ ak 1 ak 1 a1 ak 1 a1 a2 a3 ak 1 ak 1 ak 1 k 1 k a1a2a3 ak 1 k 1 k k 1 k 1 a a a a a a a a 1 2 3 k 1 1 2 3 k 1 k 1 a1a2a3 ak 1 a1a2a3 ak 1 k 1 k 1 (3) dấu “=” xảy ra khi a1 a2 a3 , , ak 1 từ (1),(2) và (3) suy ra BĐT luơn đúng với mọi n 2 ghi chú: Cách chứng minh trên là cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp kiểu cauchy VD1: Chứng minh rằng (a+b) (1+ab) 4ab với mọi a,b>0 Phân tích: ta khơng thể áp dụng ngay BĐT cơ sy trong trường hợp này vì ở vế trái là một tích . để áp dụng bất đẳng thức cơ sy ta phải viết vế trái thành tổng.
8. CM: ta cĩ (a+b)(1+ab) = a+a2b+b+ab2. vì a,b>0 nên a,ab2,b,a2b>0 Theo bất đẳng thức cơ sy, ta cĩ a+a2b+b+ab2 4 4 a.a2b.ab2 .b 4 4 a4b4 4ab Dấu “=” xảy ra khi a=b=1 Vậy (a+b)(1+ab) 4ab với mọi a,b>0. 1 1 VD 2 Chứng minh rằng ( a b )( ) 4 a,b>0 a b 1 1 a b a b CM: ( a b )( ) 1+ 1. Vì a,b>0 nên , 0 a b b a b a 1 1 a b a b Áp dụng BĐT cơ sy, ta cĩ ( a b )( ) 1+ 1. 4 4 1. . .1 4 a b b a b a a b dấu “=” xảy ra khi 1 a b b a 1 1 vậy ( a b )( ) 4 a,b>0 a b VD 3: Chứng minh rằng a+b+1 ab a b a,b 0 phân tích: khác với hai ví dụ đã giải ở trên, ở trong B ĐT này cả hai v ế đều là một tổng ba hạng tử trong bất đẳng thức. trong BĐT cơ sy chiều n nhỏ hơn là n a1 .a2 an vì vậy mỗi hạng tử ab, a, b là một vế nhỏ hơn của ba bất đẳng thức cơ sy khác. Căn cứ vào điều này ta cĩ thể chứng minh bài tốn như sau: CM: với a,b>0 ta cĩ: a b a 1 b 1 ab ; a ; b . Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức 2 2 2 a b a 1 b 1 trên ta cĩ ab a b a b 1 ab a b 2 2 2 dấu “=” xảy ra khi a=b=1 1 VD 4: chứng minh rằng a b a b a,b 0 2 Phân tích: Trong BĐT này ở vế trái cĩ ba hạng tử, vế phải cĩ hai hạng tử vì vậy khi chứng minh bất đẳng thức này cần khéo léo tách các hạng tử ở vế trái một cách hợp lí, tuy nhiên nếu chỉ để ý vế trái thơi thì việc phân tích cũng sẽ gặp khĩ khăn, mà để làm được điều này ta cũng cần để ý vế phải để cĩ cách phân tích phù hợp. Ta cĩ thể giải bài tập này như sau: CM: vì a,b 0 nên 2a,2b 0.