Sáng kiến kinh nghiệm Tổng ba lập phương

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Tổng ba lập phương

1. A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình Đại số lớp 8, những hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những nội dung kiến thức quan trọng. Mỗi hằng đẳng thức chính là một chìa khóa giúp học sinh tháo gỡ được một lớp các bài toán ở nhiều dạng bài tập khác nhau một cách chính xác, nhanh gọn. Để trở thành học sinh giỏi Toán, ngoài yêu cầu cần nắm vững về kiến thức cơ bản trong chương trình, học sinh còn phải biết tìm tòi, khai thác, vận dụng những kiến thức nâng cao. Đối với học sinh lớp 8, 9, giáo viên ngoài việc hướng dẫn các em vận dụng nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, cần phải cung cấp thêm một số hằng đẳng thức tổng quát, một số hằng đẳng thức nâng cao, giúp các em học sinh khá giỏi có thể vận dụng để giải được nhiều bài toán khó, nhiều dạng bài tập hơn, tạo điều kiện cho mỗi học sinh có thể phát huy tối đa sức học. Khai thác ứng dụng của các hằng đẳng thức nâng cao nhằm bổ sung những kiến thức mới, khơi dậy niềm say mê học tập, phát huy tính tích cực nhận thức và phát triển kỹ năng tự học của học sinh. Trong quá trình dạy học Toán, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tôi thấy hằng đẳng thức tổng ba lập phương là một trong số những hằng đẳng thức nâng cao có rất nhiều ứng dụng; có thể giúp học sinh vận dụng để giải một số dạng toán về phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, rút gọn biểu thức, chứng minh bất đẳng thức, , giúp học sinh rèn luyện tư duy toán học; sáng tạo trong quá trình học tập, tiếp thu kiến thức mới. Nhận thấy khả năng "ứng dụng rộng rãi" và xét thấy tính "ưu việt" của hằng đẳng thức tổng ba lập phương nên tôi đã tiến hành nghiên cứu và mạnh dạn trao đổi một số kinh nghiệm nhỏ này cùng các bạn. 2. Điểm mới của đề tài Trong chương trình phổ thông, hằng đẳng thức tổng ba lập phương sách giáo khoa chưa đề cập đến. Trong sách bài tập Toán 8, đưa ra hai bài tập sau: Bài 38: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc. Bài 57: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3. Trong nhiều sách nâng cao, sách tham khảo, hằng đẳng thức tổng ba lập phương và ứng dụng của nó được một số tác giả quan tâm đưa vào với một số lượng ít bài tập ở một vài dạng. Do đó các chủ đề nâng cao khai thác vận dụng những hằng đẳng thức nâng cao trong đó có hằng đẳng thức tổng ba lập phương là một chủ đề mới đáng được quan tâm. 3. Phạm vi áp dụng Vì đề tài này với mục đích nghiên cứu kiến thức cơ bản nâng cao, thực hiện trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nên phạm vi đề tài chỉ giới hạn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 8, 9 trường THCS. 1
2. B. PHẦN NỘI DUNG 1. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực tế, trong quá trình dạy học, chúng ta gặp nhiều bài toán ở các dạng bài khác nhau trong các đề thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải đưa về dạng hằng đẳng thức tổng ba lập phương. Nếu giáo viên chưa khai thác sâu kiến thức cơ bản, học sinh chưa kịp thời bổ sung những kiến thức cơ bản nâng cao; chưa đào sâu suy nghĩ để tìm cách vận dụng linh hoạt những hằng đẳng thức cơ bản nâng cao, cùng việc tích luỹ dần các phương pháp và kỹ năng hữu hiệu thì khó có thể giải được những bài toán đó. Trong thời gian trước khi áp dụng đề tài, khi gặp các dạng toán mà để giải quyết nó thì cần áp dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương, một số học sinh tuy có năng lực tiếp thu bài tốt, có khả năng tư duy, có vốn kiến thức tích lũy được khá lớn vẫn lúng túng, mất quá nhiều thời gian để biến đổi tìm tòi giải pháp. Học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào vì thế số đông học sinh thường bỏ qua, một số ít học sinh thì có làm nhưng thiên về biến đổi đơn giản biểu thức nên không đi đến kết quả hoặc cho kết quả sai. Qua khảo sát năng lực học sinh đối với việc giải các bài toán liên quan tới áp dụng hằng đẳng thức nâng cao tổng của ba lập phương trước khi áp dụng đề tài cho thấy kết quả như sau: Kết quả điểm kiểm tra Năm học Áp dụng đề tài Giỏi Khá Trung Yếu Kém bình 2011 -2012 Chưa áp dụng 3% 9% 30% 52% 6% 2. CÁC GIẢI PHÁP NHẰM CẢI THIỆN THỰC TRẠNG Để giúp học sinh lớp 8, 9 có kỹ năng giải thành thạo các bài tập về vận dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương, trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được hằng đẳng thức; giúp học sinh phân loại các bài tập theo các dạng toán cơ bản, nâng cao. Ở mỗi dạng toán, giáo viên cần đưa ra các ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh biết vận dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương để giải. Giáo viên đưa ra những bài tập tương tự, bài tập vận dụng để học sinh có thể tự giải. 2
3. Hằng đẳng thức tổng ba lập phương có thể được sử dụng để giải nhiều bài toán thuộc các dạng sau: 1) Phân tích đa thức thành nhân tử. 2) Rút gọn biểu thức. Tính giá trị của biểu thức 3) Chứng minh đẳng thức. 4) Trục căn thức ở mẫu. 5) Giải phương trình. Giải hệ phương trình. 6) Chứng minh bất đẳng thức 7) Chứng minh chia hết 8) Các dạng khác. 2.1. Giới thiệu hằng đẳng thức tổng ba lập phương * Với A, B, C là các biểu thức tuỳ ý ta có các hằng đẳng thức sau: 1) A3 + B3 + C3 = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + 3ABC 2) A3 + B3 + C3 = (A + B + C)3 - 3(A + B)(B + C)(C + A). Để chứng minh hằng đẳng thức (1), ta có thể chọn một trong hai cách sau đây: Cách 1: Ta có: (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) = A(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + B(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + + C(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) = A3 + AB2 + AC2 - A2B - ABC - A2C + A2B + B3 + BC2 - AB2 – B2C - - ABC + A2C + B2C + C3 - ABC - BC2 - AC2 = A3 + B3 + C3 – 3ABC. Suy ra A3 + B3 + C3 = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + 3ABC Cách 2: Ta có: A3 + B3 + C3- 3ABC = (A + B)3 - 3AB(A + B) + C3 - 3ABC = (A + B)3 + C3 – 3AB(A + B) - 3ABC = (A + B + C)[(A + B)2 - (A + B)C + C2] - 3AB(A + B + C) = (A + B + C)(A2 + 2AB + B2 - AC - BC + C2 - 3ABC) = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA). Suy ra đpcm. Để chứng minh hằng đẳng thức (2), ta có thể chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta có: (A + B + C)3 - 3(A + B)(B + C)(C + A) = (A + B)3 + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - (3A + 3B)(BC + AB + C2 + AC) =A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 + 3A2C + 6ABC + 3B2C + C3 - 3ABC - 3A2B - - 3AC2 - 3A2C – 3B2C – 3AB2 – 3BC2 – 3ABC = A3 + B3 + C3 . Suy ra đpcm. Cách 2: (A + B + C)3 - (A3 + B3 + C3) = (A + B)3 + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - (A3 + B3 + C3) = A3 + B3 + 3AB(A + B) + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - A3 - B3 - C3 2 = 3(A + B) AB (A B)C C = 3(A + B)(B + C)(C + A). Suy ra đpcm. 3
4. 2.2. Những ứng dụng của hằng đẳng thức tổng ba lập phương 2.2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử Từ các hằng đẳng thức 1) và 2) ta suy ra: * A3 + B3 + C3 - 3ABC = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) (1) * Nếu A + B + C = 0 thì A3 + B3 + C3 = 3ABC (2) * (A + B + C)3 - A3 - B3 - C3 = 3(A + B)(B + C)(C + A) (3) Chúng ta có thể sử dụng (1), (2) và (3) để phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ 1: Phân tích đa thức 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz thành nhân tử. Hướng dẫn: 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz = (2x)3 + (4y)3 + z3 - 3.(2x).(4y).z = (2x + 4y + z)[(2x)2 + (4y)2 + z2 - (2x)(4y) - (2x)z - (4y)z] = (2x + 4y + z)(4x2 + 16y2 + z2 - 8xy - 2xz - 4yz). Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử. Hướng dẫn: Đặt a = x - y, b = y - z, c = z - x thì a + b + c = 0. Do đó a3 + b3 + c3 = 3abc. Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x). Với a = x2 + y2; b = z2 - x2; c = - y2 - z2 cũng cho a + b + c = 0 ta có bài toán: Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử: (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 Hướng dẫn: A = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + (- y2 - z2)3 Đặt a = x2 + y2; b = z2 - x2; c = - y2 - z2 a + b + c = 0 A = a3 + b3 + c3 = 3abc = 3(x2 + y2)(z2 - x2)(- y2 - z2) = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x - z) Với a = x + y - z; b = x - y + z; c = - x + y + z cũng cho a + b + c = 0 và ta có bài toán: Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x - y + z)3 - (- x + y + z)3. Bài tập vận dụng Phân tích các đa thức thành nhân tử: 1) x3 - y3 - z3 - 3xyz. 2) 125a3 + 8b3 + 27c3 - 90abc. 3) (x - y + z)3 - x3 + y3 - z3. 4) (x + 2y - 3z)3 - x3 - 8y3 + 27z3. 5) (a + b)3 - (b + c)3 + (c - a)3. 6) (x - y)5 + (y - z)5 + (z - x)5. 7) (a - b + c)3 - (a - b - c)3 - (c - a - b)3 - (a + b + c)3. 8) (3x2 - 2x + 1)3 + (x - x2 - 1)3 - (2x2 - x)3. 2.2.2. Rút gọn biểu thức. Tính giá trị của biểu thức Ví dụ 1: Cho xy + yz + zx = 0 và xyz 0. 4
5. xy yz zx Tính giá trị của biểu thức P = . z2 x2 y2 1 1 1 Hướng dẫn: Từ giả thiết: xy + yz + zx = 0 và xyz 0 suy ra: 0. x y z 1 1 1 Xem a ; b ; c , ta có a + b + c = 0, áp dụng: x y z 1 1 1 1 1 1 3 a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc ta có: 0 . x y z x3 y3 z3 xyz xy yz zx 1 1 1 3 Ta có: P = 2 2 2 = xyz 3 3 3 = xyz. 3 . Vậy P = 3. z x y x y z xyz Nhận xét: Ở bài toán trên chúng ta đã sử dụng “điều kiện xuôi” để tính giá trị của biểu thức. Ta cũng có thể sử dụng “điều kiện ngược” để tính giá trị của biểu thức. Ví dụ 2: Cho abc 0, a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức: a b c A = 1 1 1 . b c a Hướng dẫn: abc 0, a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c = 0 hoặc a = b = c. a b b c c a c a b - Nếu a + b + c = 0 thì A = . . . . 1. b c a b c a - Nếu a = b = c thì A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2.2.2 = 8. Vậy A nhận hai giá trị là 8 và -1. Ví dụ 3: Biết a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2, tính giá trị của biểu thức: a b c A = 1 1 1 . b c a x ab Hướng dẫn: Nếu đặt: y bc ta có: z ca z x y 1. Biểu thức A được chuyển về dạng: A = 1 1 1 . y z x 2. Điều kiện của giả thiết được biến đổi về dạng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 x y z 0 a b + b c + c a = 3a b c x + y + z = 3xyz x y z Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Với x + y + z = 0, ta có: z x y y z z x x y xyz A = 1 1 1 = . . 1. y z x y z x xyz Trường hợp 2: Với x = y = z, ta có ngay: A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8. Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức: A = x3 + (x - 1)3 - (2x - 1)3 - 3x(x - 1)(1 - 2x). Hướng dẫn: Đặt a = x, b = x - 1, c = 1 - 2x suy ra: a + b + c = 0. Khi đó, biểu thức được viết dưới dạng: 5