SKKN Hướng dẫn học sinh Lớp 6 giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trong N

Nội dung text: SKKN Hướng dẫn học sinh Lớp 6 giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trong N

1. Phần một : đặt vấn đề Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, vì thế môn toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trường. Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng trong lao động, trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu khoa học Để giúp HS học tốt môn toán đòi hỏi người thày giáo phải có sự lao động sáng tạo nghiêm túc. Một vấn đề lớn trong chương trình toán THCS là vấn đề chia hết. Vấn đề này được đưa vào từ lớp 5, phát triển ở lớp 6, lớp 7 và được đề cập trong những bài toán nâng cao dành cho học sinh giỏi ở lớp 8, lớp 9. Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là ở lớp 6 thì vấn đề chia hết là một nội dung hay đề cập đến và thường là những bài khó. Các bài toán về chia hết nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập như SGK thì rất dễ nhưng các bài toán nâng cao thì rất khó, đa dạng và không có một quy tắc chung nào để giải, phải sử dụng các phương pháp khác nhau một cách linh hoạt, sáng tạo. Trong khi năng lực tư duy, khả năng phân tích tổng hợp của HS còn hạn chế nên HS thường bế tắc trong việc tìm ra cách giải cho loại toán này. Vấn đề đặt ra trong việc giải toán là phải biết nhận dạng bài toán và lựa chọn phương pháp thích hợp để giải. Hơn nữa để giải được các bài tập nâng cao về tính chia hết thì ngoài việc nắm kiến thức cơ bản có trong chương trình, HS còn phai nắm vững một số kiến thức bổ sung mở rộng, những kiến thức này không được phân phối trong các tiết học nên HS ít được vận dụng và rèn luyện trừ khi gặp những bài tập khó.Vì thế kỹ năng vận dụng các kiến thức đó chưa được thành thạo, nhạy bén, HS thường mắc sai lầm như : Khi thấy một tổng chia hết cho m thì vội vã kết luận các số hạng chia hết cho m ; hoặc khi thấy a⋮m và a⋮n thì kết luận ngay là a⋮mn mà không xem xét xem m,n có nguyên tố cùng nhau hay không. Để giúp HS gải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến thức về tính chia hết, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dưỡng HS giỏi, góp phần vào việc “đào tạo và bồi dưỡng nhân tài”. Tôi xin trình bày kinh nghiệm “Hướng dẫn HS lớp 6 giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trong N”. Đây là sự đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho HS phương pháp nhận dạng các bài toán về tính chia hết và hướng dẫn phương pháp phân tích để có lời giải hợp lý. Phần hai : Giải quyết vấn đề A. Vấn đề cần giải quyết : Để làm được các bài tập nâng cao về tính chia hêt HS phải nắm được định nghĩa, các tính chất cơ bản về số nguyên tố, hợp số, các em phải nắm được tính chất chia hết có liên quan đến số nguyên tố như thế nào. Các em còn cần được mở rộng một ssó dấu hiệu chia hết, bổ sung một số kiến thức về ƯCLN, BCNN. Từ đó các em phải nắm được phương pháp cơ bản để giải bài toán về tính chất chia hết và các bài tập có liên quan. 1
2. Ngoài ra HS cần nắm được một số dạng toán điển hình về chia hết và có phương pháp giải quyết phù hợp đối với mỗi dạng. Có được kỹ năng này các em sẽ làm được các bài tập một cách nhanh gọn, linh hoạt. Để giải quyết được những vấn nêu trên HS cần phải phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo. Còn giáo viên là người thiết kế, hướng dấn các em, khơi dậy tư duy, tạo hứng thú học tập. Có như vậy chương trình dạy và học mới đạt hiệu quả cao. B. Các biện pháp tiến hành : I. Hệ thống lại các kiến thức cần ghi nhớ : Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng cố cho các em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức có liên quan, đó là: 1/ Định nghĩa : cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0). Ta nói a chia hế cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q . Ta còn nói a là bội của b hoặc b là ước của a, hoặc a chia hết cho b. 2/ Các tính chất về chia hết : * Tính chất chung : a) Số 0 chia hết cho mọi số b ≠ 0. b) Mọi số a ≠ 0 đều chia hết cho chính nó. c) Tính chất bắc cầu : Nếu a⋮b, b⋮c thì a⋮c. + Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu. d) Nếu a⋮m, b⋮m thì tổng a + b⋮m, a - b⋮m. + Hệ quả : - Nếu (a + b)⋮m (hoặc a - b⋮m) và a⋮m thì b⋮m. - Nếu (a + b)⋮m (hoặc a - b⋮m) và b⋮m thì a⋮m. e) Nếu a⋮m, b⋮m thì a + b⋮m, a - b⋮m ; Nếu a⋮m, b⋮m thì a + b⋮m, a - b⋮m. f) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m. + Hệ quả: Nếu a⋮m thì an⋮m (n là số tự nhiên ≠ 0). g) Nếu a⋮m, b⋮n thì ab⋮mn + Hệ quả : nếu a⋮b thì an⋮bn. h) Nếu A⋮B thì mA +nB⋮B , mA – nB⋮B. i) Nếu một tích chia hết cho một số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p. + Hệ quả: nếu an⋮p (p là số nguyên tố) thì a⋮p. j) Nếu ab⋮m, b và m, n guyên tố cùng nhau thì a⋮m. k) Nếu a⋮m, a⋮n thì a⋮BCNN(m,n) . + Hệ quả : - Nếu a⋮m, a⋮n, (m,n) = 1 thì a⋮mn - Nếu a chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì a chia hết cho tích của chúng. 2
3. 3/ Bổ sung một số dấu hiệu chia hết : Ngoài các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 mà HS đã được học trong chương trình SGK, cần bổ sung thêm một số dấu hiệu sau: a) Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25 : Một số chia hết cho 4 (hoặc cho25) khi và chỉ khi số đó có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 ( hoặc cho 25). b) Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 : Một số chia hết cho 8 (hoặc cho125) khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 ( hoặc cho 125). c) Dấu hiệu chia hết cho 10: Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0. d) Dấu hiệu chia hết cho 11 : Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các số đứng ở vị trí lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn (kể từ phải sang trái) chia hết chia 11. 4/ Bổ sung kiến thức về ƯCLN và BCNN : a) Thuật toán Ơclit : + Nếu a⋮b thì ƯCLN(a,b) = b. + Nếu a⋮b thì ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r). (r là số dư trong phép chia a cho b) b) ƯCLN(a,b). BCNN(a,b) = ab. 5/ Số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau : + Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, có hai ước là 1 và chính nó. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất. + Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước. + Hai hay nhiều số được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng bằng 1. II. Phân loại một số dạng toán điển hình và cách giải: Bài tập về tính chia hết rất phong phú và đa dạng. Trong phần này tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán điển hình, có thể phân loại như sau : 1/ Các bài toán áp dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết : * Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số: Để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số nào đó, ngoài việc sử dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết đã biết rồi còn phải tuỳ theo từng trường hợp cụ thể để kết hợp với một số kiến thức khác như :Các tính chất của các phép toán, phép luỹ thừa, tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa, phép chia có dư, cấu tạo số, số nguyên tố cùng nhau Cụ thể là : a) Kết hợp với các kiến thức về luỹ thừa và tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa : Ví dụ 1: Cho A = 2 + 22 + 23 + + 299 + 2100 . Chứng minh rằng A chia hết cho 31. 3
4. - Phương pháp : Chia tổng A thành từng nhóm thích hợp để biến đổi về dạng A = 31.Q rồi áp dụng tính chất : Giải: A = (2 + 22 + 23 + 24 + 25) + (26 + 27 + 28 + 29 + 210) + + (296 + 297 + 298 + 299 + 2100) = 2(1 + 2 + 22 + 23 + 24) + 26(1 + 2 + 22 + 23 + 24) + + 296(1 + 2 + 22 + 23 + 24) = 2.31 + 26.31 + +296.31 = 31(2 + 26 + + 296) Vậy A⋮31 Ví dụ 2 : Chứng minh rằng 34n + 1 + 2 ⋮5 với mọi n . - Phương pháp : Tìm chữ số tận cùng của 34n + 1 + 2 rồi sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5. Giải : 34n + 1 + 2 = (34)n . 3 + 2 = 81n .3 + 2 Những số có chữ số tận cùng là 1 thì khi nâng lên bất kỳ luỹ thừa nào khác 0 cũng vẫn có tận cùng là 1, do đó 81n có tận cùng là 1. ⇒ 81n .3 có tận cùng là 3 ⇒ 81n .3 + 2 có tận cùng là 5. vậy 81n .3 + 2 ⋮5 hay 34n + 1 + 2 ⋮5 . Ví dụ 3: Chứng minh rằng 1033 + 8⋮2 và 9 Giải : 1033 + 8 = 10 0 + 8 = 10 08 33 chữ số 0 32 chữ số 0 Số 10 08 có chữ số tận cùng là 8 nên ⋮2, có tổng các chữ số 33 chữ số 0 là 9 nên⋮9 b) Kết hợp với kiến thức về phép chia có dư : Ví dụ 4 : Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên a và b khi chia cho số tự nhiên c≠ có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho c . - Phương pháp: Sử dụng kiến thức về phép chia có dư để biểu diễn a, b rồi tìm hiệu của chúng. Giải : Ta có a = cq1 + r (0 ≤ r b, a – b = (cq1 + r) - (cq2 + r) = cq1 + r – cq2 - r = cq1- cq2 = = c(q1- q2) Vậy a – b⋮c - Khai thác bài toán : 4
5. Ta biết rằng số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3, cho 9 (theo cách chứng minh dấu hiệu chia hết cho 3, cho9). Từ đó rút ra nhận xét : Hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó chia hết cho 3, cho9. (Yêu cầu HS ghi nhớ nhận xét này để vận dụng giải bài tập). Ví dụ 5: Cho n∊N. Chứng minh rằng : n(n + 1)(2n + 1) ⋮6 Giải : + Trong 2 số tự nhiên liên tiếp luôn có một số là bội của 2 Do đó n(n + 1)(2n + 1) ⋮2. + Ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) ⋮3 thì n(n + 1)(2n + 1) ⋮6 (Vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau) Xét hai trường hợp : - Nếu n ⋮3 ⇒ n(n + 1)(2n + 1) ⋮3 ⇒ n(n + 1)(2n + 1) ⋮6 - Nếu n ⋮3 ⇒ n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (k∊ N) Khi n = 3k + 1 thì 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3⋮3 ⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮3⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮6 Khi n = 3k + 2 thì n + 1 = (k + 2) + 1 = 3k + 3⋮3 ⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮3⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮6 Vậy :Trong mọi trường hợp ta luôn có n(n + 1)(2n + 1)⋮6 c) Sử dụng cấu tạo số để biến đổi: Ví dụ 6: Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng: 2a + 3b + c chia hết cho 7. - Phương pháp: Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích abc thành tổng của hai số hạng: một số hạng là bội của 7, một số hạng là 2a + 3b + c Giải: Ta có abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c = (98a + 7b) + (2a + 3b + c) = 7(14a + b) + (2a + 3b + c) Mà 7(14a + b) chia hết cho 7 Do đó (2a + 3b +c) chia hết cho 7 Ví dụ 7: Với a, b là những chữ số ≠ 0. Hãy chứng minh: a) aaabbb chia hết cho 37 b) (abab – baba) chia hết cho 9 và 101 (a > b) - Phương pháp: Dùng cấu tạo số để biến đổi về dạng A = BQ Giải: a, aaabbb = 1000 aaa + bbb = 1000.111a + 111b = 111(1000a + 6) = 337 (1000a +b) Vậy aaabbb chia hết cho 37 d. Toán về chia hết có liên quan đến hai số nguyên tố cùng nhau: Ví dụ 8: 5