Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng những hằng đẳng thức vào giải Toán Lớp 8

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng những hằng đẳng thức vào giải Toán Lớp 8

1. PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ Trên bước đường cải tiến và đổi mới phương pháp dạy học cùng với những nhiệm vụ quan trọng mà Đảng và Nhà nước ta đã vạch ra thì trách nhiệm của đội ngũ giáo viên chúng ta là phải hình thành được ở học sinh những cơ sở, nhân cách của người Việt Nam, cĩ lối sống văn hĩa lành mạnh cĩ học vấn cao, cĩ hiểu biết và chiếm lĩnh được những nội dung của khoa học tự nhiên và xã hội, gĩp phần cho sự phát triển của đất nước trong tương lai. Tốn học là một bộ phận khoa học kỹ thuật cao nhất đồng thời là chìa khĩa mở cửa tạo nền cho các ngành khoa học khác. Là bộ mơn chiếm ưu thế quan trọng trong giáo dục đặc biệt là dạy học, nĩ địi hỏi ở người thầy giáo một sự lao động nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh và giải các bài tốn cũng là nhiệm vụ trung tâm của người thầy dạy tốn. Trong chương trình đại số lớp 8 thì chương I “ Phép nhân và phép chia các đa thức” trong đĩ cĩ các bài: “Những hằng đẳng thức đáng nhớ”. Với tất cả 3 tiết lí thuyết và 2 tiết luyện tập thì học sinh phần nào đã hiểu và nắm được những kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức. Nhưng việc nắm chắc và hiểu sâu để sau này vận dụng vào các kiến thức cĩ liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức và xa hơn nữa là các dạng tốn như: tìm cực trị, chứng minh chia hết cũng được vận dụng những hằng thức rất nhiều. Do đĩ mức độ kiến thức mà các em đạt được chưa thể nĩi là thỏa mãn các yêu cầu người dạy và người học tốn. Chính vì lí do đĩ tơi đã lựa chọn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “ Vận dụng những hằng đẳng thức vào giải tốn lớp 8” nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp học và làm tốn, nắm được kiến thức cơ bản, cách tư duy và phương pháp sử dụng linh hoạt những hằng đẳng thức vào giải tốn. Từ đĩ tạo nên điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt những kiến thức liên quan sau này. Đây chỉ là những kinh nghiệm ít ỏi qua quá trình giảng dạy mơn tốn lớp 8, tơi cũng mạnh dạn xin nêu ra đây để được cùng trao đổi với quý đồng nghiệp và xin ghi nhận mọi sự đĩng gĩp ý kiến để tơi tích lũy thêm được nhiều kinh nghiệm hơn nữa trong sự nghiệp “trồng người” của mình. PHẦN B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. THỰC TRẠNG. Trong thực tế giảng dạy tốn ở trường THCS nĩi chung và ở trường THCS Châu Bình nĩi riêng việc làm cho học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học để giải các bài tốn là cơng việc rất quan trọng và khơng thể thiếu được của người dạy tốn. Vì thơng qua đĩ cĩ thể rèn luyện được tư duy logic, khả năng sáng tạo, khả năng vận dụng cho học sinh. Để làm được điều đĩ người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản, các phương pháp vận dụng và biến đổi phù hợp giúp cho học sinh hiểu được thực chất của vấn đề để từ đĩ cĩ các kĩ năng giải tốn thành thạo, thốt khỏi tâm lí chán nản và sợ mơn tốn. Năm học 2010-2011 tơi được nhà trường phân cơng giảng dạy bộ mơn tốn lớp 8A ngay từ đầu năm học. Sau khi học xong nội dung bài “Những hằng đẳng thức 1
2. đáng nhớ” tơi đã cho các em làm bài kiểm tra viết, thời gian làm bài 45 phút với mục tiêu: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng những hằng đẳng thức vào làm bài tập. Kết quả thu được như sau: KẾT QUẢ ĐIỂM TRƯỚC KHI VẬN DỤNG ĐỀ TÀI Lớp Sĩ số Giỏi Khá Tb Yếu SL % SL % SL % SL % 8A 36 2 5,6 13 36,1 16 44,4 5 13,9 Kết quả trên đã chứng tỏ được rằng: Hầu hết các em đã ghi lại được nội dung của bảy hằng đẳng thức nhưng khi cho các em bài tập cần vận dụng những hằng đẳng thức đĩ thì cịn cĩ một số học sinh rất ngượng ngập, không tìm ra lời giải, chưa chịu khĩ suy nghĩ, chứng tỏ kiến thức cịn mang tính nhồi nhét thụ động, đứng trước một bài tốn tự mình giải cịn chưa cĩ niềm tin. Bên cạnh đĩ một số học sinh cịn cĩ tâm lí chán nản và tỏ ra sợ mơn tốn mỗi khi vào học tiết tốn. Rất nhiều học sinh lớp 9 hiện nay cũng chưa hiểu và nắm chắc các hằng đẳng thức để cĩ thể vận dụng linh hoạt vào giải các dạng tốn. Kết quả là nhiều bài tốn học sinh khơng giải được hoặc giải sai. Bên cạnh đĩ rất nhiều kiến thức về đại số liên quan đến những hằng đẳng thức nếu biết sử dụng những hằng đẳng thức để xử lí thì thì bài tốn sẽ cĩ nhiều cách giải ngắn gọn hơn, giúp các em phát triển tư duy một cách tích cực hơn. II. NGUYÊN NHÂN Trong chương trình sách giáo khoa hiện nay thì khơng phải bất cứ người học nào cũng cĩ thể đáp ứng được những yêu cầu đưa ra, nhất là đối với những đối tượng là học sinh ở vùng sâu, vùng xa, ở địa phương cĩ điều kiện kinh tế cịn khĩ khăn nĩi chung và học sinh của trường THCS Châu Bình nĩi riêng. Địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình khơng ổn định, cịn khĩ khăn nên ít nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của các em. Bên cạnh đĩ, một số học sinh cịn ham chơi, lười học, ngồi học trong lớp chưa tập trung cịn cĩ tâm lí chán nản và sợ học mơn tốn. Khi kiểm tra các em về lý thuyết thì cĩ vẻ như rất hiểu bài nhưng khi yêu cầu các em làm thêm phần bài tập vận dụng thì rất lúng túng và khĩ khăn để trình bày. Cách học của các em là nhồi nhét, học thụ động, học để chống đối sự kiểm tra của giáo viên, các em cho rằng: Chỉ cần học thuộc lý thuyết là cĩ thể làm được bài tập mà các em quên rằng: “ Học phải đi đơi với hành” . Vì vậy việc chuẩn bị tốt cho học sinh những kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là những phương pháp giải các bài tốn cĩ liên quan đến hằng đẳng thức thật vơ cùng quan trọng. Qua đĩ giúp các em khắc sâu được kiến thức, kích thích khả năng tư duy, khả năng quan sát, sáng tạo, rèn cho các em kĩ năng phân tích, tổng hợp, tư duy suy luân lơgic. Hơn thế nữa giúp các em sẽ cĩ được “niềm tin” trong học tập. Với thực tế này tơi xác định phải tự tìm cho mình một cách dạy về các hằng đẳng thức sao cho phù hợp được với thực tế, kích thích được ĩc suy nghĩ của các em. Giúp các em nâng cao chất lượng của bộ mơn tốn, các em có tư duy để linh hoạt sử dụng các hằng đẳng thức vào giải toán khi cần thiết, các em thấy hứng 2
3. thú và yêu thích mơn học hơn. Hơn thế nữa giúp các em cĩ niềm tin để lĩnh hội tốt, học tốt các kiến thức sau này. III. GIẢI PHÁP 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN * Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. 1. (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 2. (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 3. A2 – B2 = (A– B) (A+B) 4. (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5. (A– B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 6. A3 + B3 = (A+ B) (A2 – AB + B2 ) 7. A3 – B3 = (A– B) (A2 + AB + B2 ) * Một số hằng đẳng thức tổng quát ( Dành cho học sinh giỏi) 1. (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 2. an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) 3. a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + + a2k-3b2 –b2k-1) 4. a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - + b2k) 5. (a + b)n = an + nan-1b + n(n 1) an-2b2+ +n(n 1) a2bn-2 +nabn-1 + bn 1.2 1.2 6. (a -b)n = an - nan-1b + n(n 1) an-2b2- -n(n 1) a2bn-2 +nabn-1 - bn 1.2 1.2 2. VẬN DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TỐN: 2.1. Làm thế nào để học sinh tránh được những lỗi cơ bản khi vận dụng hằng đẳng thức vào giải tốn? Ngay sau khi học xong hai hằng đẳng thức: Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu. Tơi cĩ mời hai em học sinh ( học lực trung bình khá) lên bảng với các yêu cầu sau: Học sinh 1: a/ Viết cơng thức bình phương của một tổng hai biểu thức A, B ? b/ Tính: ( x + 1)2 ; (2x + 3y)2 Học sinh 2: a/ Viết cơng thức bình phương của một hiệu hai biểu thức A, B ? b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: x2 – 6xy + = ( – 3y )2 – 4y + 4 = ( – 2 )2 Kết quả các em thực hiện như sau: Học sinh 1: a/ (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 b/ ( x + 1)2 = x2 + 2x + 1 ( 2x + 3y)2 = 2x2 + 12xy + 3y2 3
4. Học sinh 2: a/ (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: x2 – 6xy + 3y2.= ( x. – 3y )2 y2. – 4y + 4 = ( y. – 2 )2 Điều đĩ chứng tỏ rằng với các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là một số hoặc chỉ gồm một biến thì các em cĩ thể dễ dàng vận dụng được hằng đẳng thức vào làm bài tập. Tuy nhiên khi A, B là các biểu thức phức tạp hơn thì các em lại hay bị mắc phải sai lầm như bài tập trên. Vậy làm thế nào để các em hạn chế được tối đa những sai lầm trên? Trước hết tơi lưu ý các em phải sử dụng dấu ngoặc và lũy thừa của cả biểu thức đĩ hoặc ta cĩ thể viết hằng đẳng thức dưới dạng: ( + )2 = 2 + 2 . . + 2 Ví dụ 1: ( 2x + 3y )2 = 2x 2 + 2 . 2x . 3y + 3y2 = 4x2 + 12xy + 9y2 Sau khi hướng dẫn tơi đã yêu cầu một học sinh đứng tại chỗ sửa chỗ bài làm sai của bạn, kết quả: x2 – 6xy + (3y)2 = (x – 3y )2 hay x2 – 6xy + 9y2 = (x– 3y )2 Qua tiết học đĩ trên lớp, phần lớn các em đã vận dụng vào làm được bài tập và cịn vận dụng vào các hằng đẳng thức tiếp theo. Ví dụ 2: Tính ( 2x2 + 3y)3 ? Kết quả: ( 2x2 + 3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3 . 2.2. Vận dụng hằng đẳng thức vào làm các dạng bài tập: 2.1.1. Rút gọn các biểu thức. Ví dụ 1: a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) – (54 + x3) b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x– y)( 4x2 + 2xy + y2) Sau khi đưa đề bài lên bảng cho các em thảo luận và trình bày bài làm của nhĩm mình thì tơi thấy phần lớn các nhĩm đã làm như sau: a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) – (54 + x3) = x3 – 3x2 + 9x + 3x2 – 9x + 27 – 54 – x3 = - 27 b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2) = 8x3 – 4x2y + 2xy2 + 4x2y – 2xy2 + y3 – 8x3 – 4x2y – 2xy2 + 4x2y + 2xy2 + y3 = 2y3 4
5. Tạm chấp nhận với lời giải đĩ, tơi đưa ra tiếp bài tập: Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: ( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2 Kết quả là hầu hết các em đều khơng làm được. Tơi đã nhận ra được một điều, đĩ là: Hầu như các em học rất hình thức, sau khi cĩ đề bài là các em bắt tay vào làm tất cả những gì mà các em cĩ thể làm được mà khơng quan sát, tư duy để cĩ thể tìm được lời giải nhanh hơn, ngắn gọn hơn, thích hợp hơn. Do đĩ ngay sau khi giới thiệu đề bài tơi đã đặt câu hỏi: “Các em hãy quan sát kĩ đề bài và thử phát hiện các biểu thức đã cho cĩ gì đặc biệt ?” để từ đĩ các em hình thành cho mình được thĩi quen phải biết quan sát, biết đặt những câu hỏi phân tích, tự trả lời và tìm cho mình được lời giải thích hợp nhất. Kết quả là các em đã nhận ra được các hằng đẳng thức trong các biểu thức đĩ và rất tự tin bắt tay và làm bài: Ví dụ 1: a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) – (54 + x3) = x3 + 27 – 54 – x3 = - 27 b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 + y3 – [(2x)3 – y3] = 8x3 + y3 – 8x3 + y3 = 2y3 Ví dụ 2: ( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2 = [( x + y + z ) – (x+ y)]2 = (x + y + z – x –y )2 = z2 Tơi nhận thấy cần phải lưu ý cho các em thấy được: “A; B” trong các hằng đẳng thức cĩ thể là một đơn thức nhưng cũng cĩ thể là một đa thức. 2.1.2. Phân tích đa thức thành nhân tử: Trước hết tơi chuẩn bị bảng phụ: Hãy điền các biểu thức thích hợp vào vế cịn lại của các hằng đẳng thức : 1. A2 + 2AB + B2 = 2. A2 – 2AB + B2 = 3. A2 – B2 = 4. A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = 5. A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = 6. A3 + B3 = 7. A3 – B3 = . 5