SKKN Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử

Nội dung text: SKKN Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử

1. Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Cùng với sự phát triển của đất nước,sự nghiệp giáo dục cũng khơng ngừng đổi mới.Các nhà trường đã ngày càng chú trọng hơn tới chất lượng giáo dục tồn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn.Với vai trị là mơn học cơng cụ,bộ mơn Tốn đã gĩp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ mơn khoa học tự nhiên khác. Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi,các em cĩ tư duy nhạy bén,cĩ nhu cầu hiểu biết ngày càng cao,làm thế nào để các học sinh này phát huy hết khả năng của mình,đĩ là trách nhiệm của giáo viên chúng ta. Bản thân tơi ,trong những năm học vừa qua được nhà trường phân cơng dạy Tốn lớp 8, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi,dạy các lớp nâng cao.Qua giảng dạy tơi nhận thấy “Vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử” đối với bậc trung học cơ sở (THCS) là một vấn đề lí thú. Đã cĩ rất nhiều bài viết về vấn đề này,tuy nhiên trong thực tế, khi gặp những bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức cần phân tích là đa thức một biến ,cĩ bậc cao (cĩ bậc trên 4), cĩ hệ số nguyên và cĩ nghiệm hữu tỉ thì rất khĩ để cĩ thể giải được bằng những phương pháp thường dùng như :Phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp nhĩm hạng tử, phương pháp tách hạng tử và phần lớn các em khơng giải quyết được. Vì vậy tơi chọn đề tài “Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử”để gĩp phần nào đĩ nhằm giúp các em giảm bớt khĩ khăn khi gặp dạng tốn trên và gĩp phần làm hồn thiện thêm việc phân tích đa thức thành nhân tử .Tơi hy vọng bài viết này sẽ cĩ ích cho đồng nghiệp và các em học sinh. II. ĐỐI TƯỢNG – PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ ÁP DỤNG. - Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng học sinh khối 8 bậc THCS Người viết:Nguyễn Văn Đặng 1
2. Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử -Phương pháp nghiên cứu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn có liên quan Điều tra, thực nghiệm,khảo sát kết quả học tập của học sinh Thực nghiệm giảng dạy cho các em học sinh cùng với nhĩm chuyên mơn thực hiện. Điều tra ,đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề. Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp -Nhiệm vụ của sang kiến : Đưa ra những kiến thức cơ bản để phân tích đa thức một biến, cĩ hệ số nguyên và cĩ nghiệm hữu tỉ thành nhân tử . Nhận dạng và lựa chọn phương pháp giải hợp lí. Người viết:Nguyễn Văn Đặng 2
3. Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN B: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. I- CƠ SỞ LÍ LUẬN: Ở trường phổ thông môn toán là môn học chính, môn học cơ sở, là công cụ cho các môn học khác và giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán trong chương trình phổ thông là một phương tiện đem lại hiệu quả cao và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng và biết ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc rèn cho học sinh có kỹ năng giải bài tập toán có vai trò quyết định trong việc nâng cao chất lượng học tập của học sinh. Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, phong phú, đa dạng và không đơn giản đối với học sinh THCS. Nội dung này được đưa vào chương trình Toán 8, nhưng thật ra các em đã được đề cập đến từ trước với dạng bài toán ngược áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trên các tập hợp số. Với lượng thời gian phân phối chương trình có số tiết ít song nội dung này là cơ sở vận dụng cho các chương sau và lớp sau trong các phần: “ Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu số các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giải phương trình ” Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao đã khĩ và giải những bài tốn dạng đặc biệt cịn khĩ hơn. Để thực hiện tốt điều này đòi hỏi người giáo viên phải xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán và đặc biệt là kỹ năng giải toán, vận dụng bài toán. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học, đồng thời phải mở rộng Người viết:Nguyễn Văn Đặng 3
4. Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử thêm các cách giải khác nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn của học sinh. II- CƠ SỞ THỰC TIỄN: Trong quá trình giảng dạy với lượng thời gian theo khung phân phối chương trình như hiện tại thì khi học dạng toán này đa số học sinh còn rất lúng túng trong việc áp dụng phương pháp vào giải tốn, đặc biệt đối với học sinh khá, giỏi còn nhiều vấn đề chưa được đề cập đến. Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa số học sinh chưa có kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức cần phân tích là đa thức một biến ,cĩ bậc cao, cĩ hệ số nguyên và cĩ nghiệm hữu tỉ thì phần lớn khơng giải được là nguyên nhân như sau : Trong tiết dạy, giáo viên thường phối hợp nhiều phương pháp đễ dẫn dắt học sinh tìm hiểu kiến thức nhưng nội dung bài học nhiều, không đảm bảo được thời gian nên chưa đề cập hoặc chỉ giới thiệu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà đề tài nêu mà khơng nghiên cứu sâu. Thơng thường các em chỉ dừng lại ở việc phân tích đa thức thành nhân tử bằng những phương pháp thường dùng,ít gặp dạng bài tập như đã nêu hoặc khi gặp thì thường bỏ qua chứ khơng chịu khĩ tìm hiểu cách giải ở những tài liệu ngồi sách giáo khoa,mà thực tế thì tài liệu về vấn đề này cũng khơng nhiều. Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn toán, làm sao để học sinh hồn thiện hơn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Để giải quyết các vấn đề trên trong quá trình giảng dạy tôi đã đề ra phương pháp “Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử”để gĩp phần nào đĩ giúp các em hiểu rõ và vận dụng phương pháp này khi giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh. Người viết:Nguyễn Văn Đặng 4
5. Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử III- CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Để giải tốt dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức cần phân tích là đa thức một biến ,cĩ bậc cao, cĩ hệ số nguyên và cĩ nghiệm hữu tỉ thì các em phải nắm được các kiến thức cơ bản sau : 1.Kiến thức cơ bản: Định lý (nghiệm hữu tỉ của đa thức): n n-1 Cho đa thức f(x)= anx + an-1x + + a1x + a0 , ai Z i 0,1, ,n . p p Nếu phân số tối giản mà f ( ) 0 thì p \ a và q \ a ( p là các ước q q 0 n của a0 , q là các ước của a n ,) Thuật tốn tìm nghiệm hữu tỉ: -Lập các ước p \ a0 , q \ a n p  -Lập tập S / p \ a0 ; q \ an  q  p p p p -Với S ,tính f ( ) .Nếu f ( ) 0 thì là nghiệm. q q q q -Dùng sơ đồ Hoĩc-ne hạ bậc đa thức f(x) và tìm đa thức thương. Hệ quả: n n-1 Đa thức f(x)= anx + an-1x + + a1x + a0 , ai Z , với an=1 n n-1 f(x)= x + an-1x + + a1x + a0 p \ a0 ,nếu f ( p) 0 thì p là nghiệm. 2.Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử: 2.1 Các ví dụ Ví dụ 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f ( x) 10 x 5 81x 4 90 x 3 102 x 2 80 x 21 Với cách giải thơng thường ta thử các giá trị là ước của -21 là 1; 3; 7; 21 và ta thấy f (7) 0 Dùng sơ đồ Hoĩc-ne:(để hạ bậc và tìm đa thức thương) Người viết:Nguyễn Văn Đặng 5
6. Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử ai f x 10 -81 90 -102 80 -21 x 7 10 -11 13 11 3 0 f x x 7 10x4 11x3 13x2 11x 3 Với đa thức cho ở ví dụ trên thì rất khĩ khăn để phân tích thành nhân tử bằng những phương pháp thơng thường đã học, vả lại hệ số cao nhất của đa thức lại khác 1 nên ta khơng thể sử dụng hệ quả để giải bài tốn mà phải sử dụng định lí để giải và ta làm như sau : Giải : Bước 1:Tìm nghiệm hữu tỉ Ta cĩ p \ a 0 1, 3, 7, 21 (a0 = -21) 0q \ a n 1; 2; 5;10 (an = 10) 1 1 1 3 3  S 1; ; ; ; 3; ; ;  2 5 10 2 5  Bước 2 :Tìm nghiệm: Ta thử các giá trị trong tập S xem tại giá trị nào làm cho f(x) = 0 và ta 1 1 thấy f ( ) 0 x là nghiệm. 2 2 Dùng sơ đồ Hoĩc-ne:(để hạ bậc và tìm đa thức thương) ai f x 10 -91 90 -102 80 -21 1 x 10 -76 52 -76 42 0 2 1 4 3 2 f (x) x 10x 76x 52x 76x 42 2 1 4 3 2 1 2 x 5x 38x 26x 38x 21 2 x g x 2 2 Tương tự đối với g(x): Ta cĩ p \ 21 1, 3, 7, 21 (a0 = -21) 0q \ 5 1; 5 (an = 5) Người viết:Nguyễn Văn Đặng 6
7. Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử 1 3  S 1; ; 3; ;  5 5  Ta thử các giá trị trong tập S xem tại giá trị nào làm cho g(x) = 0 và ta thấy g (7) 0 x 7 là nghiệm. Dùng sơ đồ Hoĩc-ne:(để hạ bậc và tìm đa thức thương) ai g x 5 -38 26 -38 21 x 7 5 -3 5 -3 0 1 3 2 1 f (x) 2 x x 7 5x 3x 5x 3 2 x x 7 h x 2 2 Tương tự đối với h(x): Ta cĩ p \ 3 1; 3 (a0 = -21) 0q \ 5 1; 5 (an = 5) 1 3 S 1; ; 3;  5 5 Ta thử các giá trị trong tập S xem tại giá trị nào làm cho h(x) = 0 và ta 3 3 thấy h( ) 0 x là nghiệm. 5 5 Dùng sơ đồ Hoĩc-ne:(để hạ bậc và tìm đa thức thương) ai h x 5 -3 5 -3 3 x 5 0 5 0 5 3 2 3 2 h(x) x 5x 5 5 x x 1 5 5 Và như vậy ta được: 1 3 2 1 3 2 f (x) 2 x x 7 5 x x 1 10 x x 7 x x 1 2 5 2 5 Ví dụ 2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f ( x) x 5 8 x 4 21x 3 34 x 2 80 x 96 Người viết:Nguyễn Văn Đặng 7