Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập

1. Phòng Giáo dục thành phố Vĩnh Yên Trường THCS Vĩnh Yên  Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập  Giáo viên :dương thị bích thuỷ Tổ : KHTN Trường THCS Vĩnh Yên Năm học :2007-2008
2. Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên Phần I : Phần mở đầu  I.Lý do chọn đề tài: Giáo dục THCS có vai trò quan trọng trong nền GDPT ở nớc ta. Nó là cầu nối giữa Tiểu học và THCS . Giáo dục THCS góp phần hình thành cho học sinh những phẩm chất, năng lực của con người lao động mới đó là : năng động, sáng tạo, thích ứng với sự phát triển đa dạng với tốc độ nhanh của xã hội .Vì vậy, học sinh phải được học và tiếp cận với tất cả các bộ môn khoa học cơ bản, trong đó môn toán đóng vai trò then chốt .Với mục tiêu của việc dạy môn toán ở trường THCS hiện nay các em cần được cung cấp những kiến thức, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực . Chính vì vậy các em cần được tăng cường luyện tập, rèn luyện kỹ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác. Trong chương trình môn toán THCS, môn Đại số có rất nhiều ứng dụng. Các bài toán đại số giúp các em giải được nhiều bài toán một cách thuận lợi hơn và đặc biệt là rất nhiều bài toán liên hệ với thực tiễn cuộc sống. Đầu học kỳ một của lớp 8, học sinh đã được học “Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ”. Các hằng đẳng thức này rất quan trọng đối với nội dung kiến thức môn toán không chỉ ở lớp 8 mà còn cả ở các lớp sau này. Học về hằng đẳng thức, học sinh phải ghi nhớ khắc sâu được “Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ” , đồng thời phải biết sử dụng các hằng đẳng thức này vào giải một số dạng bài tập như : Rút gọn biểu thức, tìm x, chứng minh hằng đẳng thức Tuy nhiên, để nhìn nhận ra các hằng đẳng thức trong một số trường hợp học sinh còn lúng túng. Để giúp học sinh có phương pháp biến đổi thành thạo các biểu thức có liên quan đến hằng đẳng thức là một việc rất cần thiết, đó là các thao tác cơ bản giúp các em không chỉ về mặt kiến thức mà còn rèn luyện các tư duy toán học rất tốt. Trong khuôn khổ chuyên đề này, tôi đa ra một số ví dụ minh hoạ với các tình huống từ đơn giản đến phức tạp nhằm hình thành kỹ năng khi biến đổi biểu thức có vận dụng đến hằng đẳng thức. II.Phạm vi : - Môn Đại số lớp 8. - Chương I : Phép nhân và phép chia đa thức. - Các bài toán : Rút gọn, tính toán, chứng minh . - Các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo. III.Đối tượng : Học sinh lớp 8. IV.Mục đích : - Nâng cao chất lượng dạy và học. - Học sinh hiểu và vận dụng được các hằng đẳng thức vào giải bài tập. Sử dụng hằng đẳng2 thức để giải bài tập
3. Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên Phần II : Nội dung của đề tài  A.Nội dung : I. Cơ sở lý luận,khoa học của đề tài: Để góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa học cần thiết của con người lao động mới môn toán học một vai trò rất quan trọng. Học sinh học toán được hình thành và rèn luyện các kỹ năng tính toán, biến đổi, đo đạc, vẽ hình Các em rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp lô gic, khả năng quan sát dự đoán; bồi dưỡng các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập và sáng tạo. Bước đầu hình thành khả năng vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và các môn học khác. Do vậy việc dạy và học toán cần đạt các yêu cầu sau: - Đảm bảo tính hệ thống, khoa học. - Học đi đôi với hành. - Tích cực, tự lực, say mê học tập. - Rèn luyện kỹ năng tính toán, vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác. Để vận dụng được các hằng đẳng thức vào giải bài tập yêu cầu học sinh phải nắm chắc các hằng đẳng thức sau: • Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ : 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. 3. a2 - b2 = (a + b)(a – b). 4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. 5. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3. 6. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2). 7. a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2). • Một số hằng đẳng thức tổng quát: 2 2 2 8. (a1+ a2+ + an) = a1 + a2 + +an + 2a1a2 + .+2a1an + .+2an-1an 9. an – bn = (a - b)(an-1+ an-2b +an-3b2 + + abn-2 + bn ) (với mọi n nguyên dương). 10. an + bn = (a + b)(an-1- an-2b +an-3b2 - – abn-2 + bn ) (với mọi n lẻ). Sử dụng hằng đẳng3 thức để giải bài tập
4. Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên n n n-1 n-2 2 n-1 n 11. (a + b) = a +c1 a b +c2 a b + +cn-1 ab + b Khi khai triển (a + b)n ta được một đa thức có n+1 hạng tử, hạng tử đầu là an, hạng tử cuối là bn , các hạng tử khác đều chứa a và b; bậc của mỗi hạng tử đối với tập hợp biến a, b là n. Các hệ số c1 , c2 , . cn-1 được xác định bởi bảng tam giác Pa – xcan như sau: n = 0 1 n =1 1 1 n =2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 c1 c2 c3 c4 Nhận xét : - Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1. - Mỗi số trên một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên. II.Đối tượng : Môn Đại số 8 III.Nội dung, phương pháp nghiên cứu : • Xuất phát từ các bài tập trong sách giáo khoa và những kiến thức đã học để học sinh làm được các dạng bài tập : Rút gọn biểu thức, tính giác trị biểu thức, chứng minh đẳng thức . • Để hình thành kỹ năng này cho học sinh khi giảng dạy giáo viên phải tạo ra các tình huống có vấn đề . Học sinh phải được thực hành nhiều trên cơ sở vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải bài tập. • Về nguyên tắc phải đi từ cái đã biết đến cái chưa biết,từ đơn giản đến phức tạp , từ trực quan sinh động đến t duy trừu tượng. • Phương pháp nghiên cứu chính là: - Tiến hành giảng dạy theo phương pháp đổi mới. - Tổng kết rút bài học kinh nghiệm. - Bước đầu áp dụng thử nghiệm. Sử dụng hằng đẳng4 thức để giải bài tập
5. Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên 3.1 Các ví dụ minh hoạ: Bài toán 1: Rút gọn biểu thức I. Cách làm : - Để rút gọn biểu thức, ta cần vận dụng các hằng đẳng thức cơ bản đã học để rút gọn. - Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau. Chẳng hạn : (A- B)2= A2- 2AB + B2 hoặc ngược lại A2- 2AB + B2 = (A- B)2 II. Bài tập : 1, Bài 1 : Rút gọn biểu thức: a. A = (x2+2)2 – (x +2)(x – 2)(x2 + 4). b. B = (x2-xy + y2)(x - y)(x +y)(x2 + xy+y2). c. C = (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 d. D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 +(b – c - a)2 +(c –a - b )2 Giải: a, A = (x2+2)2 – (x +2)(x – 2)(x2 + 4). = x4 + 4x2+4 – (x2 - 4)(x2 + 4). = x4 + 4x2+4 - x4 +16. = 4x2 + 20 = 4(x2 +5). b, B = (x2-xy + y2)(x - y)(x +y)(x2 + xy+y2). = [(x+y)( (x2-xy + y2)].[(x- y)(x2 + xy+y2)]. = (x3- y3)(x3+y3) = x6 – y6 c. C = (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 = [(2x+3) – (2x +5)]. = ( 2x +3 – 2x – 5)2 = (-2)2 = 4. d. D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 +(b – c - a)2 +(c –a - b )2 = a2 +b2+c2 +2ab + 2ac + 2bc + a2 +b2+c2 -2ab - 2ac + 2bc + a2 +b2+c2 +2ab - 2ac - 2bc = 4(a2 +b2+c2) +2(ab –ac + bc). Bài toán 2 : Tính giá trị của biểu thức. I. Cách làm : Để tính giá trị của biểu thức ta có thể làm theo hai cách : + Thay trực tiếp giá trị của biến vào để tính. + Rút gọn biểu thức rồi sau đó thay giá trị của biến vào để tính. II. Bài tập : 1. Bài 1. Tính hợp lý: A = 2632 + 74. 263 + 372 632 47 2 B = 2152 1052 Sử dụng hằng đẳng5 thức để giải bài tập
6. Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên C = (3 +1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) D = (502 + 482 + 462 + .+22) – (492 + 472 + +12) Giải : A = 2632 + 2.37. 263 + 372 = (263 + 37)2 = 3002 = 90 000. (63 47)(63 47) 110.16 16 1 B = = (215 105)(215 105) 320.110 320 20 C = (3 +1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) 2C = (3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) = (32-1). )(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) =(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) = (38-1)(38+1)(316+1)(332+1) = (316-1)(316+1)(332+1) = (332-1)(332+1) = 364- 1. 364 1 C 2 D = (502 + 482 + 462 + .+22) – (492 + 472 + +12) = (502- 492) +(482-472) + .+(22 – 1) = 50 + 49 + 47 + . +2 +1 (50 1).50 = = 1275 2 2. Bài 2 : a. Cho x = -2. Tính giá trị biểu thức: A = (x-1)3 – 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x2+x+1). b. Cho x – y = 5 . Tính giá trị biểu thức : B = x(x+2) + y(y-2) – 2xy +65 c. Cho x+y = a , x2+y2 = b. Tính x3+y3 theo a và b. Giải : a. A = (x-1)3 – 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x2+x+1) = x3 – 3x2 + 3x – 1 – 4x(x2-1) + 3(x3 – 1) = x3 – 3x2 + 3x – 1 – 4x3 + 4x + 3x3 – 3 = – 3x2+7x – 4 Thay x = -2 vào biểu thức, ta được : A = -3(-2)2 + 7.(-2) – 4 = -30. Sử dụng hằng đẳng6 thức để giải bài tập
7. Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên b. B = x(x+2) + y(y-2) – 2xy +65 = x2 + 2x + y2 – 2y – 2xy +65 = (x – y)2 + 2(x- y) +65 Thay x – y =5 vào biểu thức, ta được : B = 52 + 2.5 + 65 = 100. c. Ta có : x3+y3 = (x +y)(x2- xy +y2) = (x +y)[( x2+y2) – xy] = a(b – xy) (1) Từ x+y = a , x2+y2 = b (x +y)2 = a2 x2+ 2xy + y2 = a2 2xy + b = a2 a 2 b xy (2) 2 a 2 b 3ab a 3 Từ (1) và (2) ta có : x 3 y 3 a(b ) 2 2 Bài toán 3 : Chứng minh các hằng đẳng thức I. Cách làm : Để chứng minh hằng đẳng thức ta có nhiều cách để biến đổi: + Biến đổi VT về VP hoặc ngược lại. + Biến đổi VT và VP cùng bằng một biểu thức. + Xét hiệu VT – VP = 0 hoặc VP – VT = 0. II. Bài tập : 1. Bài 1 : Chứng minh rằng : a. a3+ b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b) b. (a2+b2) (c2+d2) = (ac + bd)2+(ad – bc)2 c. 20002+20032+20052+20062 = 20012+20022+20042+20062 Giải : a. a3+ b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b) VP = (a+b)3 – 3ab(a+b) = a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 – 3a2 b – 3ab2 = a3+ b3 Vậy VT = VP , đẳng thức được chứng minh. b. (a2+b2) (c2+d2) = (ac + bd)2+(ad – bc)2 VT = (a2+b2) (c2+d2) = a2c2+ a2 d2+ b2c2+ b2d2 (1) VP = (ac + bd)2+(ad – bc)2 = a2c2+2abcd + b2d2 + a2 d2 – 2abcd + b2c2 = a2c2+ a2 d2+ b2c2+ b2d2 (2) Từ (1) và (2) suy ra VT = VP , đẳng thức được chứng minh. Sử dụng hằng đẳng7 thức để giải bài tập
8. Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên c.20002+20032+20052+20062 = 20012+20022+20042+20072 Xét hiệu VT – VP , ta được : (20032- 20022) +(20052 - 20042 ) - (20012- 20002 ) – (20072 – 20062) = 4005 + 4009 – 4001 – 4013 = 0 VT - VP = 0 , đẳng thức được chứng minh. 2. Bài 2 : Chứng minh rằng : a. Nếu a + b + c = 0 thì a3+b3+c3 = 3abc b. Nếu a2 – b2 – c2 = 0 thì (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2 Giải : a. Nếu a + b + c = 0 thì a3+b3+c3 = 3abc Do a + b + c = 0 a = - (b +c) Ta có a3+b3+c3 = [- (b+c)]3 +b3+c3 = - b3- 3b2c – 3 bc2 -c3 +b3+c3 = - 3b2c – 3 bc2 = -3bc(b+c) = -3bc(-a) = 3abc. Vậy nếu a + b + c = 0 thì a3+b3+c3 = 3abc b. Nếu a2 – b2 – c2 = 0 thì (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2 Từ a2 – b2 – c2 = 0 c2= a2 - b2 Ta có (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (5a – 3b) 2 – (4c)2 = 25a2 – 30 ab +9b2 – 16c2 = 25a2 – 30 ab +9b2 – 16(a2 – b2) = 25a2 – 30 ab +9b2 – 16a2 +16b2 = 9a2 – 30 ab +25b2 = (3a – 5b)2 Vậy nếu a2 – b2 – c2 = 0 thì (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2 Bài toán 4 : Tìm x, y a. (x+2)(x2 – 2x +4) – x(x2 +2) = 15 b. (x-2)3 – (x- 3)(x2 +3x +9) + 6(x2+1) = 15 c. x2 – 2x + y2 + 4y +5 = 0 Giải : a. (x+2)(x2 – 2x +4) – x(x2 +2) = 15 x3 + 8 - x3 – 2x = 15 2x = -7 7 x = 2 Sử dụng hằng đẳng8 thức để giải bài tập