Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua dạng toán tổng của một dãy số viết theo quy luật

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua dạng toán tổng của một dãy số viết theo quy luật

1. Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o TrƯêng trung häc c¬ së BÁO CÁO SÁNG KIẾN "RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠNG TOÁN TỔNG CỦA MỘT DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT" Tác giả: Trình độ chuyên môn: Chức vụ: Giáo Viên Nơi công tác: Trường THCS ., ngày 5 tháng 5 năm 2018 1
2. I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN: Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác nhau. Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài người ngày một tốt đẹp hơn. Chính vì vậy việc mong muốn học khá và học giỏi môn Toán là nguyện vọng của rất nhiều học sinh. Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân. Là một giáo viên ở trường THCS trực tiếp giảng dạy lớp có học sinh chủ yếu là học sinh khá giỏi. Tôi nhận thấy việc giải toán ở chương trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức sách giáo khoa, mà đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ. Muốn học tốt toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các dạng bài toán đa dạng, giải các bài toán tỉ mỉ khoa học, kiên nhẫn để tự tìm ra đáp số của chúng. Muốn vậy giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhau để tạo ra hứng thú học tập cho học sinh. Phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản; sau đó cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản đó; phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán. Từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu. Một bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi bài toán thường nằm trong một dạng toán khác nhau đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực, nhiều mặt một cách sáng tạo, vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp. Trong chương trình Toán THCS nói chung và phần Số Học nói riêng có rất nhiều dạng toán hay. Đặc biệt dạng toán “ Tổng của một dãy số viết theo quy luật” học sinh đã học ở tiểu học, nhưng được hệ thống lại và mở rộng hơn trong chương trình toán lớp 6. Tôi thấy dạng toán này rất đa dạng, phong phú có nhiều dạng bài khác nhau; trong mỗi dạng bài quy luật của dãy số trong tổng cũng không giống nhau. Trong khi đó dạng toán này là một trong những phần trọng tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường THCS nó thường xuất hiện trong các đề kiểm tra của Phòng giáo dục và Sở giáo 3
3. Qua điều tra học sinh bằng nhiều biện pháp và kết quả điều tra 35 bài kiểm tra của lớp 6A Trường THCS B Hải Minh trước khi áp dụng sáng kiến như sau: Giỏi Khá TB Yếu- kém Lớp Sĩ số SL % SL % Sl % SL % 6A 35 2 5,714 8 32 15 42,857 10 28,57 Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm toán về tổng của một dãy số viết theo quy luật còn rất mơ hồ, học một cách máy móc thụ động. Nhiều em chưa biết cách phát hiện ra quy luật của dãy số trong tổng hoặc nếu có phát hiện ra thì lại chưa nắm được phương pháp giải, chưa phân biệt được cách giải của các dạng bài với nhau. Khi các em gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài. Trước thực trạng trên, là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán 6 tôi thấy: Việc hệ thống, phân loại các dạng bài và cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát, một số kỹ năng cơ bản để giải toán nói chung và toán về tổng của một dãy số viết theo quy luật sẽ giúp học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi là điều hết sức cần thiết. Vì thế tôi viết sáng kiến này với mong muốn giúp học sinh biết cách hệ thống, phân loại và vận dụng tốt các phương pháp để giải các dạng bài về tổng của một dãy số viết theo quy luật. 2. Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến Đối với học sinh lớp 6 việc tổng hợp kiến thức khi học về một chủ đề là rất khó khăn. Qua nghiên cứu tôi thấy chủ đề về tổng của một dãy số viết theo quy luật rất đa dạng có nhiều bài toán đòi hỏi có sự suy luận, có tư duy lôgic. Có dạng bài có phương pháp giải chung nhưng cũng có những dạng bài phải qua việc phân tích tìm ra lời giải của một số bài toán. Trong mỗi dạng bài đó ta lại đúc rút tìm ra quy luật, phương pháp giải chung cho dạng toán đó. Do đó để học sinh học tập có hiệu quả cao với chủ đề này theo tôi giáo viên cần phải sưu tầm, hệ thống thành các dạng bài và sắp xếp theo một chuỗi lô gic các dạng bài đó với nhau; phân ra làm các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp để luyện tập cho học sinh. Trong giảng dạy giáo viên cần tổng hợp các kiến thức có liên quan; phân tích tìm ra lời giải cho mỗi dạng bài, hướng dẫn học sinh tìm ra các cách giải khác nhau. Trong mỗi dạng cần chú ý khắc sâu cho học sinh phương pháp giải đối với từng dạng nếu có thể. Chỉ ra những điểm nhấn thể hiện đặc điểm chung 5
4. am. an = am+n ; am: an = am-n ( a 0, m n); (am )n am.n 3. Tính chất chia hết của một tổng: am, bm và cm (a + b+c)  m 4. Quy đồng mẫu số nhiều phân số: - Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu) - Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu. - Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. 5. Các phép tính của phân số: a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu: A B A B A B A B (M 0); (M 0) M M M M M M b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu: - Quy đồng mẫu các phân số. - Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung. A C A.C c. Nhân các phân số:  (B, D 0) B D B.D A C A.D d. Chia 2 phân số: : (B, C, D 0) B D B.C 6. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số: a. Tính chất giao hoán: a c c a - Phép cộng: (b, d 0) b d d b a c c a - Phép nhân:   (b, d 0) b d d b b. Tính chất kết hợp : a c m a c m - Phép cộng : (b, d, n 0) b d n b d n a c m a c m - Phép nhân:     (b, d, n 0) b d n b d n c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (trừ): a c m a m c m    (b, d, n 0) b d n b n d n 7. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b Tính chất: 7
5. Phương pháp khử liên tiếp: Tách một số hạng thành một hiệu trong đó số trừ của hiệu . trước bằng số bị trừ của hiệu sau: a 1 = b1 – b2 , a2 = b2 – b3 , , an = bn – bn+ 1 Khi đó ta có ngay An = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1 Phương pháp 5: Phương pháp dự đoán và quy nạp. Bài toán 1: Tính tổng A = 1 + 2 + 3 + 4 + + 2019 Phân tích: Nhận thấy dãy số 1, 2, 3, 4 2019 là dãy số tự nhiên cách đều. Khoảng cách giữa hai số hạng liền kề là 1. Để tính tổng A ta vận dụng cả bốn phương pháp đầu đã nêu đều được cụ thể ta có các cách giải sau: Hướng giải: Cách 1: Tổng A có số số hạng là: ( 2019 – 1 ): 1 + 1 = 2019 Do đó ta có thể chia A thành 1009 cặp và dư 1số hạng chẳng hạn số 2019 A = 1 + 2 + 3 + 4 + + 2019 A = (1 + 2 + 3 + 4 + + 2018) + 2019 A = (1+2018) + ( 2+2017) + + ( 1009+1010) + 2019 A = 2019 .1009 + 2019 A = 2019. 1010 = 2039190 Vậy A = 2039190 Cách 2: Áp dụng công thức tính: Số số hạng = ( số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1 Tổng = ( số hạng đầu + số hạng cuối ) . số số hạng : 2 Ta có :Tổng A có số số hạng là: ( 2019 – 1 ) : 1 + 1 = 2019 A =( 1+ 2019). 2019 : 2 = 2019. 1010 = 2039190 Cách 3: A = 1 + 2 + 3 + + 2018 + 2019 (có 2019 số hạng) + A = 2019 + 2018 + 2017 + + 2 + 1 Do đó: 2A = 2020 + 2020 + 2020 + + 2020 + 2020 (có 2019 số hạng) 2A = 2019.2020 A = 2019. 2020 : 2 = 2019. 1010 = 2039190 Cách 4: Dùng phương pháp khử liên tiếp: Trước hết ta tách số hạng đầu tiên của A (là 1) thành một hiệu trong đó có một số hạng là tích của hai số hạng liên tiếp trong tổng A ( một thừa số là số hạng đầu tiên 1): 1 1 = ( 1.2 – 0.1) 2 9
6. Nhận xét : Như vậy tùy từng dạng bài và mức độ tiếp thu kiến thức của mỗi em, có thể vận dụng linh hoạt các phương pháp giải sao cho dễ nhớ, phù hợp. Mở rộng: Viết công thức tổng quát tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách đều ? An= 1 + 2 + 3 + + (n – 1) + n. Hướng giải: Bằng các cách tính tổng tương tự như bài toán 1 ta có An= (n+1). n : 2 (n N*) (1) Tuy nhiên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh bằng phương pháp qui nạp: - Khi n = 1 ta có: : A1 = 1 ( 1 + 1) : 2 = 1 đúng. - Giả sử bài toán đúng với n = k > 1( k N), nghĩa là: Ak = 1 + 2 + 3 + + (k – 1) + k = k ( k+ 1) : 2 - Ta xét: Ak + 1 = 1 + 2 + 3 + + (k – 1) + k + (k + 1) = Ak + (k + 1) = k ( k+ 1) : 2 + (k + 1) k (k 1) 1 = (k + 1) 1 (k 1) 2 2 (k 1) 1 Nên Ak + 1 = (k + 1) . Tức là bài toán đúng với n = k + 1. 2 Vậy với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có: An= 1 + 2 + 3 + + (n – 1) + n = n.(n + 1) : 2 Nhận xét: Ta có thể chứng minh (1) bằng phương pháp qui nạp sau đó áp dụng để tính các tổng có dạng đó. Bài tập luyện: Bài 1: A = 7 + 9 + 11 + + 99 + 101. a, Chứng tỏ A chia hết cho 2. b, Tìm số hạng thứ 25 của tổng trên. Hướng giải: *Câu a muốn chứng tỏ A chia hết cho 2 ta có thể nghĩ ngay đến đi tính tổng A. Khoảng cách giữa hai số hạng là 2, bằng cách vận dụng một trong các cách giải như bài toán 1 ta tính được A = 2592  2 *Câu b từ công thức Số số hạng = ( số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1 Ta có: Số hạng thứ n = ( số số hạng – 1 ) . khoảng cách + số hạng đầu Số hạng thứ 25 của tổng A là ( 25 – 1) . 2 + 7 = 55 11
7. Hướng giải: Từ trang 3 đến trang 9 có (9 – 3) : 1 +1 = 7 trang có một chữ số Từ trang 10 đến trang 99 có (99 – 10) : 1 +1 = 90 trang có hai chữ số Từ trang 100 đến trang 132 có (132 – 100) : 1 +1 = 33 trang có ba chữ số Số chữ số cần dùng là 7.1 + 90.2 + 33.3 = 286 chữ số. Baøi 6: Tính soá trang cuûa moät cuoán saùch. Bieát raèng ñeå ñaùnh soá trang cuûa cuoán saùch ñoù ngöôøi ta phaûi duøng 3897 chöõ soá? Hướng giải: Từ trang 1 đến trang 9 có (9 – 1) : 1 +1 = 9 trang có một chữ số Từ trang 10 đến trang 99 có (99 – 10) : 1 +1 = 90 trang có hai chữ số Từ trang 100 đến trang 999 có (999 – 100) : 1 +1 = 900 trang có ba chữ số Phaûi duøng 9 + 90.2 + 900.3 = 2889 chöõ soá ñeå vieát taát caû caùc trang coù 1, 2, vaø 3 chöõ soá. Vì 2889 < 3897 neân soá phaûi tìm laø soá coù 4 chữ số trở lên. Taát caû caùc soá coù 4 chöõ soá 3897 2889 1008 ñược vieát laø: 252 (soá). 4 4 Soá thöù nhaát coù 4 chöõ soá laø 1000 Do đó soá thöù 252 coù 4 chöõ soá laø:1000 + (252 – 1 ) : 1 = 1251. Vaäy cuoán saùch coù 1251 trang. 2.2. Dạng 2: Tổng của một dãy số các số nguyên viết theo quy luật có đan dấu cộng và trừ. Bài toán 2: Tính tổng A = –1 + 3 – 5 + 7 – 9 + + 2019 Phân tích: Đây là tổng dãy số lẻ liên tiếp có đan dấu “+” và “– ”. + Hướng thứ nhất: Ta có thể dùng phương pháp tính tổng thông qua các tổng đã biết: A = ( 3+ 7 + 2015+ 2019) – ( 1 + 5 + 9 + +2013+ 2017). Đến đây ta tính tổng ( 3+ 7 + 2015+ 2019) và tổng ( 1 + 5 + 9 + +2013+ 2017) tương tự như bài toán 1. Tính được tổng A. + Hướng thứ hai: Chúng ta cũng nhận thấy tổng A có 1010 số hạng, nếu nhóm hai số hạng liền kề vào thành một cặp: (–1 + 3), (–5 + 7) , , (– 2017 + 2019) ta có giá trị của mỗi cặp đều bằng 2; biết được số cặp ta sẽ tính được tổng A đơn giản hơn hướng thứ 1 13
8. n n An = –1 + 3 – 5 + 7 – 9 + + (-1) (2n – 1) = (-1) . n (*) Nhận xét: Ta có thể chứng minh (*) bằng phương pháp qui nạp sau đó áp dụng để tính các tổng có dạng đó. Bài tập luyện: Bài 1: Tính tổng sau: a, B = 2 – 4 + 6 – 8 + + 2014 – 2016 + 2018 b, C = 2 – 4 – 6 + 8 + 10 –12 – 14 + 16 + .+ 104 – 106 – 108 + 200 Hướng giải: a, B là tổng dãy số chẵn liên tiếp có đan dấu “+” và “ – ” tương tự ta cũng có các hướng làm như bài toán 2. Kết quả B = 1010 b, Nhận thấy tổng C có 100 số hạng nếu ta nhóm 4 số hạng liên tiếp của C vào một nhóm (2 – 4 – 6 + 8) , (10 – 12 – 14 + 16), , (104 – 106 – 108 + 200) thì giá trị của mỗi nhóm bằng nhau ( bằng 0) và vừa đủ 25 nhóm. Do đó C = 0 Bài 2: Cho A = 1 – 7 + 13– 19 + 25 – 31 + 37– a, Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? b, Biết A có 50 số hạng. Tính giá trị của A. c, Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? d, Tìm số hạng thứ 2018 của A. Hướng giải: a, Gọi số số hạng của dãy A để A = 181 là m Vì mỗi số hạng của A là một số lẻ mà tổng A = 181 ( có giá trị là số lẻ ) nên m là số lẻ. Do đó nếu nhóm hai số hạng vào một cặp sẽ còn dư một số, giá trị của số hạng cuối lại chưa biết. Ta nghĩ đến nhóm (–7 + 13), (–19 + 25), (– 31 + 37), thì giá trị của mỗi nhóm bằng nhau ( bằng 6) và A còn dư số 1. Do đó ta có cách làm sau: 1 + (–7 + 13) + (–19 + 25) + (– 31 + 37)+ = 181 Có m – 1 số hạng 6 + 6 +6 + + 6 = 180 Có ( m – 1 ) : 2 số ( m – 1 ) : 2 . 6 = 180 m – 1 = 60 m = 61. Vậy A có 61 số hạng GV cần lưu ý để hs tránh nhầm lẫn số số hạng m với giá trị của số hạng cuối 15
9. 2.3. Dạng 3: Tổng của một dãy nhân các số nguyên Dãy số nhân là dãy số mà các số hạng ( kể từ số hạng thứ hai trở đi ) gấp số hạng đứng liền trước cùng một số lần. Bài toán 3: Tính tổng A = 1 + 2 + 4 + 8 + + 128 + 256 Phân tích: A là tổng của một dãy số mà các số hạng không cách đều. Nhận thấy mỗi số hạng đứng sau (kể từ số hạng thứ hai) trong tổng A đều bằng số hạng đứng trước nhân với 2. Do đó ta nghĩ đến nhân A với 2 ta được : 2.A = 2+ 4 + 8 + + 256 + 512. Quan sát các số hạng trong tổng 2.A và A ta nghĩ ngay lấy 2. A – A sẽ tìm được A. Hướng giải: Ta có A = 1 + 2 + 4 + 8 + + 128 + 256 2.A = 2+ 4 + 8 + + 256 + 512 Do đó 2. A – A = (2 – 2) + (4 – 4) + (8 – 8) + + (256 – 256) + (512 – 1) A = 511 Bài tập luyện: Tính tổng: 4 + 12 + 36 + + 8748 + 26244 Hướng giải: Đặt A = 4 + 12 + 36 + + 8748 + 26244 Nhận thấy mỗi số hạng đứng sau (kể từ số hạng thứ hai) trong tổng A đều bằng số hạng đứng trước nhân với 3. Tương tự như bài toán 3 ta tính 3. A – A, từ đó tìm được A. 2.4. Dạng 4: Tổng một dãy số nguyên của các số có cùng cơ số với số mũ cách đều. 2.4.1. Bài toán 4: Tính tổng : B = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 218 Phân tích: B là tổng của một dãy số mà các số hạng không cách đều. Nhận thấy mỗi số hạng đứng sau (kể từ số hạng thứ hai) trong tổng B đều bằng số hạng đứng trước nhân với 2. Tương tự như bài toán 3 ta tính 2. B – B, từ đó tìm được B Hướng giải: Ta có: B = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 218 2B = 2 + 22 + 23 + 24 + + 210 + 219 Do đó 2. B – B = 219 – 1 B = 219 – 1 Nhận xét: Trong bài toán như trên ta thấy các số hạng có cùng cơ số (là 2), các số mũ liền nhau cách nhau 1 đơn vị nên ta nhân hai vế với 2 1 rồi thực hiện phép trừ biểu thức mới cho biểu thức ban đầu ta sẽ tìm được tổng Mở rộng: Viết công thức tổng quát tính A = 1 + a + a2 + a3 + a4 + + an (a ≥ 2, n N) Hướng giải: Với nhận xét có ở bài toán 4 ta có cách làm sau: 17
10. Do đó: 32 . M – M = 3114 – 1 3114 1 3114 1 M . ( 32 – 1) = 3114 – 1 M = 32 1 8 b, Ta có: M = 1 + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n a2 . M = a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n + a2n + 2 a2 . M – M = a2n+2 –1 M . ( a2 – 1) = a2n +2 – 1 Vậy M = 1 + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n = (a2n +2 – 1) : ( a2 – 1) c, Từ kết quả câu b: M = 1 + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n = (a2n +2 – 1) : ( a2 – 1) (n N, a ≥ 2) Từ đó ta có: a2n +2 – 1 = ( a2 – 1).(1 + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n ) (n N, a ≥ 2) d, Nhận thấy 92 – 1 = 80.Với công thức đã tìm được ở câu c. Hơn nữa ta thấy M = 1 + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n có giá trị là số nguyên Nên (a2n +2 – 1)  (a2 – 1). Do đó để làm câu d ta nghĩ ngay đến cách làm sau: Xét M = 1 + 92 + 94 + 96 + 98 + + 92016 92 . M = 92 + 94 + 96 + 98 + + 92016 + 92018 92 . M – M = 92018 –1 M . ( 92 – 1) = 92018 – 1 Do đó 92018 – 1 = 80. (1 + 72 + 74 + 76 + 78 + + 72016). Mà 1 + 92 + 94 + 96 + 98 + + 92016 có giá trị là số tự nhiên. Vậy 92018 – 1  80 Bài 2: a, Tính tổng : B = 8 + 83 + 85 + 87 + 89 + + 899 b, Viết công thức tổng quát tính A= a + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 ( n N, a ≥ 2) c, Viết công thức tính a2n + 3 – a (a ≥ 2, n N) d, Chứng tỏ rằng: 62017 – 6 chia hết cho 35 Hướng giải: a, Tương tự cách làm bài toán 4 Ta có: B = 8 + 83 + 85 + 87 + 89 + + 899 82 . B = 83 + 85 + 87 + 89 + + 899 + 8101 8101 8 8101 8 Do đó 82 .B – B = 8101 – 8 B .( 82 – 1) = 8101 – 8 B = 82 1 63 b, Ta có: A = a + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 a2 . A = a3 + a5+ a7 + a9 + + a2n+1 + a2n + 3 19