Sáng kiến kinh nghiệm Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai

1. TRƯỜNG THCS TRẦN QUANG DIỆU NĂM HỌC:2011-2012 MỤC LỤC I/ ĐẶT VẤN ĐỀ(Lý do chọn đề tài) trang 2 II/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) trang 2 1)Cơ sở lý luận của vấn đề trang 2 2)Thực trạng của vấn đề trang 2 3)Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề trang 3 A/ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC , RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI trang 3 B/ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐẢO VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI trang 15 4)Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trang20 1/ ĐỐI VỚI HỌC SINH 2/ ĐỐI VỚI BẢN THÂN III/KẾT LUẬN trang21 GV: NGUYỄN HỮU ĐỨC 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIẾM
2. TRƯỜNG THCS TRẦN QUANG DIỆU NĂM HỌC:2011-2012 RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI  I/ ĐẶT VẤN ĐỀ(Lý do chọn đề tài) *Qua những năm giảng dạy ở trường THCS . Tôi nhận thấy rằng các em học sinh , nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các trường chuyên , trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau này . Mà ở các kỳ thi đó , nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản không thể thiếu đó là chương căn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính căn . Phần lớn các em không làm được bài , bởi vì các em chưa nhận thấy được các biểu thức đã cho có liên quan đến một kiến thức rất quan trọng là hằng đẳng thức ( hệ thức VI-ÉT đảo) mà các em đã được học ở lớp 8 , 9 . Xuất phát từ tình hình đó , qua những năm giảng dạy và học hỏi ở đồng nghiệp , tôi rút ra được một số kinh nghiệm cho bản thân để có thể truyền dạy cho các em những kiến thức cơ bản để có thể giải quyết được vấn đề khó khăn ở trên . Chính vì vậy tôi mới chọn đề tài "Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai " *Đề tài được áp dụng cho học sinh lớp 9 và các học sinh khá , giỏi môn toán và được thực hiện trong các giờ luyện tập , ôn tập , ôn thi vào lớp 10 và các trường chuyên về giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức và thực hiện phép tính có chứa căn . II/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) 1)Cơ sở lý luận của vấn đề: Ở các kì thi học kì I , học kì II , ôn thi vào lớp 10 , vào các trường chuyên , học sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính có chứa căn thức bậc hai . Muốn giải được bài tập đó đòi hỏi học sinh phải nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8 và phải biết vận dụng chúng vào từng loại bài tập . Cái khó ở đây là các em học bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới dạng biểu thức chứa chữ , không có chứa căn , mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng căn thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8 . Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy được ở điểm này nên không làm được bài tập rút gọn . Vì vậy ta phải làm sao cho học sinh nhận thấy được mối quan hệ qua lại giữa hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 và hằng đẳng thức lớp 9 để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó vào việc giải bài tập . 2)Thực trạng của vấn đề: Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên , ta cần cho học sinh học kỷ bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 ( theo thứ tự ): 1) Bình phương một tổng : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 2) Bình phương một hiệu : ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 3) Hiệu hai bình phương : a2 – b2 = ( a + b ).( a – b ) 4) Lập phương một tổng : ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) Lập phương một hiệu : ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6) Tổng hai lập phương : a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 ) 7) Hiệu hai lập phương : a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 ) Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ tự ) viết dưới dạng có dấu căn : GV: NGUYỄN HỮU ĐỨC 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIẾM
3. TRƯỜNG THCS TRẦN QUANG DIỆU NĂM HỌC:2011-2012 2 1) a 2 ab b a b 2 2) a 2 a 1 a 1 2 2 3) a b a b a b . a b 3 3 4) a a b b a b ( a b). a ab b 3 5)1 a a 1 3 a (1 a). 1 a a 6) a b b a ab( a b) 7) a a a( a 1) *Chú ý : + a ; b > 0 + Hằng đẳng thức số 4 ; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9 , nên tôi không đưa vào phần ghi nhớ ở lớp 9. Khi làm được điều này học sinh sẽ có căn cứ để giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai . 3)Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: Trong phần này tôi sẽ trình bày hai nội dung chính : A/ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC , RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI : *Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập , tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai như sau : Bài tập 64/33 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau : 2 1 a a 1 a a) a 1 voi a 0;a 1 1 a 1 a Nhận xét đề bài : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau : 3 1 a a 13 a 1 a . 1 a a 2 1 a 12 a 1 a . 1 a tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3 ; 5 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái : Giải 2 1 a a 1 a VT a 1 a 1 a 2 1 a . 1 a a 1 a a . 1 a 1 a . 1 a 2 1 1 2 a a . 1 a GV: NGUYỄN HỮU ĐỨC 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIẾM
4. TRƯỜNG THCS TRẦN QUANG DIỆU NĂM HỌC:2011-2012 2 Đến đây ta lại thấy xuất hiện hđt : 1 2 a a 1 a tương tự hđt số 2 lớp 9 . Tiếp tục biến đổi 2 1 ta được kết quả : VT 1 a . 1 VP ðpcm 2 1 a a b a2b4 b) a với a+b >0 và b 0 b2 a2 2ab b2 Nhận xét : a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 hđt số 1 lớp 8 . Áp dụng vào bài toán ta biến đổi vế trái : Giải a b a2b4 a b a2b4 VT b2 a2 2ab b2 b2 a b 2 2 a b ab a b b2 a . . a VP ðpcm Vi a b 0 b2 a b b2 a b Bài 65 /34 sgk : Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 , biết : 1 1 a 1 M : Voi a 0 va a 1 a a a 1 a 2 a 1 a a a( a 1) Nhận xét : 2 có dạng hđt số 2 và 7 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán : a 2 a 1 a 1 Giải 1 1 a 1 1 1 a 1 M : : 2 a a a 1 a 2 a 1 a a 1 a 1 a 1 2 a 1 1 a a 1 1 a M : 2 . a a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1 1 M 1 1 Vi a 0 a a Bài 75 / 41 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau a b b a 1 c) : a b Voi a,b 0 ;a b ab a b a a a a d) 1 . 1 1 a voi a 0 va a 1 a 1 a 1 Nhận xét : Hai câu trên gồm có các hđt số 6 & 7 lớp 9 : a b b a ab a b a a a a 1 Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số 3 lớp 8 : GV: NGUYỄN HỮU ĐỨC 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIẾM
5. TRƯỜNG THCS TRẦN QUANG DIỆU NĂM HỌC:2011-2012 Giải a b b a 1 ab a b 2 2 c)VT : . a b a b a b VP ðpcm ab a b ab a a a a a a 1 a a 1 d)VT 1 . 1 1 . 1 a 1 a 1 a 1 a 1 2 1 a . 1 a 12 a 1 a VP ðpcm Bài 76 / 41 sgk : Cho biểu thức a a b Q 1 : voi a b 0 a2 b2 a2 b2 a a2 b2 a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 3 lớp 8 . Áp dụng vào bài toán ta rút gọn câu a : Giải a a b a)Q 1 : a2 b2 a2 b2 a a2 b2 a a2 b2 a a a2 b2 Q . 2 2 2 2 a b a b b 2 2 2 2 a a a b a a2 a2 b2 Q a2 b2 b a2 b2 a2 b2 b a2 b2 2 a b2 a b a b a b Q a2 b2 b a2 b2 a2 b2 a b. a b a b b) Khi a 3b .Ta co : a b 3b b 1 2 Q a b 3b b 2 2 Bài 85 / 16 sbt : Cho biểu thức : x 1 2 x 2 5 x P voi x 0; x 4 x 2 x 2 4 x a) Rút gọn P b) Tìm x để P = 2 Nhận xét : Bài toán cho có hằng đẳng thức : 4 x 2 x . 2 x và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P GV: NGUYỄN HỮU ĐỨC 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIẾM
6. TRƯỜNG THCS TRẦN QUANG DIỆU NĂM HỌC:2011-2012 Giải x 1 2 x 2 5 x x 1 2 x 2 5 x a)P x 2 x 2 4 x x 2 x 2 x 4 x 1 x 2 2 x x 2 2 5 x P x 4 x 2 x x 2 2x 4 x 2 5 x P x 4 3x 6 x 3 x x 2 3 x P x 4 x 2 x 2 x 2 3 x b)P 2 2 3 x 2 x 2 x 4 x 16 x 2 Bài 86 / 16 sbt : Cho biểu thức : 1 1 a 1 a 2 Q : voi a 0;a 4 ;a 1 a 1 a a 2 a 1 a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị của a để Q dương Nhận xét : Sau khi quy đồng mẫu thức , ta thấy xuất hiện dạng hđt số 3 lớp 8 Giải 1 1 a 1 a 2 a)Q : a 1 a a 2 a 1 a a 1 a 1 a 1 a 2 a 2 Q : a a 1 a 2 a 1 1 a 1 a 4 1 a 2 a 1 a 2 Q : . a a 1 a 2 a 1 a a 1 3 3 a a 2 b) Q 0 0 vi 3 a 0(a 0) a 2 0 a 2 a 4 3 a Bài 105 / 20 sbt :Chứng minh các đẳng thức ( với a,b không âm và a b ) a b a b 2b 2 b a) 2 a 2 b 2 a 2 b b a a b 2 a a b b a b b) ab 1 a b a b Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hđt số 3 & 4 lớp 9 kết hợp với quy tắc đổi dấu . Áp dụng vào bài toán , biến đổi vế trái : GV: NGUYỄN HỮU ĐỨC 6 SÁNG KIẾN KINH NGHIẾM
7. TRƯỜNG THCS TRẦN QUANG DIỆU NĂM HỌC:2011-2012 Giải a b a b 2b a b a b 2b a)VT 2 a 2 b 2 a 2 b b a 2( a b) 2( a b) a b 2 2 a b a b 4b (a 2 ab b) (a 2 ab b) 4b 2 a b 2 a b 4 ab 4b 4 b a b 2 b VP ðpcm 2 a b 2 a b a b a b 2 a a b b a b b)VT ab a b a b 2 a b a ab b a b ab a b a b a b 2 1 2 1 a 2 ab b a b . 1 VP ðpcm 2 a b a b Bài 106 / 20 sbt : Cho biểu thức : 2 a b 4 ab a b b a A a b ab a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Khi A có nghĩa . Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau : 2 a 2 ab b a b Áp dụng vào bài toán ta có lời giải: a b b a ab( a b) Giải 2 a b 4 ab a b b a A a b ab a) ÐK : a;b 0 ;a b 2 a b 4 ab a b b a a 2 ab b 4 ab ab a b b)A a b ab a b ab 2 a 2 ab b a b A a b a b a b a b A a b a b a b a b 2 b Biểu thức A không phụ thuộc vào a . GV: NGUYỄN HỮU ĐỨC 7 SÁNG KIẾN KINH NGHIẾM