Sáng kiến kinh nghiệm Tìm lời giải các bài toán khó trong tập hợp N – Toán 6

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Tìm lời giải các bài toán khó trong tập hợp N – Toán 6

1. “Tìm lời giải các bài toán khó trong tập hợp N-Toán 6” Trường THCS Kpă Klơng ĐỀ TÀI: TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÓ TRONG TẬP HỢP N – TOÁN 6 PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 1. Cơ sở lí luận: Trong các môn học, toán học là môn có nhiều khả năng trong việc rèn luyện phương pháp suy luận khoa học. Không có phương pháp tốt, không thể có kết quả cao. Biết cách dạy toán và biết cách học toán, hiệu quả dạy và học sẽ tăng gấp nhiều lần. Phương pháp dạy học Toán trong trường Trung học cơ sở phải phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động của học sinh, hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy. Kinh nghiệm dạy học là quá trình từ tích lũy chuyên môn của bản thân, học hỏi qua đồng nghiệp qua thực tiễn dạy học – đặc biệt là tiếp cận với nhiều thế hệ học sinh với nhiều lớp trình độ giỏi, khá, trung bình lẫn yếu kém. Thực tế công việc dạy cho ta hàng ngày. Qua nghiên cứu, tìm tòi và những trăn trở khi bài giáo án chuẩn bị chưa thật sự tốt. Vẫn còn vướng điều “gì đó” mà phải va chạm rồi mới rút ra được kinh nghiệm. Từ công việc hàng ngày và sự kiên trì chịu khó của bản thân – dĩ nhiên cũng còn hạn chế về năng lực – nhưng ấp ủ và trăn trở tôi mạnh dạn viết về một phần kinh nghiệm tích lũy trong thời gian công tác. Vì vậy, việc “Tìm lời giải các bài toán khó trong tập hợp N” cho học sinh lớp 6 là hết sức quan trọng và cần thiết. Sáng kiến kinh nghiệm NTH: Hồ Đức Ốc -1-
2. “Tìm lời giải các bài toán khó trong tập hợp N-Toán 6” Trường THCS Kpă Klơng 2. Cơ sở thực tiễn: Toán học là một khoa học trừu tượng, có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Việc rèn luyện tư duy lôgic là một trong những yêu cầu hàng đầu của dạy học Toán ở nhà trường phổ thông. Trong chương trình Toán lớp 6 phần số học, bài tập rất phong phú và đa dạng. Khi gặp những dạng bài tập toán có phương pháp sẵn thì việc giải quyết bài toán đó khá dễ dàng. Tuy nhiên, khi gặp những bài tập phức tạp nếu đơn thuần chỉ sử dụng phương pháp có sẵn thì khó có thể giải quyết được. Bỡi vậy, việc định hướng lời giải cho một bài tập nói chung quan trọng hơn rất nhiều so với việc giải một bài toán cụ thể nào đó, vì việc giải cụ thể lời giải một bài toán đối với các em chỉ là các “thao tác” sử dụng các “công cụ” toán học mà các em đã rất thành thạo. Có những con đường chung dẫn đến cách giải của nhiều bài toán, nhưng vẫn còn những con đường riêng dẫn đến từng bài toán. Trên cơ sở những lí do nêu trên, bản thân tôi đã thực hiện đề tài “Tìm lời giải các bài toán khó trong tập hợp N-Toán 6”. II. PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI: 1. Đối tượng nghiên cứu: Người học không chỉ đơn thuần là học sinh mà là những người học Toán, có cả bản thân người dạy Toán. Ở đây cơ bản là học sinh lớp 6. 2. Phạm vi nghiên cứu: - Học sinh lớp 6 trường THCS Kpă Klơng nói riêng và học sinh lớp 6 cấp THCS nói chung. - Phân tích, tìm hướng giải những bài toán khó trong tập hợp các số tự nhiên N -Toán 6. 3. Thời gian nghiên cứu: Từ năm học 2011-2012 đến năm học 2013- 2014. 4. Mục đích của đề tài: Sáng kiến kinh nghiệm NTH: Hồ Đức Ốc -2-
3. “Tìm lời giải các bài toán khó trong tập hợp N-Toán 6” Trường THCS Kpă Klơng Quá trình giải toán chính là quá trình rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư duy logic và là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo. Người học Toán phải biết suy nghĩ và tìm tòi hướng giải Toán, từ kết quả đạt được người làm toán nên phát hiện được quy luật để khi dự kiện thay đổi sẽ tìm được kết luận tương ứng. Điều đó giúp người học có ý thức tự học, hứng thú và tự tin trong học tập, khả năng sáng tạo. Từ đó nhận biết được vẻ đẹp của toán học và yêu thích môn Toán. 5. Khảo sát chất lượng học sinh lớp 6 khi chưa áp dụng đề tài: Số học sinh Điểm dưới Điểm trên trung bình Năm học Cộng tham gia trung bình 5 6 7 8 9 10 2009-2010 24 18 4 2 0 0 0 0 6 2010-2011 35 25 5 3 1 1 0 0 10 III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Trong quá trình thực hiện đề tài này, bản thân tôi đã sử dụng các phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu. - Phương pháp phân tích, tổng hợp. - Phương pháp suy luận lôgic. - Phương pháp thống kê. - Phương pháp thực nghiệm điều tra. - Và một số phương pháp khác. PHẦN 2: NỘI DUNG VÀ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN I. PHÂN TÍCH VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA: DẠNG 1. CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ TỰ NHIÊN: Sáng kiến kinh nghiệm NTH: Hồ Đức Ốc -3-
4. “Tìm lời giải các bài toán khó trong tập hợp N-Toán 6” Trường THCS Kpă Klơng Ta xác định trên N hai phép toán: Phép cộng và phép nhân. Phép cộng có 3 tính chất: Giao hoán, kết hợp, cộng với số 0. Phép nhân có 3 tính chất: Giao hoán, kết hợp, nhân với số 1. Giữa phép nhân và phép cộng có quan hệ: Phép nhân phân phối đối với phép cộng. Giữa thứ tự và phép toán có quan hệ: a 0). Trong phạm vi số tự nhiên, phép trừ chỉ thực hiện được khi số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ, phép chia chỉ thực hiện được khi số bị chia chia hết cho số chia. Với mọi cặp số tự nhiên a và b bất kì (b 0), bao giờ cũng tồn tại duy nhất hai số tự nhiên q và r sao cho a = bq + r với 0 r b). Ta có: a + b = 3.(a – b) nên a + b = 3a – 3b suy ra 4b = 2ª, tức là 2b = a Vậy a : b = 2. Cách 2: Gọi hiệu của hai số đã cho là x, tổng của chúng bằng 3x. Sáng kiến kinh nghiệm NTH: Hồ Đức Ốc -4-
5. “Tìm lời giải các bài toán khó trong tập hợp N-Toán 6” Trường THCS Kpă Klơng 3x x Số nhỏ bằng: x 2 3x x Số lớn bằng: 2x 2 Thương của hai số: 2x : x = 2. Ví dụ 3. Khi chia số tự nhiên a cho 54, ta được số dư là 38. Chia số a cho 18, ta được thương là 14 và còn dư. Tìm số a. Hướng dẫn giải: Từ phép chia thứ nhất ta có: a = 54x + 38 (1), Từ phép chia thứ hai ta có: a = 18.14 + r (2), trong đó x, r N và 0 < r < 18. Từ (1) ta có: a = 54x + 38 = 18.3x + 18.2 + 2 = 18.(3x + 2) + 2. Như vậy, r = 2 và a = 18.14 + 2 = 254. Ví dụ 4. Chứng tỏ rằng A là một lũy thừa của 2, với: A = 4 + 22 + 23 + 24 + + 220 Hướng dẫn giải: A = 4 + 22 + 23 + 24 + + 220 2A = 8 + 23 + 24 + 25 + + 221 Suy ra: 2A – A = 221 + 8 – (4 + 22) Vậy A = 221. Bài toán 1. Cô giáo chủ nhiệm lớp 6A tổ chức cho 25 học sinh tham gia tổ ngoại khóa toán, 30 học sinh tham gia tổ ngoại khóa văn, còn 7 học sinh không vào tổ ngoại khóa toán cũng không vào tổ ngoại khóa văn. Biết rằng lớp 6A có 50 học sinh, hỏi có mấy học sinh vừa vào tổ ngoại khóa toán vừa vào tổ ngoại khóa văn? Hướng dẫn: Trước hết cần tìm số học sinh tham gia ít nhất một trong hai tổ ngoại khóa (vì có 7 học sinh không tham gia tổ ngoại khóa nào), từ đó mà tìm số học sinh Sáng kiến kinh nghiệm NTH: Hồ Đức Ốc -5-
6. “Tìm lời giải các bài toán khó trong tập hợp N-Toán 6” Trường THCS Kpă Klơng vừa vào tổ toán vừa vào tổ văn. Giải: Số học sinh của lớp 6A tham gia hai tổ ngoại khóa toán và văn là: 50 – 7 = 43 (học sinh) Số học sinh vừa vào tổ ngoại khóa toán vừa vào tổ ngoại khóa văn là: (25 + 30) – 43 = 12 (học sinh) Bài toán 2. Chứng tỏ rằng phép tính sau đây là đúng: 111 111 – 222 = 333.333 Giải: Đặt 111 = x thì 111 111 – 222 = 1001x – 2x = 999x hay 999.111 Tích 333.333 có thể viết: 333.3.111 = 999.111 Vậy phép tính đã cho là đúng. Bài toán 3. a) Ngày 2-9-1994 là ngày thứ sáu. Hỏi ngày 2-9-1945 là ngày thứ mấy? b) Ngày 19-5-1994 là ngày thứ năm. Hỏi ngày 19-5-2000 là ngày thứ mấy? Hướng dẫn: a) Tính ngược lại từ 2-9-1994 đến 2-9-1945 xem có bao nhiêu năm trong đó có bao nhiêu năm nhuận để từ đó tính ra số tuần và số ngày dư. Từ số ngày dư mà suy ra là ngày thứ mấy trong tuần. b) Cách làm tương tự, tính số năm, số tuần từ năm 2000 trở về năm 1994. Giải: a) Từ 2-9-1994 là ngày thứ sáu tính ngược tới 2-9-1945 có 49 năm, trong đó có 12 lần năm nhuận. Vậy có 365.49 + 12 = 17 897 (ngày) tức 556 tuần và dư 5 ngày. Vậy ngày 2-9-1945 là ngày chủ nhật. Sáng kiến kinh nghiệm NTH: Hồ Đức Ốc -6-
7. “Tìm lời giải các bài toán khó trong tập hợp N-Toán 6” Trường THCS Kpă Klơng b) Từ năm 2000 trở lại tới năm 1994 là 6 năm (có 2 năm nhuận) nên có 2192 (ngày) tức 313 tuần và dư 1 ngày. Vậy ngày 19-5-2000 là ngày thứ sáu. Bài toán 4. Số 2100 có bao nhiêu chữ số? Hướng dẫn: Viết 2100 = 210.10 = (1024)10 > 100010 = 1030. Tìm xem 1030 có bao nhiêu chữ số, từ đó suy ra số chữ số của số 2100. Giải: Số 2100 có thể viết dưới dạng 210.10 = (210)10. Ta có: 210 = 1024 > 1000. Vậy (210)10 = 2100 > 100010 = 1030. Số 1030 có 31 chữ số gồm chữ số 1 và 30 chữ số 0. Bây giờ ta chứng tỏ thêm rằng 2 100 < 1031 (Số 1031 có 32 chữ số). Thật vậy, ta có: 2100 = 102410 < 102510 = (2.21.52)10 < (2.54)10 = 210.540. Để chứng tỏ 210.540 < 231.531 tức là 210.59.531 <210.221.531 ta chứng tỏ 59 < 221. Rõ ràng 53 = 125 < 128 = 26, từ đó 59 < (26)3 = 218 < 221. Vậy số 2100 nhỏ hơn số 10 31 (có 32 chữ số) và lớn hơn số có 31 chữ số nên số 2100 có 31 chữ số. Bài toán 5. Để đánh số trang của một quyển sách dày 2746 trang, cần dùng bao nhiêu chữ số? Giải: Quyển sách có: Số trang có 1 chữ số là 9 – 1 + 1 = 9 Số trang có 2 chữ số là 99 – 10 + 1 = 90 Số trang có 3 chữ số là 999 – 100 + 1 = 900 Số trang có 4 chữ số là 2746 – 1000 + 1 = 1747 Vậy số chữ số cần dùng là: 1.9 + 2.90 + 3.900 + 4.1747 = 9877 (chữ số). Sáng kiến kinh nghiệm NTH: Hồ Đức Ốc -7-
8. “Tìm lời giải các bài toán khó trong tập hợp N-Toán 6” Trường THCS Kpă Klơng DẠNG 2. TOÁN SUY LUẬN LÔ GÍCH: Ví dụ 5. Có thể chọn 71 số trong các số tự nhiên từ 1 đến 100 sao cho tổng của chúng bằng tổng các số còn lại không? Vì sao? Giải: Ta có: 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100 = (1 + 100).100 : 2 = 5050 Tổng của 71 số đạt giá trị nhỏ nhất là: 1 + 2 + 3 + + 71 = (1 + 71).71 : 2 = 2556 Mà 2556 > 5050 : 2 = 2525 Do đó không thể tìm được. Bài toán 6. Một xí nghiệp có 1230 công nhân. Người lớn tuổi nhất hơn người nhỏ tuổi nhất là 6 tuổi. Hãy chứng tỏ rằng luôn tìm được ít nhất 4 công nhân sinh cùng ngày cùng tháng và ít nhất 18 công nhân sinh cùng tháng cùng năm. Hướng dẫn: Lưu ý là 1 năm có 365 ngày (hoặc 366 ngày) và 6 năm có 72 tháng. Từ đó hãy viết số 1230 dưới dạng 1 tổng hai số hạng mà số hạng thứ nhất là một số lần của 365 (để tìm số công nhân sinh cùng tháng cùng ngày) hoặc số hạng thứ nhất là một số lần của 72 (để tìm số công nhân sinh cùng tháng cùng năm). Giải: Ta có thể viết 1230 dưới dạng tổng quát: a) 1230 = 365.3 + 135 hoặc 1230 = 366.3 + 132. Suy ra ít nhất có 4 công nhân sinh cùng ngày cùng tháng. b) 1230 = 72.17 + 6 Suy ra có ít nhất 18 công nhân sinh cùng tháng cùng năm. Bài toán 7. Một xe lửa vượt qua một cái cầu dài 450m mất 45 giây. Vượt qua một cột điện mất 15 giây và vượt một người đi xe đạp cùng chiều Sáng kiến kinh nghiệm NTH: Hồ Đức Ốc -8-