Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ I. Đặt vấn đề: Trong môn toán chúng ta không cần tìm ra những bài toán gốc, mà chỉ cần nhìn ra các dạng toán cơ bản bổ trợ cho mảng kiến thức trọng tâm. Qua thời gian giảng dạy -Bồi dưỡng -Phụ đạo-Ôn thi vào 10 tôi phát hiện rất nhiều vấn đề về hằng đẳng thức đáng nhớ, Thiết nghĩ “ đây là một khối kiến thức khổng lồ, là nề tảng cho học sinh từ khi tiếp cận cho tới những chặng đường tiếp theo”. Tôi đã khai thác, vận dụng một phần nhỏ vào công tác giảng dạy, ôn cho học sinh trong đơn vị. Tôi thấy có hiệu quả rõ rệt và đặc biệt là khơi dậy trong tâm hồn học sinh niềm đam mê tìm tòi, khám phá trong lĩnh vực toán học. Với thời lượng truyền thụ tìm hiểu đối với mảng kiến thức này trên lớp quá ít cho nên tôi đã mạnh dạn viết lại các vấn đề “ ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ” Để học sinh và giáo viên,đồng nghiệp tham khảo, áp dụng vào công tác học tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh trong đơn vị II. Giải quyết vấn đề: A. Lý thuyết: I. Những hằng đẳng thức đáng nhớ: 1. (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB 2. (A - B)2 = A2 + B2 - 2AB 3. A2 – B2 = (A + B) (A – B) 4. (A3 + B3) = (A + B) (A2 – AB + B2) 5. (A3 - B3) = (A - B) (A2 + AB + B2) 6. (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B2 7. (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B2 II. Một số dạng hằng đẳng thức tổng quát: 2 2 1. (a1 + a1 + a3 + + an) = a1 + a2 + + 2(a1a2 + a1a3 + + an-1 an) 2. an – bn = (a – b) (an-1 + an- 2b + + abn-2 + bn-1) 3. an + bn = (a + b) (an-1 - an- 2b + - abn-2 + bn-1) (n: lẽ) 2 n 1 n-1 n-2 n-3 n-1 n 4. (a + b) = a + c na b + + c na b + b B. Các dạng bài toán vận dụng ứng dụng của hằng đẳng thức: Dạng 1:Phân tích đa thức thành nhân tử: Ví dụ 1: (a2 + 4ab – 5)2 – 16 (ab + 1)2 Ta có: (a2 + 4ab – 5)2 – 16 (ab + 1)2 = (a2 + 4ab – 5)2 – (4(ab + 1)2) = ((a2 + 4ab – 5)2 – 4( ab+1)) (a2 + 4ab – 5)2 + 4 (ab + 1) = (a- 2b – 3) (a – 2b + 3) (a+ 2b + 1) (a + 2b + 1) Ví dụ 2: 4x2y2 – (x2 + y2)2 Ta có: 4x2y2 – (x2 + y2)2 = (2xy – x2 – y2) (2xy + x2 + y2) = - (x – y)2 (x + y)2 Ví dụ 3: Năm học: 2007 - 2008 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ (x + y + z )2 + (x + y - z )2 – 4z. Ta có: (x + y + z )2 + (x + y - z )2 – 4z = (x + y + z )2 + ((x + y – z) – 2z) ((x + y – z) + 2z) = (x + y + z )2 (x + y – 3z) ( x + y + z) = 2( x + y + z) ( x + y - z) Ví dụ 4: x2 – 25 + 2xy + y3 = (x2 + 2xy + y2) – 52 = ( x + y – 5) (x + y + 5) Dạng 2:Chứng minh bất đẳng thức ví dụ 1: Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ( x y z) ab + cd + ca (1) Ta có: a2 + b2 + c2 ( x y z) ab + cd + ca = a2 + b2 + c2 – (ab + bc + ca) 0 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2(ab + cd + ca) 0 (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 ( đúng) => Ta có đpcm. Ví dụ 2: Cho x > 0, y > 0, x > 0 ( x, y, x: Là ba cạnh của tam giác) Chứng minh rằng: (x + y – z) (x + z – y) (y + z – x) xyz. Ta có: x2 – (y – z)2 x2 (1) Do đó (x - y + z) (x + y – z) x2 Tương tự ta có: (x + y – z) (x - y + z) y2 (2) (x + y – z) (y + z - x) z2 (3) Nhân vế với vế ta có: ((x + y – z) (x + z – y) (y + z – x))2 (xyz)2. Do x. y. z: Là ba cạnh của tam giác nên ta có: x + y – z > 0; y + z – x > 0; z + x – y > 0. Vậy ta có điều phải chứng minh. 1 Ví dụ 3: Cho a – b = 1. Chứng minh rằng: a2 + b2 2 Thật vậy ta có: a = b + 1 1 1 1 Nên a2 + b2 = (1+ b)2 + b2 = 2b2 + 2b + 1 = 2(b2 + b + ) + do đó ta có điều phải chứng 4 2 2 minh. Dạng 3:Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số: Ví dụ 1: Cho A = 20096 - 20076 Chứng minh A chia hết cho 8024 Ta có: A = 20096 - 20076 = (20092)3- (20072)3 A = (20092 - 20072) (20094 + 20092. 20072 + 20074) A = (2009 + 2007). (2009 – 2007). B A = 8032 . B Vậy A chia hết cho 8023. Ví dụ 2: Cho A = 2512 + 256 Chứng minh rằng: A chia hết cho 16250 Ta có: A = (254)3 + (252)3 = (254 + 252) (258 – 254. 252 + 254) Năm học: 2007 - 2008 2
3. Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ A = 16250. B Vậy A chia hết cho 16250. Ví dụ 3: Cho hai số nguyên tố lớn hơn ba. Chứng minh rằng hiệu bình phương của hai số nguyên tố đó chia hết cho 24. Giải: Gọi hai số nguyên tố đó là: p, q (p > 3, q > 3) (p > q) Theo bài ra ta có: p2 – q2  24 Thật vậy: p2 – q2 = (p2 – 1) (q2 – 1) = (p – 1 ) (p + 1) – (q – 1) (q + 1) Xét: (p – 1) (p + 1) Ta có (p – 1) p (P + 1)  3 do p > 3. p: nguyên tố nên ta có (p – 1) (P + 1)  3 (1) Đặt p – 1 = 2k, p + 1 = 2k + 2 khi đó (P – 1) (P + 1) = 4k (k + 1)  8 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra (p – 1) (q + 1)  24 ( vì (3, 8 = 1) Tương tự ta có: (q – 1) (q + 1)  24 ( q nguyên tố lớn hơn 3) Vậy ta có: p2 – q2  24. Dạng 4: Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình: (x + 5)4 + (x + 7)4 = 16. Ta thấy đây là một dạng toán khó, học sinh thường bế tắc về phương pháp giải nhưng ta đơn giản bài toán một tý ta sẽ thấy rõ được vấn đề. Ta thấy: x + 5 và x + 7 có mối quan hệ với x + 6. Đặt x + 6 = T Ta có phương trình trở thành (T – 1)4 + (T + 1)4 = 16. 2T2 + 12T2 + 2 = 16. T4 + 6T2 – 7 = 0 T2 = 1 T2 = - 7 Ta có T2 = 1 thoả mãn vậy ta có nghiệm của phương trình là S = (- 5; -7) Ví dụ 2: Giải phương trình y3 + y2 + y + 1 = 0 Do 1 + 1 + 1 0 Nên phương trình không có nghiệm là - 1 Do đó ta nhân hai vế của phương trình với y – 1 ta có (y - 1) (y3 + y2 + y + 1) = 0 y4 = 1 y = - 1. Ví dụ 3: Giải phương trình: y4 + 3y3 + 4y2 + 3y + 1 = 0 Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho Năm học: 2007 - 2008 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ 1 1 Do đó ta chia cả hai vế của phương trình cho y2 ta có (y2 + ) + 3(y + ) + 4 = 0 y2 y 1 Đặt y + = T y Khi đó ta có phương trình: T2 + 3T + 2 = o T = -1 T = - 2 Với T = -1 phương trình vô nghiệm 1 Với T = -2 ta có y + = - 2 (y- 1)2 = 0 y = -1 y Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là: - 1 Dạng 5:Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Ví dụ 1: Cho A = (x + 1) (x + 4) (x + 5) (x + 8) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Ta có: 1 + 8 = 4 + 5 Do đó A = (x + 1) (x + 4) (x + 5) (x + 8) = (x2 + 9x + 14 – 6) (x2 + 9x + 14 + 6) = (T – 6) (T + 6) A2 = T2 – 36 - 36 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là - 36 đạt được khi x = - 7 hoặc x = 2. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + xy + y2 -3x – 3y + 2007 Ta có: A = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + ( x - 1) (y - 1) + 2004 2 y 1 3 2 A= (x 1) + (y - 1) + 2004 2004 2 4 Vậy A nhỏ nhất là 2004 đạt được khi x = 1 và y = 1. Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của C = 2007 – x2 + 2x – 4y2 – 4y Ta có: C = -(x2 – 2x + 1) – (4y4- 4y + 1) + 2005 Do đó C 2005 1 Vậy giá trị nhỏ nhất là: 2005 đạt được khi x = 1 và y = 2 Dạng 6:Rút gọn biểu thức, chứng minh đẵng thức, giá trị biểu thức, so sánh 1 1 2a 4a3 8a2 Ví dụ 1: Rút gọn A = a b a b a2 b2 a4 b4 a8 b8 1 1 2a 2a 2a 4a3 4a3 4a3 8a3 Ta có: , = , + = a b a b a2 b2 a2 b2 a2 b2 a4 b4 a4 b4 a4 b4 a8 b8 Năm học: 2007 - 2008 4
5. Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ 8a7 8a7 16a15 a8 b8 a8 b8 a16 b16 16a15 Vậy A = a16 b16 Ví dụ 2: Cho a + b = c Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) = 0 Ta có: a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) = (a2 + 2ab + b2) – (2ac + bc) + c2 = (a+b)2 – 2(a + b). c + c2 = (a+b+c)2 = (c – c)2 = 0. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 3: Cho a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 1 Tìm S = a4 + b4 + c4 Từ giải thiết ta suy ra: a2 + b2 + c2 = (a + b+ c) – 2(ab + bc + ca) = 1. Suy ra ab + bc + ca = - 1/2 Do đó S = (a2 + b2) – 2(ab)2 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 – 2(ab)2 – 2(cb)2 – 2(ac)2 = (a2 + b2 + c2)2 – 2((ac + cd + ac)2 – 2abc (a+b+c)= 1 – 2/4 = -1/2 Ví dụ 4: So sánh A = 2007 + 2009 với B = 2 2008 Ta có: A2 = 2007 + 2009 + 2 2007.2009 B2 = 2008 + 2008 + 2 2008.2008 Do đó ta có A 9 thì (t + 3)2 = t2 + 6t + 9 - 9 x 1) Do x, y thuộc z nên ta có x = - 9, - 8, - 7, - 6, 1 Vậy nghiệm (x, y) = ( 9,12)( 9, 12)( 8,10)( 7,10)( 4,12)( 4, 12)( 1,0)(0,0)(1,12)(1, 12)  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình x ỹ y 2 3 2(1) 2 2 x y 6(2) Ta có: Nhân hai vế của (1) với 2 rồi cộng (1) Với (2) vế theo vế ta có: x2 + 2xy + y2 + 2(x + y) = (x + y)2 + 2 (x + y) = 10 + 6 2 (x + y + 1)2 = (3 + 2 )2 x + y + 1 = 3 + 2 hoặc x + y + 1 = - 3 - 2 Năm học: 2007 - 2008 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ Nếu x + y = -4 2 thì xy = 6 + 4 2 và (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = -6 - 8 2 0; y > 0; z > 0. Chứng minh rằng: x2 y2 z2 x y x y z z x x y 2 Bài 4: Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: A = (x + y) (x + 2y) (3 + 3y) (x + 4y) + y4 là một số chính phương. Bài 5: Chứng minh rằng: n3(n2 – 7)2 – 36n chia hết cho 210. Bài 6: Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a3 + b3 + ab. Tìm nghiệm nguyên: y3 – x3 = 91 Bài 7: Tính nhẩm: 99993 Bài 8: Giải phương trình 5x 1- 3x 2 = x 1 Bài 9: cho a+b=1 chứng minh rằng a4 + b4>1/8 III. Kết luận: Năm học: 2007 - 2008 6