SKKN Một số yếu tố về phương trình – hệ phương trình tuyến tính. Ứng dụng giải toán có lời văn ở Tiểu học

Nội dung text: SKKN Một số yếu tố về phương trình – hệ phương trình tuyến tính. Ứng dụng giải toán có lời văn ở Tiểu học

1. Một số yếu tố về phương trình – hệ phương trình tuyến tính. Ứng dụng giải toán có lời văn ở Tiểu học. PHẦN A: MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Khoa học ngày càng phát triển để đáp ứng với sự phát triển đó đòi hỏi tất cả các lĩnh vực của đời sống phải đổi mới sao cho phù hợp. Trong đó đổi mới nội dung và phương pháp dạy học được xem là vấn đề trung tâm và được xã hội đặc biệt quan tâm. Cùng với các môn học khác ở Tiểu học thì môn Toán đống vai trò quan trọng trong việc rèn phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề. Góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ sáng tạo, độc lập và hình thành nhân cách con người Việt Nam. Trong năm mạch kiến thức toán ở Tiểu học là Số học, Đại lượng và đo đại lượng, Hình học, Yếu tố thống kê và Giải toán có lời văn thì Giải toán có lời văn và Số học nói chung, Yếu tố đại số nói riêng đóng vai trò quan trọng, trong đó nội dung chủ yếu của nó là phương trình và hệ phương trình tuyến tính được trình bày ở dạng ẩn thông qua các bài toán có lời văn từ lớp 1 đến lớp 5. Vì thế nghiên cứu phương trình và hệ phương trình tuyến tính trong việc áp dụng giải toán có lời văn trong chương trình toán ở Tiểu học giúp giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn, khả năng truyền thụ kiến thức cho học sinh. Qua đó các em có thể giải được các bài toán một cách nhanh nhất và dễ hiểu hoặc vận dụng để giải nhiều cách khác nhau theo phương pháp Số học. Ngoài ra để góp phần củng cố kiến thức, nâng cao tính sáng tạo, tích cực chủ động cho học sinh thì việc sáng tạo ra bài toán mới trong dạy học rất quan trọng và có ý nghĩa. Dựa vào những bài toán đã cho, giáo viên có thể sáng tạo ra bài toán mới và nâng dần độ khó từ đó có thể lấy làm đề kiểm tra, thi học sinh giỏi Đồng thời hướng dẫn các em vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đã học không máy móc, rập khuôn. 2. Lịch sử vấn đề Giải toán là một trong những nội dung cơ bản, quan trọng và xuyên suốt trong chương trình Tiểu học. Vấn đề phương trình và hệ phương trình đã được nhiều tác giả đề cập đến, tiêu biểu như: - Phương pháp giải Toán 10 của Lê Quý Mậu – Lê Quang Ánh nhà xuất bản Đà Nẵng. - Toán nâng cao Đại số 10 của Phan Huy Khải nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội. - Đại số sơ cấp của Vũ Tuấn nhà xuất bản Hà Nội 1997. Ngoài ra phải kể đến một số đề tài nghiên cứu của các bạn sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học như: - Phương trình và hệ phương trình trong môn Toán lớp 5 của Nguyễn Thị Lan 2001 – 2005. - Một số vấn đề về phương trình – hệ phương trình và ứng dụng vào giải Toán ở Tiểu học 2004 – 2008 của Trương Thị Ngọc Anh. Hoàng Thị Thường – gv trường TH số 1 Quảng Sơn. 1
2. Một số yếu tố về phương trình – hệ phương trình tuyến tính. Ứng dụng giải toán có lời văn ở Tiểu học. - Vận dụng phương pháp Đại số để giải một số dạng toán có lời văn trong chương trình Toán lớp 4, 5 và sáng tác đề Toán ở Tiểu học của Đoàn Thị Thúy. Cuối cùng phải kể đến các tác giả viết sách Tiểu học như: Một số thủ thuật giải Toán lớp 4 – 5 của Phạm Đình Thực. Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4 của Nguyễn Ánh. Một số bài toán điển hình ở Tiểu học của Đỗ Trung Hiệu. 3. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài này nhằm: - Góp phần củng cố những kiến thức về Đại số sơ cấp của sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học, giúp sinh viên tìm thấy sự liên quan giữa các kiến thức đã được trang bị với chương trình môn Toán ở Tiểu học. - Nêu ra được sự vận dụng của phương trình, hệ phương trình tuyến tính trong việc giải các dạng toán có lời văn ở Tiểu học. - Giúp giáo viên và học sinh có thể giải các bài toán trong sách giáo khoa và một số bài toán có lời văn khó trong chương trình Tiểu học một cách dễ dàng hơn. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu đề tài này chúng tôi thực hiện những nhiệm vụ sau: + Nghiên cứu lý thuyết chung về phương trình và hệ phương trình tuyến tính. + Tìm hiểu một số dạng toán có lời văn và phương pháp giải toán có lời văn thường gặp ở Tiểu học. - Giải bài toán dựa trên thao tác cấu trúc hóa bằng phương trình và hệ phương trình tuyến tính. - Lý giải cách thức chuyển từ phương trình, hệ phương trình tuyến tính sang cách giải phù hợp với học sinh Tiểu học. - Ứng dụng phương trình, hệ phương trình để sáng tác đề toán ở Tiểu học. 5. Đối tượng nghiên cứu - Các kiến thức về phương trình, hệ phương trình tuyến tính và chương trình toán học hiện đại. - Ứng dụng của phương trình, hệ phương trình tuyến tính trong việc giải các dạng toán có lời văn trong chương trình toán Tiểu học. 6. Phạm vi nghiên cứu - Nội dung về phương trình – hệ phương trình tuyến tính và chương trình toán học hiện đại và một số bài toán có lời văn, các bài toán khó trong chương trình toán Tiểu học. – Bộ sách giáo khoa Toán 1, 2, 3, 4, 5. 7. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. - Phương pháp khảo sát. - Phương pháp phân tích tổng hợp. - Phương pháp so sánh đối chiếu. 8. Giả thuyết khoa học Nếu nghiên cứu đề tài thành công sẽ góp phần nâng cao hiệu quả trong việc xây dựng cách giải cho một bài toán Tiểu học từ đó hướng dẫn các em học sinh giải các bài toán tốt hơn. Hoàng Thị Thường – gv trường TH số 1 Quảng Sơn. 2
3. Một số yếu tố về phương trình – hệ phương trình tuyến tính. Ứng dụng giải toán có lời văn ở Tiểu học. 9. Cấu trúc của đề tài Nội dung chính gồm 3 chương: - Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài. - Chương 2: Phân tích một số dạng toán có lời văn và các phương pháp giải toán thường gặp ở Tiểu học. - Chương 3: Giải toán có lời văn ở Tiểu học và xây dựng bài toán mới dựa trên thao tác cấu trúc hóa bài toán bằng phương trình và hệ phương trình tuyến tính. Hoàng Thị Thường – gv trường TH số 1 Quảng Sơn. 3
4. Một số yếu tố về phương trình – hệ phương trình tuyến tính. Ứng dụng giải toán có lời văn ở Tiểu học. B. PHẦN NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài 1.1. Lý thuyết chung về phương trình và hệ phương trình tuyến tính 1.1.1. Phương trình tuyến tính 1.1.1.1. Phương trình Đại số tổng quát Cho 2 biểu thức f(x,y, z) và g(x,y, z) lần lượt có tập xác định là D f và D g. Kí hiệu: D = D f  D g và giả thiết D ≠ 0 Bài toán tìm tất cả giá trị x D sao cho f(x ) = g(x ) khi đó ta viết: 0 0 0 f(x,y, z) = g(x,y, z). (I) (I) gọi là phương trình n ẩn Biểu thức f(x, y, z) gọi là vế trái, g(x, y, z) gọi là vế phải của phương trình. x, y, z gọi là các ẩn của phương trình Mỗi bội số(x 0 , y 0 , z 0 ) thoả mãn (I) được gọi là một nghiệm của phương trình (I). Tập S = (x, y, z) D: f(x 0 , y 0 , z 0 ) = g(x 0 , y 0 , z 0 ) gọi là một tập nghiệm của phương trình (I). Khi đó ta nói: - Phương trình (I) có vô số nghiệm nếu S =  . - Phương trình (I) có nghiệm duy nhất nếu S chỉ có 1 phần tử. - Phương trình (I) có vô số nghiệm hoặc vô định nếu S có vô số phần tử. Một phương trình được gọi là phương trình Đại số nếu cả 2 vế của nó đều là biểu thức Đại số. Ví dụ: Các phương trình : 4x + 1 = 13 x 2 - 2x + 1 = 0 Một phương trình được gọi là phương trình Siêu việt nếu ít nhất 1 trong 2 vế là biểu thức Siêu việt. 1.1.1.2. Phương trình bậc nhất 1 ẩn a. Định nghĩa: Cho phương trình: ax + b = 0 (1) trong đó a, b K , x là ẩn. Phương trình (1) là dạng chính tắc của phương trình bậc nhất 1 ẩn trên trường K. b. Giải và biện luận: Phương trình ax + b = 0. a, b K. b + a # 0: Phương trình có nghiệm duy nhất x = - . a + a = 0: Nếu b # 0: Phương trình vô nghiệm. Nếu b = 0: Phương trình có vô số nghiệm. c.Ví dụ: Giải và biện luận phương trình: 2(m + 1)x – m(x – 1) = 2m + 3 (1). Giải: (1) (m + 2)x = m + 3. * Với m = -2: Phương trình có dạng 0x = 1 ( Phương trình vô nghiệm ). m 3 * Với m # -2: Phương trình có nghiệm x = . m 2 1.1.1.3. Phương trình bậc nhất hai ẩn a. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: Hoàng Thị Thường – gv trường TH số 1 Quảng Sơn. 4
5. Một số yếu tố về phương trình – hệ phương trình tuyến tính. Ứng dụng giải toán có lời văn ở Tiểu học. ax + by = c (2). Trong đó: a, b ,c K; x, y là hai ẩn; a, b # 0. a, b được gọi là các hệ số, c gọi là hằng số của phương trình (2). b. Giải và biện luận: Phương trình: ax + by = c (2). Với : a, b K và a, b # 0. Có 3 trường hợp sau: * Trường hợp 1: a # 0, b # 0 ta có: c by + ax + by = c x = . a c ax + ax + by = c y = . b c by x a Vậy phương trình (2) có nghiệm là: c ax y b * Trường hợp 2: Nếu a = 0, b # 0 ta có: c by = c y = . b c y Vậy phương trình (2) có nghiệm là: b x k * Trường hợp 3: Nếu a # 0, b = 0 ta có: c ax = c x = . a c x Vậy phương trình (2) có nghiệm là: a y z c. Ví dụ: Giải và biện luận phương trình: mx – 2(m + 3)y = 6 (2). * Trường hợp 1: m # 0 và m # -3. 2(m 3)y 6 x m Phương trình(2) có nghiệm là: mx 6 y 2(m 3) Hoàng Thị Thường – gv trường TH số 1 Quảng Sơn. 5
6. Một số yếu tố về phương trình – hệ phương trình tuyến tính. Ứng dụng giải toán có lời văn ở Tiểu học. * Trường hợp 2: Nếu m = 0. Phương trình - 6y = 6. y 1 Vậy phương trình (2) có nghiệm là: x k . * Trường hợp 3: Nếu m = -3. Phương trình - 3x = 6. x 2 Vậy phương trình (2) có nghiệm là: y k 1.1.1.4 . Phương trình bậc nhất nhiều ẩn a. Định nghĩa: Xét phương trình bậc nhất đối với các ẩn x, y, , z. ax + by + + cz + d = 0 (3). Trong đó: a, b, , c, d K. b. Giải và biện luận: * Trường hợp 1: Nếu ít nhất một trong các hệ số a, b, c # 0 chẳng hạn a # 0 ta có: d by cz x = (3’). a Vậy các bộ giá trị (x, y, , z) trong đó y, , z lấy giá trị tuỳ ý trong K và x được tính theo công thức (3’) là nghiệm của phương trình (3). * Trường hợp 2: Nếu a = b = c = 0 ta xét 2 trường hợp sau: - d # 0: phương trình vô nghiệm. - d = 0: phương trình có vô số nghiệm(x, y, , z) với x, y, , z tuỳ ý K. 1.1.2. Hệ phương trình tuyến tính 1.1.2.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Cho m phương trình: f1(x) = g1(x) có miền xác định D1. f2(x) = g2(x) có miền xác định D2. . Fm(x) = gm(x) có miền xác định Dm. f1(x) = g1(x). Khi đó hệ phương trình kí hiệu: f2(x) = g2(x). . (1). . Fm(x) = gm(x). Hoàng Thị Thường – gv trường TH số 1 Quảng Sơn. 6