Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử của học sinh Lớp 8

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử của học sinh Lớp 8

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT NGỌC LẶC TRƯỜNG THCS THÚY SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH TÁCH HẠNG TỬ MÔN TOÁN 8, TRƯỜNG THCS THÚY SƠN TRONG NĂM HỌC 2016-2017 Người thực hiện: Trịnh Thị Mến Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thúy Sơn SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán THANH HOÁ, NĂM 2017
2. 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Trong quá trình giảng dạy toán ở THCS, khâu truyền thụ kiến thức cơ bản là rất quan trọng, bởi vì kiến thức cơ bản là vốn sống động nhất, phải có và luôn tồn tại trong mỗi một con người học toán và làm toán. Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu các bài toán khó, các loại toán hay, trong một chừng mực nào đó, có thể quên đi nhưng các vấn đề cơ bản về kiến thức thì không được phép nhầm lẫn . Trong những năm gần đây nền giáo dục của chúng ta yêu cầu mỗi giáo viên phải đổi mới phương pháp giảng dạy. Nội dung chủ yếu của vấn đề là: Phải coi học sinh là nhân vật trung tâm của mỗi tiết học. Những giáo viên dạy giỏi lại những chính là những người giáo viên quan tâm nhất đến vấn đề trên thực tiễn đã giúp họ nhận thức rõ khâu quan trọng: Truyền thụ kiến thức cơ bản. Bằng đổi mới phương pháp dạy học. Đưa ra được các tình huống tạo điều kiện cho học sinh dễ nhớ, dễ hiểu nhất là trong việc khai thác, phát triển, phát huy óc sáng tạo, rèn luyện phương pháp suy nghĩ độc lập cho học sinh giáo viên luôn khuyến khích cho học sinh giải toán bằng nhiều cách khác nhau để giúp học sinh phát triển trí tuệ , phương pháp tự tìm tòi, nghiên cứu để học sinh tiếp tục học lên. 1.2. Mục đích nghiên cứu Với thực tế là trường ở vùng nông thôn, các em học sinh ở đây ít được phụ huynh quan tâm trong việc học hành. Đó cũng chính là sự khó khăn của các thầy cô giáo dạy ở các trường này, vì các em còn lười học . Nên việc bồi dưỡng học sinh giỏi gặp nhiều khó khăn. Là một giáo viên dạy vùng nông thôn , tôi luôn trăn trở tìm tòi, học hỏi những phương pháp hay để gây hứng thú cho học sinh và từ đó để phát hiện ra những em có tố chất để bồi dữơng thêm cho các em có thể tham gia thi học sinh giỏi cấp trường , cấp huyện .Trong quá trình giảng dạy nhất là luyện tập các bài tập trong sách giáo khoa nếu biết khai thác, phát triển ta có thê xây dựng được các dạng bài tập hoặc hệ thống các bài tập sử dụng bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi. Sau đây tôi xin trình bày " Rèn luyện kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử của học sinh lớp 8 " mà bản thân tôi đã áp dụng dạy học tại trường THCS Thúy Sơn . 1.3. Đối tượng ngiên cứu. Học sinh khối 8 trường THCS Thúy Sơn 1.4.Phương pháp nghiên cứu: -Nghiên cứu tài liệu. -Nghiên cứu các pp phân tích đa thức thành nhân tử: -Thông qua thực tế giảng dạy. -Tham khảo các đề thi học sinh giỏi. 2
3. Cách giải từng loại, từng bài toán như thế nào? Có bao nhiêu cách giải bài toán, loại toán này, phương pháp giải nào là hay hơn, thường gặp hơn. Ý đồ của tác giả đưa ra bài toán này để làm gì ? Mục đích và tác dụng của từng bài tập như thế nào. Học sinh học và rút ra được gì từ kiến thức ấy. Sau khi nghiên cứu kĩ tài liệu, định hướng cụ thể mới tập trung xây dựng nội dung của đề tài " Rèn luyện kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử của học sinh lớp 8 ". Với mục tiêu củng cố, nâng cao mức độ phổ thông cho phép đối với phần lí thuyết thông qua hệ thống một số bài tập, gồm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc các bài tập tự chọn, tự sáng tạo của giáo viên. Với đề tài "Rèn luyện kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử của học sinh lớp 8 ". có thể cấu trúc theo nhiều cách khác nhau tuỳ theo chủ định của người dạy, ở đây tôi xin đưa ra cấu trúc như sau để các đồng chí tham khảo và góp ý. Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức dưới dạng tích của các đơn thức và đa thức. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: -Đặt nhân tử chung. -Dùng hằng đẳng thức. -Nhóm hạng tử. -Tách hạng tử. -Thêm bớt hạng tử. -Đổi biến. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho phương pháp nêu trên . *Dạng I: Dạng tam thức bậc hai : ax2+bx+c=0 (a 0). Dạng này có nhiều cách tách 1 hạng tử thành 2 hạng tử khác song 2 cách tách sau là thông dụng nhất: +Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử ,rồi dùng phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung mới.Khi thực hành ta làm như sau: -Bước 1: Tìm tích a.c. -Bước 2: Phân tích a.c thành tích của 2 số nguyên bằng mọi cách. -Bước 3: Chọn 2 thừa số có tổng bằng b. 4
4. + Đa thức có nghiệm nguyên: -Khái niệm nghiện của đa thức :Số nguyên a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)=0.Khi x=a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) có chứa nhân tử (x-a). Ta chứng minh rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do. n n-1 Thật vậy, Giả sử: f(x)=a0x +a1x + +an-1x+an (hệ số a0;a1; ;anlà số nguyên). có nghiệm x=a (a Z) n n-1 n-1 n-2 Khi đó f(x)= a0x +a1x + +an-1x+an =(x-a)(b0x +b1x + +bn-1) (Trong đó b0;b1; ;bn-1 là số nguyên). Khi đo số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải là: -a.bn-1.Còn số hạng có bậc thấp nhất ở vế trái là :an. an=-a.bn-1 a là ước của an. 1.Với hệ số tự do có ít ước : Ví dụ: f(x)=x3-x2-x-2. Ư(2)=. 1; 2  Dễ thấy : f(1) 0 ; f(11) 0 ; f(-2) 0 f(2)=23-22-2-2=0 f(x) có nghiệm là 2 f(x) chứa thừa số (x-2). Giải: Cách 1: f(x)=x3-2x2+x2-2x+x-2 =x2(x-2)+x(x-2)+(x-2) =(x-2).(x2+x+1). Cách 2: f(x)=x3-8-x2+4x-4-5x+10 =(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)2-5(x-2) =(x-2)(x2+2x+4-x+2-5)=(x-2)(x2+x+1). Chú ý: Khi xét nghiệm riêng của đa thức cần lưu ý: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức,khi đó nó chứa thừa số (x-1). Ví dụ: g(x)=x3+2x2-x-2. Ta có: 1+2+(-1)+(-2)=0 g(x) có nghiệm bằng 1 g(x) chứa thừa số (x-1). g(x)=x3-x2+3x2-3x+2x-2 =x2(x-1)+3x(x-1)+2(x-1) 6
5. Ư(-18)= 1; 2; 3; 6; 9; 18  . g(1)=2-1-16+9-18=-24 g(1) 0. g(-1)=2+1-16+9-18=-40 g(-1) 0. 24 24 24 40 Ta có: ; ; ; không là số nguyên .Vì vậy: 1; 6; 9; 18;2 6 1 9 1 18 1 2 1 không là nghiệm của g(x) .Chỉ còn -2; 3;9. Kiểm tra thấy g(x) có nghiệm 3 g(x) có chứa thừa số (x+3)(x-3) ,hay x2-9. Ta có: g(x)= 2x4-x3-16x2+9x-18 =2x4-18x2-x3+9x+2x2-18 = 2x2(x2-9)-x(x2-9)+2(x2-9) =(x2-9)(x2-x+2)=(x-3)(x+3)(x2-x+9). Cách 2 : Sử dụng lược đồ Hooc ne. n n-1 n-2 Cho đa thức : f(x)=anx +an-1x +an-2x + +a1x+a0. Khi chia đa thức f(x) cho nhị thức (x- ) với số dư r ta có: f(x)=(x- )P(x)+r. r=0 f(x) (x- .) là nghiệm của f(x). r 0 f(x) không chia hết cho (x- ) không là nghiệm của f(x). Ta chia theo bảng sau: Ta chia theo bảng sau: an an-1 an-2 a1 a0 bn=an bn-1= bn-2= b1= r= bn+an-1 bn-1+an-2 = b2+a1 = b1+a0 (trong đó bn ;bn-1 ;bn-2 ; .;b1 là hệ số của P(x)). Ví dụ: Phân tích đa thức f(x)=x3-9x2+26x-24 thành nhân tử. Ta có: Ư(24)=. 1; 2; 3; 4 6; 8; 12; 24  Sử dụng lược đồ Hooc ne 1 -9 26 -24 1 1 -8 18 -6 -1 1 -10 36 -60 2 1 -7 12 0 Ta chỉ cần thử đến giá trị 2 thì thấy r=0. Vậy : f(x)=x3-9x2+26x-24=(x-2)(x2-7x+12) 8
6. = 27x3-9x2-18x2+6x+12x-4 =9x2(3x-1)-6x(3x-1)+4(3x-1) = (3x-1)(9x2-6x+4). Chú ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhẩm nghiệm hữu tỉ không phải tính toán phức tạp và nhiều lần thử , khi có một giá trị của x làm cho đa thức có giá trị bằng 0 ta tách hạng tử làm xuất hiện nhân tử đó để hạ bớt bậc của đa thức , rồi phân tích tiếp. * MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: (Đề thi HSG cấp huyện năm 2012-2013). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B=x 2 . x 3 x 2 x 2 Xét đa thức f(x)=x3-x2-x-2 Ta có : Ư(2)=. 1; 2;  Thấy x=2 là nghiệm của f(x) nên ta phân tích đa thức f(x) bằng cách tách hạng tử như sau: f(x) =x3-x2-x-2 =x3-2x2+x2-2x+x-2 =x2(x-2)+x(x-2)+(x-2) =(x-2)(x2+x+1) x 2 x 2 B = = x 3 x 2 x 2 (x 2)(x 2 x 1) =1 . x 2 x 1 Biểu thức B có giá trị lớn nhất g(x)=x2+x+1 có giá trị nhỏ nhất . 1 1 3 1 3 3 Ta có : g(x)=x2+x+1=x2+2x. + + =(x+) 2 . 2 4 4 2 4 4 3 1 giá trị nhỏ nhất của g(x) là bằng khi x=- . 4 2 1 4 1 Vậy giá tri lớn nhất của B= khi x=- . 3 3 2 4 10
7. *BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Phân tích đa thức sâu thành nhân tử: a. x2-3x+2; b. x3-3x+2 c .x2+5x-6. x 2 5x 6 Bài 2: Rút gọn biểu thức: P= x 3 3x 2 3x 2 Bài 3: x 4 16 Cho biểu thức : P= . x 4 4x 3 8x 2 16x 16 a.Tìm giá trị của x để P vô nghĩa. b. Rút gọn P. Bài 4: a. Giải phương trình : x3+6x2-13x-42=0 x 3 7x 6 b. Rút gọn biểu thức A= . x 2 (x 3) 2 4x(3 x) 2 4(x 3) 2 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh ngiệm đối với hoạt động giáo dục với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường a. Kết quả : Để dạy một tiết học phù hợp với các đối tượng học sinh thì phải thực hiện các vấn đề sau - Thiết kế bài dạy phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Giáo viên phải nắm bắt đối tượng học sinh và phân loại rõ ràng, chính xác. - Điều hành tổ chức hoạt động của học sinh trên lớp + Giáo viên cần đưa ra hệ thống bài tập câu hỏi sát với từng đối tượng học sinh. + Điều hành các hoạt động của học sinh linh hoạt Với cách làm trên đây chúng ta cần phải tạo ra tình huống (chuẩn bị các tình huống) dẫn dắt học sinh học tập bằng cách tự học là chính. Tuy nhiên để học sinh làm được điều đó giáo viên phải tốn không ít thời gian chuẩn bị nội dung và phương pháp giảng dạy của mình. Muốn cho chất lượng học tập của học sinh ngày một nâng cao trong những biện pháp tốt nhất giáo viên phải đầu tư suy nghĩ thật nhiều vào nội dung chương trình bài dạy, tìm tòi khai thác mỗi phần, mỗi phương pháp với mỗi phương pháp ấy thì có thể giải quyết bài toán như thế nào, ở dạng nào? phù hợp với đối tượng học sinh nào? phương pháp, tình huống đưa ra 12
8. 3.KẾT LUẬN Qua áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử , đồng thời kết hợp với các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong sách giáo khoa : Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức , nhóm hạng tử , và các phương pháp mở rộng : thêm bớt cùng một hạng tử, đổi biến, hệ số bất định, vào quá trình dạy học môn Toán lớp 8 tôi thấy rằng học sinh có thêm “vốn” để rèn luyện kĩ năng biến đổi biểu thức một cách nhanh gọn, chính xác có hiệu quả cao. Từ phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách hạng tử này học sinh đã áp dụng vào giải nhiều dạng toán : Rút gọn, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, Giúp học sinh tự tìm tòi và khám phá những điều lí thú và bổ ích trong môn Toán , từ đó các em sẽ thấy ham học và say mê môn khao học này .Với các em học sinh khá, giỏi các em cảm thấy tự tin hơn trong các kì thi học sinh giỏi các cấp. Một số vấn đề về phương pháo phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách hạng tử chỉ là vấn đề nhỏ trong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, song tôi thấy nó có nhiều ứng dụng trong giải toán.Tuy nhiên, cũng do thời gian và năng lực có hạn nên tôi chỉ đưa ra một số kinh nghiệm của mình trong việc giảng dạy , đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi, chắc chắn đề tài này còn nhiều khía cạnh hoặc vấn đề cần đề cập tới. Vì vậy tôi rất mong được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp để tôi có thêm kinh nghiệm giảng dạy và hoàn thành tốt hơn nữa vai trò của người giáo viên đứng trên bục giảng truyền đạt môn khoa học quan trọng này.Tôi xin chân thành cảm ơn. XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 28 tháng 02 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN trên không photo copy Người thực hiện Trịnh Thị Mến 14