Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy sáng tạo qua một số dạng toán phương trình nghiệm nguyên

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy sáng tạo qua một số dạng toán phương trình nghiệm nguyên

1. A - Phần mở đầu I- Đặt vấn đề Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo. Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo biết tìm tòi ra những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy logic giải các bài toán. Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS trực tiếp bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức trong SGK, đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ. Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm ra đáp số của chúng. Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhauđể tạo hứng thú cho học sinh. Một bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi bài toán thường nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực nhiều mặt một cách sáng tạo vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp. Các dạng toán về số học ở chương trình THCS thật đa dạng phong phú như: Toán về chia hết, phép chia có dư, số nguyên tố, số chính phương, phương trình nghiệm nguyên . Đây là một dạng toán có trong SGK lớp 9 nhưng chưa đưa ra phương pháp giải chung. Hơn nữa phương trình nghiệm nguyên có rất nhiều trong các đề thi:Tốt nghiệp THCS ;Trong các đề thi học sinh giỏi huyên, học sinh giỏi tỉnh . Song khi giải các bài toán này không ít khó khăn phức tạp. Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán và chưa có nhiều phương pháp giải hay. Từ những thuận lợi, khó khăn và yêu cầu thực tiễn giảng dạy.Tôi chọn đề tài: “Rèn luyện tư duy sáng tạo qua một số dạng toán phương trình nghiệm nguyên” Trong quá trình viết đề tài do điều kiện và kinh nghiệm không tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong được sự đóng góp, chỉ đạo của thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. II. Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu.
2. Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán trên và có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho 10 em học sinh trong đội tuyển của trường như sau: Bài 1: ( 6 đ ) a)Tìm x, y є Z biết x – y + 2xy = 6 b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x – 7y = 3 Bài 2: (4 đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 1 + x + x2 + x3 = 2y Kết quả thu được như sau: Dưới điểm 5 Điểm 5 - 7 Điểm 8 - 10 Điểm 5 - 10 SL % SL % SL % SL % 6 60 4 40 0 0 4 40 Qua việc kiểm tra đánh giá tôi thấy học sinh không có biện pháp giải phương trình nghiệm nguyên đạt hiệu quả. Lời giải thường dài dòng, không chính xác, đôi khi còn ngộ nhận . Cũng với bài toán trên nếu học sinh được trang bị các phương pháp” Giải phương trình nghiệm nguyên “thì chắc chắn sẽ có hiệu quả cao hơn. III-Mục đích - Đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo khi học và giải toán. - Biết cách định hướng và giải bài tập ngắn gọn. - Phát huy trí lực của học sinh tìm nhiều cách giải hay phát triển bài toán mới. - Giúp học sinh tự tin khi giải toán hoặc trong thi cử. IV-Phạm vi áp dụng: - áp dụng vào việc giảng dạy các chuyên đề trong trường học hoặc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9, ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào các lớp chọn, lớp chuyên PTTH. - Thời gian nghiên cứu có hạn mặc dù được sự góp ý chân thành của nhiều giáo viên có chuyên môn cao, song vẫn còn nhiều điều bỏ ngỏ để tiếp tục khai thác và đi sâu hết dạng toán này. B- Nội dung
3. Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể là phương trình một ẩn, nhiều ẩn. Nó có thể là phương trình bậc nhất hoặc bậc cao. Không có cách giải chung cho mọi phương trình, để giải các phương trình đó thường dựa vào cách giải một số phương trình cơ bản và một số phương pháp giải như sau: Chương I - Các dạng phương trình cơ bản I-Phương trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) với a, b, c є Z 1.Các định lí: a. Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình ax + by = c (trong đó a,b,c là các số nguyên khác 0 ) có nghiệm nguyên (a,b) là ước của c. b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) là một nghiệm nguyên của phương trình ax + by = c thì nó có vô số nghiệm nguyên và nghiệm nguyên (x,y) được cho bởi công thức: b x x t 0 d a Với t є Z, d = (a,b) y y t 0 d 2.Cách giải: a.Tiến hành qua 5 bước sau: (cách giải chung) Bước 1: Tìm d = (a,b) Khi đó ax + by = c a1x + b1y = c1 Với a = da1; b = db1; c = dc1; (a1; b1) = 1 Bước 2: Viết thuật toán Ơclit cho 2 số a1 và b1 Giả sử : a1 > b1 Ta có a1 = b1 q0 + r1 b1 = r1q1 + r2 r1 = r2q2 +r3 rn-2 = rn-1 + rn Với rn = 1
4. 1 m Bước 3: Tính a0 + = 1 n a 1 1 a 2 1 a k Bước 4: Lấy nghiệm riêng (x0’; y0’) của phương trình a1x + b1y = 1 sao cho : x0’ = m x0’ = n hoặc y0’ = n y0’ = m Xác định dấu bằng cách thử trực tiếp được (x0’, y0’) Bước 5: x0 = c1 x0’; y0 = c1y0’ là nghiệm riêng của phương trình a1x + b1y = c1 nghiệm tổng quát của phương trình là: x = x0 + b1 t y = y0 –a1t (với t є Z ) Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 5x – 7y = 3 Hướng dẫn: Ta nhận thấy (5, 7) = (7, 3) = 1 . Vậy phương trình có nghiệm nguyên Để giải ta tiến hành các bước: - Viết thuật toán Ơclit cho 2 số 5 và 7 m 1 3 7 = 5.1 + 2 = 1 + = n 2 2 5 = 2.2 + 1 - Tìm nghiệm riêng của phương trình 5x – 7y = 1 (x0’, y0’) = (3, 2) - Tìm nghiệm riêng của phương trình 5x – 7y = 3 là (x0, y0) = (9, 6) nghiệm tổng quát của phương trình là: x = 9 – 7t hay x = 7t + 2
5. y = 6 – 5t y = 5t + 1 (t є Z ) Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên 6x –14 y = 12 Hướng dẫn: Ta nhận thấy (6 ,14) = (6 ,12) = 2 pt có nghiệm ta tiến hành giải như sau: Bước 1: 6x –14 y = 12 3x – 7y = 6 Bước 2: Viết thuật toán Ơclit cho 3 và 7 7 = 3.2 + 1 m 2 Bước 3: Tính = q0 = 2 = n 1 Bước 4: Tìm nghiệm riêng của phương trình 3x – 7y = 1 là (x0’, y0’) = (-2; -1) Bước 5: Xác định nghiệm riêng của pt 3x – 7y = 6 là (x0; y0) = (-12; -6) Nghiệm tổng quát của phương trình 6x –14 y = 12 là x = -12 – 7t hay x = 7t + 2 y = -6 – 3t y = 3t (t є Z ) * Nhận xét: Trên đây là phương pháp chung để giải phương trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c Tuy nhiên khi đi vào bài toán cụ thể bằng các kiến thức về chia hết biết khéo léo sử dụng sẽ cho lời giải ngắn gọn. b.Cách giải thông thường khác (3 bước) Bước 1: Rút ẩn này theo ẩn kia (giả sử rút x theo y) Bước 2: Dựa vào điều kiện nguyên của x, tính chất chia hết suy luận để tìm y Bước 3: Thay y vào x sẽ tìm được nghiệm nguyên Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x + 5y =7 Hướng dẫn: Ta có 2x + 5y =7 x = 7 5y 2 x = 3 – 2y +1 y 2
6. 1 y 1 y Do x, y nguyên nguyên. Đặt = t với (t є Z ) 2 2 y = 1 – 2t x = 3 – 2(1- 2t) + t = 5t + 1 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: x = 5t + 1 y = -2t +1 (t є Z ) Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên 6x – 15 y = 25 Hướng dẫn: Ta thấy( 6,15 ) = 3 mà 3/25 Vậy không tồn tại x,y nguyên sao cho 6x- 15y = 25 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình. 5x + 7y = 112 Hướng dẫn: Ta có 5x + 7y = 112 x = 112 7y = 22 - y + 2 2y 5 5 2 2y Do x, y nguyên nguyên hay (2 – 2y) 5 2(1-y)  5; (2 , 5) = 1 5 (1-y)  5 hay (y-1)5 . Đặt y-1 = 5t (t є Z ) y = 5t +1 thay y vào x ta có x = 21 – 7t lại có x > 0; y > 0 5t + 1 > 0 t > - 1 5 21 – 7t > 0 t < 3 t = 0 ;1; 2  Nếu t = 0 x = 21; y = 1 Nếu t = 1 x = 14; y = 6 Nếu t = 2 x = 7; y = 11
7. II. Phương trình nghiệm nguyên dạng a1x1 + a2x2 + + anxn= c (2) Với a, c є Z (i = 1,2 n); n 2 1.Định lý: Điều kiện cần và đủ để phương trình (2) có nghiệm là (a1, a2, an) \ c 2.Cách giải: Đưa phương trình về 1 trong 2 dạng sau: a. Có một hệ số của một ẩn bằng 1 Giả sử a1 = 1. Khi đó x1 = c – a2x2 – a3x3 - - anxn với x1, x2, ., xn є Z Nghiệm của phương trình là: (c - a2x2 – a3x3 - - anxn , x2, ., xn) với x2, ., xn nguyên bất kỳ b. Có hai hệ số là hai số nguyên tố cùng nhau Giả sử ( a1, a2 ) = 1. Khi đó pt (2) a1x1 + a2x2 = c - a3x3 - - anxn Giải phương trình theo 2 ẩn x1, x2 Ví dụ 4: Giải phương trình trên tập số nguyên 6x + 15y + 10 z = 3 Hướng dẫn: Phương trình 6x + 15y + 10 z = 3 có nghiệm nguyên vì (6 ,15, 10) = 1 và 1/3 Cách 1: Ta biến đổi 6x + 15y + 10 z = 3 x + 10(y + z) + 5 ( x+ y) = 3 Đặt t = y + z, k = x + y với( t, k є Z). Ta có: x + 10 t + 5k = 3 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình x = 3- 10 t – 5k y = - 3 + 10 t + 6k ( t, k є Z) z = 3 – 9 t – 6k Cách 2: 6x + 15y + 10 z = 3 6 (x + z) + 15 y + 4 z = 3 Đặt x + z = t ta có 6t +15 y + 4z = 3 15 y + 4z = 3 – 6t Ta có cặp số (-1; 4) là nghiệm riêng của pt 15 y + 4z = 1 nên (-3 + 6t; 12 – 24 t) là nghiệm riêng của phương trình
8. 15 y + 4z = 3 – 6t Do đó nghiệm tổng quát là: y = -3 + 6t + 4k (k є Z) z = 12 – 24t – 15 k lại có t = x + z x = t – z x = -12 = 25t + 15 k Vậy nghiệm tổng quát của phương trình 6x + 15y + 10 z = 3 là: x = -12 = 25t + 15 k y = -3 + 6t + 4k với ( t, k є Z) z = 12 – 24t – 15 k III. Phương trình nghiệm nguyên đưa về dạng g (x1, x2, ., xn) . h (x1, x2, ., xn) = a (3) Với a є Z 1.Cách giải: Đặt g (x1, x2, ., xn) = m (với m là ước của a) m h(x1, x2, ., xn) = a Giải hệ: g (x1, x2, ., xn) = m m h(x1, x2, ., xn) = a tìm được x1, x2, ., xn thử vào (3) ta được nghiệm của phương trình. 2.Chú ý: -Nếu a = 0 ta có g (x1, x2, ., xn) = 0 h(x1, x2, ., xn) = 0 -Nếu a = p với p nguyên tố thì từ pt (3) ta có: g (x1, x2, ., xn) = p 1 h(x1, x2, ., xn) = p 2 Với 1 + 2 = a Ví dụ 5: Tìm x, y є Z biết x – y + 2xy = 6 Hướng dẫn: Ta có x – y + 2xy = 6 2 x – 2y + 4 xy = 12 2 x – 2y + 4 xy –1 = 11 (2x – 1) + 2y(2x-1) = 11
9. (2x – 1) (2y + 1) = 11 Ta có 11 = 1.11= (-1)(-11) = 11.1 = (-11)(-1) Ta có 2y + 1 = 1 (x; y) = (6; 0) 2x – 1 = 11 2y + 1 = -1 (x; y) = (-5; -1) 2x – 1 = -11 2y + 1 = 11 (x; y) = (1, 5) 2x – 1 = 1 2y + 1 = -11 (x; y) = ( 0; -6) 2x – 1 = -1 Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 1 + x + x2 + x3 = 2y Hướng dẫn: Ta có 1 + x + x2 + x3 = 2y (1 + x) (1 + x2) = 2y 1 + x = 2 m và 1 + x2 = 2y – m (m nguyên dương) x = 2 m – 1 x 2 = 22m – 2 m +1 + 1 x2 = 2y – m - 1 x2 = 2y – m – 1 22m – 2m + 1 + 1 = 2 y – m - 1 2 y – m – 22m + 2m +1 = 2 Nếu m = 0 x = 0 ; y = 0 (t/m) Nếu m > 0 2 y – m – 1 – 22m – 1 + 2m = 1 mà 22m – 1và 2m đều là số chẵn nên: 2 y – m – 1 lẻ 2 y – m – 1 = 1 y – m – 1 = 0 y = m + 1 2 m - 22m – 1 = 0 2 m = 22m – 1 m = 2m – 1 m = 1 y = 2 ; x = 1 Vậy (x, y) = (0; 0); (1; 2)