Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Đề tài nghiệp vụ: Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối A- mở đầu 1 - Lý do chọn đề tài: Toán học là môn khoa học cơ bản, có vị trí vô cùng quan trọng trong mọi lĩnh vực đời sống xã hội, trong khoa học kỹ thuật. Học sinh trung học cơ sở học tốt môn Toán, sẽ giúp các em học tốt hơn ở các môn học khác và ở các cấp học trên, cung cấp cho các em những kiến thức phổ thông cơ bản để các em bước vào cuộc sống lao động. Các kiến thức và phương pháp toán còn giúp các em phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập sáng tạo. Giáo dục cho học sinh tư tưởng và đạo đức, thẩm mỹ của con người mới. Trên thực tế còn nhiều học sinh học yếu toán. Những học sinh lười học không nắm vững kiến thức cơ bản đã đành. Còn những học sinh chịu khó học bài, thuộc bài nhưng vẫn không làm được và làm sai bài tập. Làm thế nào để giúp các em học sinh trung học cơ sở học tốt môn toán. Đây là điều trăn trở của các thầy giáo, cô giáo và các bậc phụ huynh. Để giúp các em học sinh học tốt hơn môn toán. Người thầy giáo, cô giáo ngoài việc giúp các em nắm được những kiến thức lý thuyết toán, thì việc bồi dưỡng cho các em về mặt phương pháp giải các loại toán là rất quan trọng. Nó giúp các em nhận dạng, tìm tòi đường lối giải một cách nhanh chóng, hình thành kỹ năng phát triển tư duy ngày càng sâu sắc hơn và qua đó các em yêu toán hơn, tự tin hơn trong cuộc sống tương lai. Trong toán học, khái niệm giá trị tuyệt đối, là một khái niệm đơn giản. Là một phạm trù kiến thức hẹp. Nhưng những bài tập có liên quan tới giá trị tuyệt đối lại là một vấn đề phức tạp, tương đối trìu tượng. Thế nhưng nó lại góp phần trong quá trình giải quyết các bài toán phức tạp sau này. Khi gặp các bài toán có dấu giá trị tuyệt đối không ít học sinh lúng túng, không biết phải bắt đầu từ đâu, hướng giải quyết thế nào. Điều đó cũng dễ hiểu, trong chương trình phần lý thuyết đơn giản. Bài tập không nhiều, không bao quát hết được các dạng. Bài tập phần này không có sức lôi cuốn sự kích thích hăng say học tập của các em. Trang 1
2. Đề tài nghiệp vụ: Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối Trong những năm giảng dạy ở cấp trung học cơ sở ở cả bốn khối lớn. Tôi thấy các em phần đa gặp khó khăn khi giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. Với trách nhiệm của người thầy giáo, tôi thấy mình cần giúp các em học tốt hơn trong phần này. Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy của bản thân và một số đồng nghiệp. Qua sự tìm tòi thử nghiệm, được sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp. Đặc biệt là những bài học sau những năm học ở trường sư phạm. Cùng với sự hướng dẫn tận tình chu đáo của thầy giáo Tống Trần Hoàn giảng viên khoa toán - tin trường Đại học sư phạm I Hà Nội. Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: Phương pháp giải một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 2 - Mục đích nghiên cứu: - Đề tài này phần nào giúp các em học sinh học tập môn toán tốt hơn nóichung và giải các bài tập chưa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng. Trang bị cho các em học sinh một số phương pháp giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bổ sung cho học sinh một số kiến thức về giá trị tuyệt đối còn thiếu hụt. Giúp các em có công cụ trong việc giải quyết một số bài toán có liên quan. - Gây hứng thú cho học sinh khi làm các bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập. 3 - Nhiệm vụ của đề tài: - Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh trung học cơ sở. - Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. áp dụng để làm bài tập. - Rút ra một số nhận xét, chú ý khi áp dụng từng phương pháp giải. - Chọn lọc, hệ thống một số bài tập hay gặp cho từng phương pháp giải. 4 - Phạm vi đề tài: Phát triển được năng lực tư duy và rèn luyện kỹ năng vận dụng của học sinh thông qua giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 5 - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này áp dụng có tác dụng nhất đối với học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các buổi ôn tập cuối năm, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn tập tốt nghiệp và thi vào phổ Trang 2
3. Đề tài nghiệp vụ: Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối thông trung học. Đối với các lớp 6, lớp 7 có đề cập đến nhưng chỉ những vấn đề nhỏ đơn giản. 6 - Phương pháp nghiên cứu: - Tham khảo, thu thập tài liệu. - Phân tích tổng kết kinh nghiệm. - Kiểm tra kết quả, dự giờ, thao giảng, kiểm tra chất lượng học sinh. - Tổng kết kinh nghiệm. 7 - Dự kiến kết quả đề tài: Khi chưa thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải được một số bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản, hay mắc sai lầm, bài làm thiếu chặt chẽ. Ngại làm các bài tập có chứa giá trị tuyệt đối. Nếu thực hiện được đề tài này thì các em có hứng thú hơn khi giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. Có phương pháp phù hợp với từng loại toán này. Hạn chế được những sai lầm thường gặp khi giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đặc biệt các em tự tin hơn vào bản thân. Trang 3
4. Đề tài nghiệp vụ: Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối b - Nội dung Chương I: Giá trị tuyệt đối I - Giá trị tuyệt đối: 1 - Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của một số thực x là một số thực không âm, ký hiệu x được xác định như sau: x nếu x 0 x= -x nếu x > 0 Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối của một số thực x, thực chất là một ánh xạ. f: IR IR+ x IR y = x x nếu x 0 -x nếu x < 0 * Với mọi số thực x ta luôn biểu diễn x thành tổng của số thực không âm x x x x và số thực không dương, tức là: x 2 2 Trong đó: x x x x 0; 0 2 2 * Với A (x) là một biểu thức tuỳ ý ta cũng có: A(x)= A (x) nếu A(x) 0 -A (x) nếu A(x) < 0 * Với mọi x IR; f(x), g(x) là biểu thức tuỳ ý, ta có: 1 max (f(x); g(x)) = [f(x) + g(x) + f(x) - g(x)] 2 1 min (f(x); g(x)) = [f(x) + g(x) - f(x) - g(x)] 2 Trang 4
5. Đề tài nghiệp vụ: Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối 2. Hệ quả: 1) x 0 mọi x IR; x = 0 x = 0 2) -x = x 3) -x x x; x = x x 0 4) x > 0 x hoặc x - 5) x ( > 0 ) - x 6) x.y= x.y x x 7) y y 8) x 2 = x2 9) x 2 x 3. Tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối: 1. Định lý 1: Nếu x, y là hai số thực thì: a) x + y x + y b) x + y x + y x.y 0 Chứng minh: Ta có: (x+y)2 =x2 +2 x.y+y2 = x2 + 2.x.y+ y2 x2 + 2xy + y2 = (x+y)2 Vậy x+y x+y Dấu bằng xảy ra xy = 0 2. Định lý 2: Nếu x, y là hai số thực thì: x-y x - y x + y Chứng minh: Ta có: x = (x - y) + y x - y + y (theo định lý 1) Trang 5
6. Đề tài nghiệp vụ: Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối x - y x - y Vả lại:x - y = y - x y - x Nênx - y -x - y -x - y x - y x - y x-y x - y (1) Ta lại có:x - y = x + (-y) x + -y = x + y (2) Từ (1) và (2) có: x - y x - y x + y Chú ý: Nếu thay y bằng -y ta có: x - y x - y x + y II - Phương pháp biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối: 1. Mục đích biến đổi: Biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối là nhằm thay đổi chúng bằng những biểu thức tương đương không chứa giá trị tuyệt đối, nói cách khác là nhằm loại trừ các dấu giá trị tuyệt đối khỏi các biểu thức để có thể tiến hành các phép tính đại số quen biết. Thông thường, ta sẽ được các biểu thức khác nhau (không chứa dấu giá trị tuyệt đối) trong những khoảng khác nhau. 2. Phương pháp biến đổi: Muốn biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối nhằm loại bỏ các dấu giá trị tuyệt đối thì nhất thiết phải căn cứ vào: a) Định nghĩa của giá trị tuyệt đối và hệ quả đã nêu ở trên. b) Quy tắc về dấu của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai như sau: b * Nhị thức ax + b (a 0) cùng dấu với a khi x> - , và trái dấu với a khi a x x thì x - x > 0 > 0 ax + b cùng dấu với a. 0 0 a ax b Nếu x< x thì x - x < 0 < 0 ax + b trái dấu với a. 0 0 a Trang 6
7. Đề tài nghiệp vụ: Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối * Tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a 0) trái dấu với a trong khoảng giữa hai nghiệm (nếu có), cùng dấu với a trong mọi trường hợp khác. 3. Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho x, y là hai số thoả mãn xy 0 tính giá trị của biểu thức. x y x y B xy x xy y 2 2 2 2 Giải: Biến đổi B, ta có: x y x y B xy xy x y 2 2 2 2 x y x y Đặt B 1 xy xy 0 2 2 2 2 2 Tính B1 ta được: x 2 y 2 xy xy x 2 y 2 B 2 xy x xy y xy xy x xy y xy 1 4 4 2 2 4 4 2 x y 2xy 2 x 2 2xy y 2 (x y)2 2 2 2 2 x y x y x y (Vì xy nên 2xy 2 2 2xy) 2 2 2 Suy ra: B1 = x + y Vậy B = x + y - (x+y) Mặt khác do xy 0 nên x, y cùng dấu, suy ra x + y = x + y Do đó: B = 0 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: x 1 x 2 4 x 4 A 2 x 3 Trang 7
8. Đề tài nghiệp vụ: Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối Giải: 3 x TXĐ: 2 x 1 ( x 2) 2 x 1 x 2 Ta có: A 2 x 3 2 x 3 1 x 2 x 3 2 x Nếu x 1 ta có: A 1 2 x 3 2 x 3 3 x 1 2 x 1 Nếu 1 x 2, x Ta có A 2 2 x 3 2 x 3 x 1 x 2 2 x 3 Nếu x 2 ta có: A 1 2 x 3 2 x 3 Tóm lại: 1 nếu x 1 1 A nếu 1 < x < 2 2 x 3 1 nếu x 2 Bài 3: Rút gọn: x 1 x 3 x 1 x 3 2 x 3 2 B 2 x 1 x 3 2 x 1 x 3 x 1 2 x 3 2 Giải: Đặt x-1 = a; x-3 = b; (a, b 0) Ta có: a b a b 2b2 (a b)2 (a b)2 4b2 B 2(a b) 2(a b) a2 b2 2(a2 b2 ) 4ab 4b2 4b(a b) 2b 2 x 3 B 2(a2 b2 ) 2(a b)(a b) a b x 1 x 3 Lập bảng biến đổi: x -  1 3+  x-3 3 - x 3 - x 0 x - 3 x-1 1 - x 0 x - 1 x - 1 Tử thức 2 (3-x) 2(3-x) 0 2(x-3) Mẫu thức - 2 -2 2(x-2) 2 2 Trang 8