Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải toán "Phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Lớp 8 trường PTDTBT THCS Trà Tập"

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải toán "Phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Lớp 8 trường PTDTBT THCS Trà Tập"

1. Phụ lục I Đơn yêu cầu công nhận sáng kiến (Kèm theo Quy định về hoạt động sáng kiến trên địa bàn tỉnh Quảng Nam) CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến ngành Giáo Dục huyện Nam Trà My Hội đồng Sáng kiến trường PTDTBT THCS Trà Tập Chúng tôi/tôi kính đề nghị Quý cơ quan/đơn vị xem xét, công nhận sáng kiến như sau: Rèn luyện kỹ năng giải toán “phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 trường PTDTBT THCS Trà Tập” 1. Họ và tên tác giả hoặc đồng tác giả: Nguyễn Đại Sơn 2. Đơn vị công tác: Trường PTDTBT THCS Trà Tập 3. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến - nếu có: 4. Tên sáng kiến: Rèn luyện kỹ năng giải toán “phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 trường PTDTBT THCS Trà Tập” 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục (Môn Toán 8 phần đại số) 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 20/9/2020 7. Hồ sơ đính kèm: + Hai (02) tập Báo cáo sáng kiến. + Các tài liệu, giấy tờ, hình ảnh liên quan (nêu cụ thể, nếu có). + Văn bản đề nghị công nhận sáng kiến kèm Biên bản của Hội đồng sáng kiến và quyết định công nhận sáng kiến của cơ quan, đơn vị nơi tác giả đang công tác. Chúng tôi/ tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật. Trà Tập, ngày 20 tháng 5 năm 2021 Người nộp đơn (Ký và ghi rõ họ tên)
2. Phụ lục II Mẫu báo cáo sáng kiến (Kèm theo Quy định về hoạt động sáng kiến trên địa bàn tỉnh Quảng Nam) CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc BÁO CÁO SÁNG KIẾN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8 TRƯỜNG PTDTBT THCS TRÀ TẬP” 1. Mô tả bản chất của sáng kiến: 1.1. Các giải pháp thực hiện, các bước và cách thức thực hiện: A. Thực trạng: Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, Qua quá trình giảng dạy, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được. Nguyên nhân học sinh học yếu là do học sinh chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa vận dụng kỹ năng biến đổi một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể. Vì vậy là một giáo viên giảng dạy toán, tôi nhận thấy bên cạnh việc trang bị vốn kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của mình thì cũng cần phải thường xuyên nghiên cứu tìm ra phương pháp dạy học thích hợp để chất lượng giảng dạy ngày càng được nâng cao nhằm giảm bớt số lượng học sinh yếu kém, nâng cao số lượng học sinh khá giỏi. Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: Rèn luyện kỹ năng giải toán “phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 trường PTDTBT THCS Trà Tập” B. Các giải pháp thực hiện Giải pháp 1: Các phương pháp cơ bản và những sai lầm cần trách 1. Phương pháp đặt nhân tử chung. Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C). Cách làm: + Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số). + Tìm nhân tử chung của các biến (lấy với số mũ nhỏ nhất). + Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử. Ví dụ 1: Phân tích đa thức 24xy2 + 28 x3y2 thành nhân tử. Gv: Tìm nhân tử chung của các hệ số 24, 28 trong các hạng tử trên? Hs: 4 vì ƯCLN (24, 28) = 4. Gv: Tìm nhân tử chung của các biến xy2, x3y2 ? Hs: xy2 Gv: Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là gì? Hs: 4xy2 Giải: 24xy2 + 28x3y2 = 4xy2. 6 + 4xy2.7x2
3. = 4xy2(6 +7x2). Ví dụ 2: Phân tích đa thức x(y – 1 ) – y(1 –y) thành nhân tử. Gv: Tìm nhân tử chung của x( y – 1) và y( 1 – y)? Hs: ( y – 1) hoặc ( 1 – y). Gv: Hãy thực hiện đổi dấu tích x( y – 1) hoặc –y( 1 – y) để có nhân tử chung (y – 1) hoặc ( 1 – y)? Hs: Đổi dấu tích x( y – 1) = - x( 1 – y) Hoặc đổi dấu tích – y( 1 – y) = y( y – 1). Giải: x( y – 1) – y( 1 – y) = x( y – 1) + y( y – 1) = ( y – 1).( x +y) Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh: - Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất). - Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích. 2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức. Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức. * Học sinh cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ sau: 1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B ) 4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) 7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2) Ví dụ 3: Phân tích đa thức ( 2a + 3b )2 – ( 2a – 3b )2 thành nhân tử. Gv: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào? Hs: Có dạng A2 - B2 Cách giải sai: ( 2a + 3b )2 – ( 2a – 3b )2 = ( 2a + 3b + 2a – 3b ).( 2a + 3b – 2a – 3b ) = 4a.0 = 0. Sai lầm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc. Cách giải đúng: ( 2a + 3b )2 – ( 2a – 3b )2 = [( 2a + 3b ) + ( 2a – 3b )].[( 2a + 3b ) - ( 2a – 3b )] = ( 2a + 3b + 2a – 3b ).( 2a + 3b – 2a + 3b ) = 4a.6b = 24ab. Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho bài tập dưới dạng phức tạp hơn. + Phân tích đa thức ( 2a + 3b )3 – ( 2a – 3b )3 thành nhân tử. Ví dụ 4: Phân tích đa thức x4 – y4 thành nhân tử. Giải: x4 – y4 = ( x2 )2 – ( y2 )2 = ( x2 + y2 ) ( x2 – y2 ) = ( x2 + y2 )( x – y )( x + y ).
4. Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho bài tập dưới dạng phức tạp hơn. + Phân tích đa thức x6 – y6 thành nhân tử. Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh: Quy tắc dấu ngoặc. Kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử để sử dụng hằng đẳng thức thích hợp, chính xác. 3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức. Cách làm: Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. + Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm. + Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. + Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức. Ví dụ 5: Phân tích đa thức x2 – x – y2 – y thành nhân tử. Cách giải sai: x2 – x – y2 – y = ( x2 – y2 ) – ( x – y ) = ( x + y )( x – y ) – ( x – y ) = ( x – y )( x + y – 1) Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai. Cách giải đúng: x2 – x – y2 – y = ( x2 – y2 ) – ( x + y ) = ( x + y )( x – y ) – ( x + y ) = ( x + y )( x – y – 1) Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2y – x3 – y + x thành nhân tử. Cách giải sai: x2y – x3 – y + x = (x2y – x3 ) – ( y – x ) = x2 (y – x ) – ( y – x ) = ( y – x )( x2 – 0 ) = ( y – x )x2 Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung. Cách giải đúng: x2y – x3 – y + x = (x2y – x3 ) – ( y – x ) = x2 (y – x ) – ( y – x ) = ( y – x )( x2 – 1 ) Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh: - Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử. - Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các hạng tử của đa thức. Chú ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại. Giải pháp 2: Phối hợp các phương pháp cơ bản: Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản: + Phương pháp đặt nhân tử chung + Phương pháp dùng hằng đẳng thức
5. + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Ví dụ 7: Phân tích đa thức x3 – 2x2 + x thành nhân tử. Gv: Xét từng phương pháp. Hs: Thường mắc sai lầm là giải chưa hoàn chỉnh như sau: x3 – 2x2 + x = x(x2 – 2x + 1) Cách giải đúng: x3 – 2x2 + x = x(x2 – 2x + 1) = x(x-1)2 Ví dụ 8: Phân tích đa thức A = a3 + b3 + c3 – 3abc thành nhân tử. Gợi ý: Sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ, Giải: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b) c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac –bc + c2 – 3ab = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ) Khai thác bài toán: *Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên. *Chứng minh rằng (x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3 = 3(x – y)(z – x)(y –z ) Giải pháp 3: Các phương pháp đặc biệt. 1. Phương pháp tách hạng tử: Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản đã học để giải. Cách làm: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác một cách thích hợp rồi áp dụng các phương pháp cơ bản để giải. Trong một số trường hợp bằng các phương pháp đã học không thể giải được mà ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được các phương pháp đã biết. Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất + Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1 + Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1 + Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì f (1) và f ( 1− ) a −1 a +1 đều là số nguyên. Ví dụ 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 4xy + 3y2 Cách 1: x2 + 4xy + 3y2 = x2 + xy + 3xy + 3y2 = (x2 + xy) + (3xy + + 3y2) = x(x + y) + 3y(x + y) = (x + y)(x + 3y) Cách 2: x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 4xy + 4y2 – y2 = (x2 + 4xy + 4y2) – y2 = (x + 2y)2 – y2 = (x + 2y + y)(x + 2y – y) = (x + 3y)(x + y)
6. Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử trong đó có 2 cách thông dụng là: Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung. Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 8x + 12 Cách 1: x2 – 8x + 12 = x2 – 2x – 6x + 12 = (x2 – 2x) – (6x – 12) = x(x – 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x – 6) Cách 2: x2 – 8x + 12 = (x2 – 8x + 16) – 4 = (x – 4)2 - 22 = (x – 4 + 2)(x – 4 – 2 ) = (x – 2 )(x – 6) Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q) 2 Như vậy trong tam thức bậc hai: a x +bx+c hệ số b = b1+ b2 sao cho b1. b2 = a.c. Trong thực hành ta làm như sau : +Tìm tích a.c +Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách + Chọn hai thừa số mà tổng bằng b Ví dụ 11: Khi phân tích đa thức x2 +7x +12 thành nhân tử Ta có : a = 1 ; b = 7 ; c = 12 + Tích a.c =1.12 = 12 + Phân tích 12 thành tích hai thừa số dương sao cho tổng hai thừa số bằng 7. 12 = 3.4 + Chọn hai thừa số có tổng bằng 7, đó là : 3 và 4 Từ đó ta phân tích x2 +7x +12 = x2 + 3x +4x +12 = x(x+3) + 4(x+3) = (x+3)(x +4) Ví dụ 12: Khi phân tích đa thức x2 - 2x – 8 thành nhân tử Ta có : a = 1 ; b = - 2 ; c = - 8 + Tích a.c =1.(-8) = - 8 +Phân tích -8 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho tổng hai thừa số bằng -2 - 8 = 2.(-4) + Chọn hai thừa số có tổng bằng - 2, đó là : 2 và - 4 Từ đó ta phân tích x2 - 2x – 8 = x2 + 2x - 4x - 8 = x ( x+2 ) – 4 ( x+2) = ( x+2 )( x - 4 ) Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b là số lẻ, hoặc không là bình phương của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai. 2. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử: Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng