Sáng kiến kinh nghiệm Bài tập về bất đẳng thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Bài tập về bất đẳng thức

1. Nghiệp vụ sư phạm A – mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay sự phát triển của tất cả các nghành khoa học cơ bản cũng như ứng dụng vào tất cả các nghành công nghiệp then chốt như : dầu khí , viễn thông , hàng không , đều không thể thiếu toán học. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụng của toán học, đưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội . Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí . Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh ( người học toán) những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khẳ năng tư duy lôgic , một phương pháp luận khoa học. Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc , hệ thống bài tập , sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh . Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng , rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập toán trong đó có các bài tập về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy , trí tuệ cho học sinh. Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến tức rộng đặc biệt là với học sinh THCS . Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là: - Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong , ít khai thác , phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải được. Tô Thị Kim Lan 1 L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội
2. Nghiệp vụ sư phạm - Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch, phương pháp giải hạn chế , các bài toán bất đẳng thức thường khó , phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng nên học sinh hay ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó như : cực trị , hàm số Vì vậy: phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là cần thiết. Trong những năm giảng dạy thực tế ở trường phổ thông tôi đã tích luỹ được một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin được trình bày dưới góc độ nhỏ. 2) Mục đích nghiên cứu. a. Đối với giáo viên : - Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b.Đối với học sinh: - Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng.Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức. - Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập. - Giải đáp những thắc mắc , sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học. - Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập . Tô Thị Kim Lan 2 L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội
3. Nghiệp vụ sư phạm - Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đăng thức 3) Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK , tài liệu tham khảo của học sinh tại trường. - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm , học hỏi đồng nghiệp . - Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp. 4) Nhiệm vụ của đề tài. Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS. Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức , áp dụng để làm bài tập . Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp . Chọn lọc , hệ thống một số dạng bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phương pháp giải , cách đổi biến. Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cưc trị, giải một số phương trình dạng đặc biệt . 5)Phạm vi đề tài Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8 và lớp 9. 6) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập , ôn tập cuối kì , cuối năm, kì thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT . Tô Thị Kim Lan 3 L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội
4. Nghiệp vụ sư phạm Phương pháp tiến hành : học sinh có kiến thức cơ bản , đưa ra phương pháp giải , bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp , bài tập tư giải ( Học sinh về nhà tự làm ) 7) Dụ kiến kết quả của đề tài Khi chưa thực hiện đề tài này : học sinh chỉ giải được những bài toán đơn giản , hay mắc sai lầm ,hay gặp khó khăn , ngại làm bài tập về bất đẳng thức. Nếu thực hiện được đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng thức , làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết được các bài tập bất đẳng thức có dạng tương tự , hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức. B – NộI DUNG Phần I : áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở trường thcs I/ Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức 1. Định nghĩa : Cho 2 số a và b ta nói : a lớn hơn b, kí hiệu : a>b a- b>0 a nhỏ hơn b, kí hiệu : a b b b, b>c a>c Tô Thị Kim Lan 4 L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội
5. Nghiệp vụ sư phạm 2.3.Tính chất đơn điệu của phếp cộng : cộng cung một số vào hai vế của bất đẳng thức: a>b a+c>b+c. 2.4.Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a>b, c > d a+c > b+d * Chú ý : Không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều. 2.5.Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. Nếu a > b , c > d thì a-c > b-d 2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân : a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương . a > b , c>0 a.c > b.c b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm a >b , c b ≥0 , c>d≥ 0 thì ac>bd 2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức a>b>o an >bn. a>b an >bn với n= 2k ( k Z) 2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương Với m > n > 0 : - Nếu a >1 thì am > an. - Nếu a=1 thì am = an. Tô Thị Kim Lan 5 L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội
6. Nghiệp vụ sư phạm - Nếu 0 b >0 hoặc a b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt (a≥ b) tức là a>b hoặc a=b Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “ >” ( hoặc dấu “<” ) có thể thay bởi dấu “≥” ( hoặc dấu “ ≤ “ ) 3.Các bất đẳng thức cần nhớ 3.1 a2 ≥ 0; - a2≤ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0 3.2 │a│ ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0 3.3 - │a│ ≤ a ≤ │a│ Đẳng thức xảy ra khi a=0 3.4 │a+b│≤ │a│+│b│ Đẳng thức xảy ra khi ab≥ 0 3.5 │a-b│≥ │a│-│b│ Đẳng thức xảy ra khi a≥ b≥ 0 hoặc a≤ b≤ 0 *Chú ý : Một số bất đẳng thức chứng minh đơn giản hay được áp dụng : • a+b ≥2 ab với mọi a,b ≥ 0 . Đẳng thức xảy ra khi a=b (Bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm) •a 2 + b2 ≥ 2ab với mọi a,b . Đẳng thức xảy ra khi a=b a b 2 • (a+b)2 ≥ 4ab hay ab với mọi a,b . Đẳng thức xảy ra khi 2 a=b Tô Thị Kim Lan 6 L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội
7. Nghiệp vụ sư phạm • 1/a + 1/b ≥ 4/a+b với mọi a,b>0 . Đẳng thức xảy ra khi a=b • a/b+ b/a ≥2 với ab>0 . Đẳng thức xảy ra khi a=b • (a x+by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2) với mọi a,b ,x,y. Đẳng thức xảy ra khi a/b=x/y. II- Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số 1. Phương pháp dùng định nghĩa 1.1. Cơ sở toán học: A ≥B A-B ≥ 0 Để chứng minh A ≥B ta chứng minh A-B ≥ 0 Tương tự để chứng minh A ≤ B ta chứng minh A-B ≤ 0. 1.2. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Chứng minh: 2(x2 + y2) ≥( x+y)2 với mọi x,y Giải: Xét hiệu 2(x2+y2) – (x+y)2 = 2x2+ 2y2-x2-y2-2xy = x2-2xy+y2 = (x-y)2 0 x, y .Dấu “=” xảy ra khi x=y Vậy 2(x2+y2) (x y) 2 x, y . Dấu “=” xảy ra khi x=y Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a b thì a3 b3 Giải: Xét hiệu: a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2) 0 Thừa số (a-b) 0 do giả thiết a b b b2 3b2 Thừa số (a2+ab+b2) = a2+2a 2 4 4 b 3b 2 = (a+ )2+ 2 4 Tô Thị Kim Lan 7 L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội
8. Nghiệp vụ sư phạm b 3b 2 Do (a+ )2 0 ; 0 nên a2+ab+b2 0 2 4 Vậy a3- b3 0 suy ra a3 b3 Ví dụ 3: Chứng minh 3x2+y2 + z2 +1 2x(y +z+1) Giải: Xét hiệu: 3x2+y2 + z2 +1 - 2x(y +z+1) = 3x2+y2 + z2 +1- 2xy - 2xz – 2 = (x2 -2xy+ y2) + (x2 -2xz +z2) + ( x2 – 2x+1) = (x-y)2 + (x-z)2 + (x-1)2 Vì (x-y)2 0 x, y Vì (x-z)2 0 x, z Vì (x-1)2 0 x,1 Nên: (x-y)2 + (x-z)2 + (x-1)2 0,x, y, z Hay 3x2+y2 + z2 +1 - 2x(y +z+1) 0,x, y, z Vậy 3x2+y2 + z2 +1 2x(y +z+1) ,x, y, z 1.3 Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 3 a 3 b3 a b 1) với a>0 ,b>0 2 2 2) x3 + 4x + 1 > 3 x2 với x ≥ 3 3) c2 + d2 +cd ≥ 3ab với a+b = c+d 2)Phương pháp biến đổi tương đương 2.1 Cơ sở toán học Tô Thị Kim Lan 8 L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội
9. Nghiệp vụ sư phạm Để chứng minh bất đẳng thức A B ta biến đổi tương đương( dựa vào các tính chất của bất đẳng thức ) : A B C D Cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên C D Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A B Để dùng các phép biến đổi tương đương ta đều chú ý các bất đẳng thức sau: (A B)2 = A2 2AB+B2 (A+B+C)2 = A2 +B2 +C2+2AB+2AC+2BC 2.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Chứng minh rằng:  a,b,c ta luôn có: a2+b2+c2 ab+bc+ca Giải: Ta có: a2+b2+c2 ab+bc+ca (1) 2a2+2b2+2c2 2ab+2bc+2ac 2a2+2b2+2c2- 2ab-2bc-2ac 0 (a2-2ab+b2) + (b2-2bc+c2) + (c2-2ac+a2) 0 (a-b)2 +(b-c)2+(c-a)2 0 (2) Vì a-b)2 0 a,b ; (b-c)2 0 b,c ; (c-a)2 0 a,c Nên (2) đúng do đó (1) đúng  a,b,c Tô Thị Kim Lan 9 L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội