Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để giải toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để giải toán

1. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học 2009-2010 Vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để giải toán I) MỞ ĐẦU: Trong đại số 8 hằng đẳng thức đáng nhớ là một nội dung rất quan trọng và cần thiết. Việc nắm vững, nhận dạng, để vận dụng các hằng đẳng thức vào giải toán là một nhu cầu không thể thiếu khi học chương1 đại số 8. Tuy nhiên khi vận dụng học sinh thường gặp phải những thuận lợi và khó khăn cần phải khắc phục sau: 1. Thuận lợi: * Vận dụng tốt hằng đẳng thức đáng nhớ để giải toán, Học Sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, bài giải gọn và hạn chế nhiều sai sót khi biến đổi. * Hằng đẳng thức đáng nhớ là một công cụ không thể thiếu trong vốn kiến thức của Học Sinh, để vận dụng giải bài toán từ lúc bắt đầu học cho đến các lớp trên. * Khi vận dụng hằng đẳng thức tốt, Học Sinh sẽ có kết quả bất ngờ, đầy hứng thú, kích thích tinh thần say mê học toán. 2. Khó khăn: * Học Sinh thường gặp những bài toán mà khi biến đổi mới thấy được cần áp dụng dạng hằng đẳng thức nào. * Phạm vi vận dụng hằng đẳng thức để giải toán rộng, nên không biết khi nào thì áp dụng. * Khi vận dụng hằng đẳng thức thì Học Sinh còn nhầm lẫn về luỹ thừa, biểu thức, dấu, dẫn đến bế tắc. ❖ Do đó để vận dụng tốt hằng đẳng thức vào giải toán Đại Số lớp 8 (Chương I: phép nhân và phép chia các đa thức) Học Sinh cần: o Học thuộc lòng các hằng đẳng thức đáng nhớ o Biết phối hợp với một số kiến thức khác o Sử dụng chính xác hằng đẳng thức mà nội dung từng bài toán yêu cầu. o Kết hợp với biến đổi, tính toán , rút gọn . GV: Nguyễn Kim Chánh 1 Sáng kiến kinh nghiệm
2. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học 2009-2010 II)KẾT QUẢ: Để học sinh có kết quả khả quan khi học Đại Số từ lớp 8 trở đi thì học sinh cần nắm chắc nội dung và cách giải quyết một số bài toán dạng hằng đẳng thức sau: 1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ: A. 7 hằng đẳng thức:(SGK) Với A, B là các biểu thức • (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 • (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 • A2 – B2 = (A + B)(A – B) • (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3 • (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 •A 3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) •A 3 – B3 = (A – B) (A2 + AB +B2) B. Các hằng đẳng thức liên quan: • (A + B)2 = (A –B)2 + 4AB • (A – B)2 = (A +B)2 – 4AB •A 3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B) •A 3 - B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B) • (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC) C. Các hằng đẳng thức dạng tổng quát: • (A + B)n = An + n An-1B + . . .+ n ABn-1 + Bn •A n – Bn = (A – B) (An-1 + An-2B + . . . +ABn-2 + Bn-1) 2 2 2 2 •(A 1 + A2 + . . . +An) = A1 + A2 + . . . + An + 2(A1A2 + A1A3+. . . +An-1An) 2. Aùp dụng: Chúng tôi tạm chia theo nội dung sau, nhưng tất cả đều sử dụng hằng đẳng thức để giải. A. Thực hiện các phép tính: Phương pháp: Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào. Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức. Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta có kết quả (có thể kết quả không gọn). Bài tập: a. (a – b – c)2 – (a –b + c)2 b. (a – x – y )3 – (a + x – y )3 c. (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a – 1)(a2 + 1)(a – 2) d. (1 – x - 2x3 + 3x2)(1 – x + 2x3 – 3x2) e. (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 + a +1) Giải: e. (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 + a +1) = (a + 1) (a – 1) (a2 – a + 1) (a2 + a +1) GV: Nguyễn Kim Chánh 2 Sáng kiến kinh nghiệm
3. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học 2009-2010 = [(a + 1) (a2 – a +1)] [(a – 1) (a2 + a + 1)] = (a3 +1) (a3 – 1) = (a3)2 – 1 = a6 – 1 B. Rút gọn biểu thức: Phương pháp: Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào. Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức. Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta có kết qủa thường thì kết quả rất gọn). Bài tập: a. (2x + y) (4x2 – 2xy + y2) – (2x – y) (4x2 + 2xy + y2) b. 2(2x + 1) (3x – 1) + (2x +1)2 + (3x – 1)2 c. (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x –y +z) . (y – z) d. (x – 3) (x + 3) – (x - 3)2 e. (x2 – 1) (x +2) – (x – 2) (x2 + 2x +4) Giải: c. (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x –y +z) (y – z) = (x – y + z)2 - 2(x – y + z) (z – y) + (z – y)2 = [(x – y + z) – (z – y)]2 = (x – y + z –z + y)2 = x2 C. Tính nhanh: Phương pháp: Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào. Biến đổi hoặc thêm, bớt vào biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức. Thực hiện hằng đẳng thức và các phép tính ta có kết quả. Bài tập: a.3 4 . 54 – (152 + 1) (152 – 1) b. 452 + 402 – 152 + 80 . 45 c. 502 – 492 + 482 – 472 + . . . +22 - 12 d. 3(22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) e. (3 +1) (32 +1) (34 + 1) (38 + 1) (316 + 1) Giải: e. (3 +1) (32 +1) (34 + 1) (38 + 1)(316 + 1) 1 = .(32 – 1) (32 + 1) (34 + 1) (38 + 1) (316 + 1) 2 1 = .(34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)(316 + 1) 2 1 = . ( 38 - 1) (38 + 1) (316 + 1) 2 GV: Nguyễn Kim Chánh 3 Sáng kiến kinh nghiệm
4. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học 2009-2010 1 = . (316 - 1) (316 + 1) 2 1 = . (332 – 1) 2 D. Tính giá trị biểu thức: Phương pháp: Dựa vào hằng đẳng thức thu gọn biểu thức. Thay giá trị của biến vào biểu thức thu gọn. Thực hiện phép tính các số ta có kết quả. Bài tập: a. x2 – 2xy - 4z2 + y2 tại x = 6, y = - 4, z = 45 b.x 3 + 9x2 + 27x + 27 tại x = 97 c. 27 x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 tại x = 8, y = 25 d.x 2 - y2 tại: x = 87, y = 13 e. 5x2z – 10xyz + 5y2z tại x = 124, y = 24, z = 2 Giải: a. x2 – 2xy - 4z2 + y2 =( x2 – 2xy + y2 – 4z2 = (x – y)2 – (2z)2 =(x – y + 2z) (x – y – 2z) =(6 + 4 + 90) (6 + 4 – 90) =100 . (-80) = - 8000 E. Phân tích đa thức thành nhân tử: Phương pháp: Bản thân các hằng đẳng thức là ở dạng phân tích đa thức thành nhân tử. Dựa vào hằng đẳng thức để tìm ra nhân tử chung, hoặc nhóm hạng tử, hoặc tách hạng tử, hoặc thêm bớt cùng một hạng tử. Biết kết hợp để đưa đa thức về dạng tích các đa thức. Bài tập: a. (a + b) (a3 – b3) – (a – b) (a3 + b3) b.x 6 – y6 c. x(y + z)2 + y(x + z)2 + z(x + y)2 – 4xyz d.x 8 + x4 + 1 e.x 3 – 3x2 + 3x – 1 – y3 Giải: c. x(y + z)2 + y(x + z)2 + z(x + y)2 – 4xyz = x(y2 + 2yz + z2) + y(x2 + 2xz + z2) + z(x + y)2 – 4xyz = xy2 + 2xyz + xz2 + x2y + 2xyz + yz2 + z(x + y)2 – 4xyz =(xy2 + x2y) + (xz2 + yz2) + z(x + y)2 =xy(y + x) + z2(x + y) + z(x + y)2 GV: Nguyễn Kim Chánh 4 Sáng kiến kinh nghiệm
5. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học 2009-2010 =(x + y) [xy + z2 + z(x + y)] =(x + y) (xy + z2 + zx + zy) =(x + y) [(x(y +z) + z(y + z)] =(x + y) (y + z) (x + z) F. Chứng minh: có nhiều dạng Phương pháp: ❖ Chia hết: Dựa vào hằng đẳng thức Phân tích đa thức đã cho vềù dạng tích. Trong đó có ít nhất một thừa số chia hết cho số đó. Phân tích đa thức đã cho thành tổng. Trong đó các số hạng phải chia hết cho số đó. ❖ Biểu thức không phụ thuộc vào biến: Dựa vào hằng đẳng thức. Ta thực hiện các phép tính rút gọn kết quả không chứa biến. ❖ Biểu thức dương hoặc âm: Dựa vào hằng đẳng thức Đưa biểu thức về dạng f(x) > 0 với  x hoặc f(x,y) > 0 với x, y f(x) 0 (với x > 0, y > 0) e. Nếu x, y, z là độ dài 3 cạnh của tam giác thì A = 4x2y2 – (x2 + y2 - z2)2 luôn dương. Giải: c. Ta biết: 32007 3 Đặt 32007 = 3n 2007 Ta có: 1 + 23 = 1 + 23n = 13 + (2n)3 = (1 + 2n) ( 1 – 2n + 22n) (tích 2 thừa số khác 1 và 1 + 23n) 2007 Vậy: 1 + 23 không phải là số nguyên tố. G. Tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của biểu thức: Phương pháp: Nhỏ nhất: Min f(x) = m +Dựa vào hằng đẳng thức chứng minh: GV: Nguyễn Kim Chánh 5 Sáng kiến kinh nghiệm
6. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học 2009-2010 f(x) m (m là hằng số)  x0 : f(x0) = m Lớn nhất: Max f(x) = M +Dựa vào hằng đẳng thức chứng minh: f(x) M (M là hằng số)  x0: f(x0) = M Thông thường để làm loại toán này ta phải biến đổi để sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng (hoặc một hiệu), cộng (trừ) với một hằng số . Lưu ý: hệ số của x2 trong tam thức bậc 2 âm(hoặc dương) để tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất). Trường hợp: biểu thức là phân thức mà tử là một hằng số thì kết quả nghịch đảo với giá trị đa thức. Trường hợp: biểu thức có 2 biến ta nhóm lại làm cho từng biến như trên. Bài tập: a.x 2 - x + 1 b. x – x2 c.x 2 + y2 – x – 6y + 10 2 d. 6x 5 9x2 3 e. 2x2 2x 3 Giải: 2 2 c.x + y – x – 6y + 10 = (x2 – x + 1) + ( y2 – 6y + 9) 1 1 3 = (x2 – 2. x . + ) + (y – 3)2 2 4 4 1 3 3 =(x - )2 + + (y – 3)2 2 4 4 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 4 1 Khi: (x - )2 = 0 và (y – 3)2 = 0 2 1 => x - = 0 => y – 3 = 0 2 1 =>x = =>y = 3 2 GV: Nguyễn Kim Chánh 6 Sáng kiến kinh nghiệm
7. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học 2009-2010 H. Làm tính chia đa thức cho đa thức: Phương pháp: Xem đa thức bị chia hoặc đa thức chia ở dạng hằng đẳng thức nào. Biến đổi đa thức về dạng tích và rút gọn ta có kết quả. Bài tập: a. (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) : (x2 – 2xy +y2) b. (x2 – 2xy +y2) : (y – x) c. (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) : (x + y) d. (4x2 – 9y2) : (2x – 3y) e. (27x3 – 1) : (3x – 1) Giải: e. (27x3 – 1) : (3x – 1) = [(3x)3 – 1] : (3x – 1) = (3x – 1) (9x2 + 3x + 1) : ( 3x – 1) = 9x2 + 3x + 1 I. Tìm x: Phương pháp: Dựa vào hằng đẳng thức phân tích một vế thành tích các đa thức. Thu gon các thừa số, nhận xét và giải phương trình ax + b = 0, tìm x. Bài tập: a. (x – 2)3 – (x – 3) (x2 + 3x + 9) + 6(x + 1)2 = 15 b. 2x3 – 50x = 0 c. 5x2 – 4(x2 – 2x +1) – 5 = 0 d. x3 – x = 0 e. 27x3 – 27x2 + 9x – 1 = 1 Giải: c. 5x2 – 4(x2 – 2x +1) – 5 = 0 => 5(x2 – 1) – 4(x – 1)2 = 0 => 5(x + 1) . (x – 1) – 4(x – 1)2 = 0 => (x - 1) . [5(x + 1) – 4(x – 1)] = 0 => (x - 1) . (5x + 5 – 4x + 4) = 0 => (x – 1) . (x + 9) = 0 x - 1 = 0 => x = 1 x + 9 = 0 => x = - 9 GV: Nguyễn Kim Chánh 7 Sáng kiến kinh nghiệm