Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng một số phép biến hình để giải toán phổ thông

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng một số phép biến hình để giải toán phổ thông

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO CÀ MAU TRƯỜNG THPT KHÁNH HƯNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Ñeà taøi: ÁP DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG - Đề tài thuộc lĩnh vực chuyên môn : Toán - Họ va tên giáo viên: Nguyễn Thanh Bình - Chức vụ, nhiệm vụ đang phụ trách: Tổ trưởng,giảng dạy 12C3, 10C2 - Đơn vị công tác: Tổ Toán – Lý – Tin – KTCN trường THPT Khánh Hưng Khánh Hưng, ngày 09 tháng 04 năm 2009
2. I.ÑAËT VAÁN ÑEÀ: 1. Lyù do choïn chuyeân ñeà: Trong quaù trình daïy moân toaùn khoái THPT vaø oân thi Cao ñaúng, Ñaïi hoïc, khi gaëp caùc baøi toaùn về chứng minh hình học thường rất khó đối với học sinh nhất là các bài toán về quĩ tích tập hợp điểm, dựng hình , xác định góc Vì nhöõng lí do ñoù, toâi coá gaéng trình baøy phöông phaùp duøng moät soá pheùp bieán hình cô baûn nhaèm aùp duïng giaûi caùc baøi toaùn hình hoïc nhanh vaø ñaït hieäu quaû cao Caùc ví duï minh hoïa trong chuyeân ñeà thöôøng gaëp trong saùch giaùo khoa, caùc ñeà thi Cao ñaúng, Ñaïi hoïc. 2. Ñoái töôïng aùp duïng: - Hoïc sinh THPT (10 -11 -12) - Luyeän thi Cao ñaúng, Ñaïi hoïc II. GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ: ÁP DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG A. Phép dời hình 1) Đại cương về các phép dời hình: a) Định nghĩa: Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M ’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M ’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó. b) Thuật ngữ và kí hiệu: - Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F và điểm M ’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F thì ta viết M’ = F(M) hoặc F(M) = M’. - Với mỗi hình H, ta goi hình H’ gồm các điểm M’ = F(M), trong đó M thuộc hình H, là ảnh của H qua phép biến hình F, và viết H’ = F(H). c) Tích của hai phép dời hình: Khi một phép biến hình f biến điểm M thành điểm M 1, và phép bến hình g biến M 1 thành M’ thì việc thực hiện liên tiếp hai phép biến hình f và g (theo thứ tự f trước, g sau) ta biến điểm M thành M’ và phép biến hình h như vậy biến M thành M’ được gọi là tích của hai phép biến hình f và g.
3. Kí hiệu: g.f Ta có: f(M) = M1 ’ g(M1) = M h(M) = (g.f)(M) = g[f(M)] = M’ 2) Phép dời hình: a) Định nghĩa: Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Người ta cũng nói: Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm. b) Tính chất của phép dời hình: Định lí: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm ấy, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó. B. Các phép dời hình trong mặt phẳng 1) Phép tịnh tiến: a) Định nghĩa: ’ Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M sao cho MN u + Kí hiệu: Tu, là vectơ tịnh tiến. b) Định lí 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M ’ và N’ thì M’N’ = MN. c) Định lí 2: Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi. d) Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó. e) Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ u . Biết tọa độ của u là x' x a (a; b). Giả sử điểm M(x; y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta có: ' y y b 2) Phép đối xứng trục: a) Định nghĩa: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a. + Kí hiệu: Phép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đ a. a là trục của phép đối xứng hay trục đối xứng.
4. b) Phép đối xứng trục là một phép dời hình. c) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox: x' x Phép đối xứng trục Ox biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’; y’) thì ' y y d) Trục đối xứng của một hình: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu ’ phép đối xứng trục Đd bieens H thành chính nó, tức là Đd(H) = H . 3) Phép quay: a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M ’ sao cho OM = OM’ và (OM, OM’) = được gọi là phép quay tâm O góc quay . + Kí hiệu: Q O, b) Định lí: Phép quay là một phép dời hình. 4) Phép đối xứng tâm: a) Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành   điểm M’ đối xứng với điểm M qua O, có nghĩa là OM OM ' 0 + Kí hiệu: Phép đối xứng qua điểm O thường được kí hiệu là Đ O. Phép đối xứng qua một điểm con goi là phép đối xứng tâm. O là tâm đối xứng b) Biểu thức toạ độ : Trong hệ tọa độ Oxy cho I(a; b). Nếu phép đối xứng tâm Đ I biến x' 2a x điểm M(x; y) thành điểm M’(x’; y’) thì: y' 2b y c) Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng ’ tâm ĐO biến hình H thành chính nó, tức là ĐO(H) = H . XÁC ĐỊNH PHÉP DỜI HÌNH, TÌM ẢNH QUA PHÉP DỜI HÌNH Việc xác định các phép dờ hình, dung ảnh của một điểm (của một hình) qua một phép dời hình có vai trò quan trọng trong việc giảI nhiều bào toán bằng các phép biến hình. Do vậy, ta cần lưu ý: - Nếu đường thẳng d là trung trực của đoạn MM ’ thì M’ là ảnh của M trong phép đối xứng trục; đồng thời ta cũng có M và M’ là ảnh của nhau trong phép đối xứng trục d. - Nếu điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MM ’ thì hai điểm M và M’ là ảnh của nhau trong phép đối xứng tâm I.  - Nếu cho trước hai điểm A và B thì B là ảnh của A trong phép tịnh tiến theo AB . Nếu  ABCD là hình bình hành thì C là ảnh của D trong phéptịnh tiến theo AB . - Nếu OA = OB thì B là ảnh của A trong phép quay tâm O, góc quay AOB theo hướng từ A đến B.
5. - Nếu một phép dời hình f biến hai điểm phân biệt A và B của một đường thẳng d thành hai điểm phân biệt A ’ và B’ của một đường thẳng d ’ thì d’ là ảnh của d trong phép dời hình f. khi đó d’ = f(d). - Ngoài các tính chất chung của các phép dời hình, cần chú ý thêm là phép tịnh tiến hoặc phép đối xứng tâm biến một đường thẳng thành một đưởng thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đã cho. - Đói với các đường tròn có bán kính bằng nhau thì việc xác định phép dời hình biến hình nọ thành hình kia đước đưa về việc xác định phép biến hình tâm của đường tròn nọ thành tâm của đường tròn kia. Bài 1: Cho góc nhọn xOy, với x· Oy = , 0 900 và một điểm M thuộc miền trong của góc ấy. Gọi M1, M2 theo theo thứ tự là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox, Oy. a) Chứng mih rằng M1 và M2 là ảnh của nhau trong một phép đối xứng trục d và trục d đI qua một điểm cố định. b) CMR M2 là ảnh của M1 trong một phép quay mà ta cần xác định tâm và góc quay. c) Xét trường hợp 900 . Giải: a) M và M1 đối xứng nhau qua Ox cho ta : OM1 = OM (1) M và M2 đối xứng nhau qua Oy cho ta: OM2 = OM (2) Từ (1) và (2) suy ra: OM1 = OM2 (3). Từ (3) suy ra tam giác M1OM2 cân. Đường thẳng d đI qua O và vuông góc với M1M2 chính là trung trực của phép đối xứng biến điểm M1 thành M2 (hoặc biến M2 thành M1). b) Do tính chất của phép đối xứng trục, ta có: µ µ ¶ ¶ µ ¶ ¶ ¶ µ µ · O1 = O1 và O2 = O3 , nên O1 + O2 + O3 + O4 = 2(O1 + O1 ). Suy ra M1OM 2 = 2 Từ (3) và (4) suy ra M2 là ảnh của M1 trong phép quay tâm O và góc quay có độ lớn là 2 0 c) Khi 90 , ba điểm M1, O, M2 thẳng hàng. Như vậy M1 và M2 là ảnh của nhau trong phép đỗi xứng tâm O hay cũng là phép quay tâm O, góc quay 1800. Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N và P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC, D là điểm đỗi xứng của P qua M và E là điểm đỗi xứng của P qua N. Hãy xác định các phép dời hình biến điểm D thành điểm E? Giải: Ta có: MB = MA, MP = MD nên tứ giác ADBP là hình bình hành. Suy ra: DA = BP và DA // BP. Tương tự ta có: EA = CP và EA // CP. Từ các kết quả trên ta suy ra DA = EA (1)
6. DA và EA cùng đi qua A và cùng song song với BC, theo tiên đề Ơclit thì 3 điểm D, A, E thẳng hàng (2). Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của đoạn thẳng DE. Vậy ĐA(D) = E.   Ta cũng có DE = BC và DE // BC hay DE BC . Vậy T D E . BC   Theo kết quả của câu 1) ta có: AD = AE và AD, AE 1800 . Vậy Q 0 D E A;180 Bài 3: Cho hình vuông ABCD và một số thực k 0 . Xét hai điểm M, N thoả mãn các hệ thức vectơ: AM k.AB ; BN k.BC . a) Xác định phép biến hình f biến điểm N thành điểm M. b) Xác định các điểm ảnh f(A), f(B), f(C), f(D) trong phép biến hình trên đay. c) Chứng minh AD  DM . Giải:     a) Do AM k.AB AM k . AB     BN k.BC BN k . BC .     Vì AB BC nên AM BN AM = BN. OAM OBN (c.g.c) nên OM = ON và ·AOM = B· ON . Suy ra M· ON = 900. b) Ta có: f(A) = D, f(B) = D, f(C) = B, f(D) = C. c) Phép quay f biến: N thành M, A thành D. Nên trong phép quay này, DM là ảnh của AN. Vậy AD  DM . Chú ý: Có thể  giải câu c) như sau: AN AB BN DM DA AM   Từ đây chứng minh tích vô hướng AN.DM 0. SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÌNH HỌC Phương pháp: Ta có thể sử dụng tính chất của phép dời hình để giải nhiều bài toán chứng minh các tính chất hình học, chẳng hạn: - Để chứng minh sự bằng nhau (hai đoạn thẳng, hai góc, hai tam giác, hai đường tròn, ) ta chỉ cần chỉ rõ chúng là ảnh của nhau trong một phép dời hình. - Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng là ảnh của ba đường thẳng qua một phép dời hình. - Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh chúng là ảnh của ba đường thẳng đồng quy trong một phép dời hình.
7. - Để chứng minh hai đoạn thẳng song song, ta chứng minh chúng là ảnh của nhau qua một phép đối xứng tâm hoặc qua một phép tịnh tiến. - Để chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc, ta chứng minh chúng là ảnh của hai đường thẳng vuông góc qua một phép dời hình. - Để chứng minh điểm J là trung điểm của doạn thẳng CD, ta chứng minh J là ảnh của trung điểm của đoạn thẳng AB trong phép dời hình biến Ab thành CD. Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi A ’ là điểm đối xứng của đỉnh A trong phép đối xứng qua đường trung trực của cạnh BC. Chứng minh rằng điểm A’ nằm trên đường tròn (O). Giải: Đường trung trực của cạnh BC đi qua tâm O của đường tròn (O; r). Phép đối O O xứng trục mà trục là đường trung trực của BC cho ta nên OA OA' . A A' Do đó OA = OA’ = r, suy ra A' O;r . Bài 5: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Am. Từ B kẻ đường thẳng song song với AM, cắt đường thẳng Ac tại D. Từ C kẻ đường thẳng song song với AM, cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh rằng: hai tam giác ADE và ABC bằng nhau. Giải: Ta thấy các tam giác BAD và CAE cân tại A. Kẻ đường phân giác ngoài HK của góc A thì trong phép đối xứng qua trục HK, ta có: A A , B D , C E , nên ABC ADE . Suy ra ABC ADE . Bài 6: Cho tam giác ABC, A’, B’ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA và D là điểm đối xứng của B’ qua A’. a) Chứng minh BD // AC; b) Tại sao hai đường thẳng AA ’ và BD cắt nhau. Goi E là giao điểm của AA ’ và BD. Chứng minh rằng A’ là trung điểm của đoạn thẳng AE. c) Chứng minh CE // AB và D là trung điểm của doạn thẳng BE. Giải: a) Xét phép đối xứng tâm A’, ta có: ĐA’(B’) = D, ĐA’(C) = B, B'C DB . Suy ra B’C // DB hay AC // BD. b) Cũng trong phép đối xứng tâm A’ thì AA' AA' và CA BD . Mà AA’ và CA là hai đường thẳng cắt nhau nên ảnh của chúng qua phép đối xứng tâm A’ là AA’ và BD cũng phảI cắt nhau và từ đây suy ra E là điểm đối xứng của A qua tâm A’ nên A’E = A’A. c) Cũng trong phép đối xứng tâm A’ thì: A E , B C . Do đó AB EC . Suy ra AB // EC. Trong câu b) ta đã chứng minh BE là ảnh của AC trong phép đối xứng tâm A’. Trong phép đối xứng này, ảnh của B’ là D mà B’ là trung điểm của AC và D phải là trung điểm của BE. Bài 7: Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài của tam giác ta dung các tam giác đều ABD, ACE, BCF. a) Chứng minh rằng BE = CD = AF.