Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

1. I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ở lớp 7, khi học bài “2 đường thẳng song song”, học sinh biết cách chứng minh 2 đường thẳng song song, khi học bài “2 tam giác bằng nhau”, học sinh biết cách chứng minh 2 tam giác bằng nhau và nếu không theo cách này học sinh có thể chọn cách khác. Nhưng đối với “chứng minh 3 điểm thẳng hàng” học sinh không có sự định hướng tốt như vậy, nhiều em cũng muốn bài làm của mình được trọn vẹn, nhưng gặp nhiều khó khăn Qua nhiều năm giảng dạy ở khối 7, với nhiều đối tượng khác nhau tôi thấy một trong những nguyên nhân là do chúng ta chưa hết sức trong việc tập cho các em làm quen với việc “chứng minh 3 điểm thẳng hàng”. Từ những suy nghĩ đó và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này II. THỰC TRẠNG 1. Quan sát: Kiến thức trang bị cho các em tương đối ít, hơn nữa các bài tập ở sách giáo khoa đưa ra đa số các bài toán đã có cả hình vẽ sẵn, điều này các thầy cô giáo khi dạy cũng không khai thác thêm các bài toán để phát huy óc sáng tạo của các em. 2. Điều tra: Để nắm bắt được học sinh của mình có giải được dạng toán này không, tôi đã mạnh dạn bổ sung thêm câu hỏi “chứng minh ba điểm thẳng hàng” vào bài kiểm tra một tiết. Kết quả tổng số 79 em thì: Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải đúng Tỉ lệ (%) 71 40 5 12,5% 2016-2017 72 39 6 15,4% Số còn lại 68 em chiếm tỷ lệ 86,1% đều bỏ trống hoặc làm sai không định hướng được cách làm. III/ GIẢI PHÁP Qua thời gian nghiên cứu, tìm tòi và học hỏi từ đồng nghiệp. Tôi đã mạnh dạn đưa ra những phương pháp giải dạng toán "chứng minh ba điểm thẳng hàng" như sau: A. Lý thuyết: 1. Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng A B C ·ABC = 1800 Ba điểm A, B, C thẳng hàng 2. Vận dụng tiên đề Ơclít chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đường thẳng cho trước A B C AB // a AC // a => A, B, C thẳng hàng a 1
2. 10. Sử dụng phương pháp hình duy nhất Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó C thuộc hình H (hình H là đường thẳng, tia, đoạn thẳng ) chúng ta có thể gọi C’ là giao điểm của AB với hình H tìm cách chứng minh 2 điểm C và C’ trùng nhau B. Hướng dẫn học sinh áp dụng để làm bài tập. 1. Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng: A B C ·ABC = 1800 Ba điểm A, B, C thẳng hàng - Ngay từ bài 1: “Hai góc đối đỉnh”, ta có thể lồng vào bài toán yếu tố “3 điểm thẳng hàng” như sau: Ví dụ 1: Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ AA’ vẽ tia OB sao cho AOB = 450. Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia OC sao cho AOC = 900. Gọi OB’ là tia phân giác của A’OC. Chứng minh ba điểm B, O, B’ thẳng hàng Giải A, O, A’ thẳng hàng AOA’ = 1800 AOC + COA’ = AOA’ 900 + COA’ = 1800 COA’ = 1800 – 900 = 900 Vì OB’ là tia phân giác của COA’ 900 COB’ = COA' = = 450 2 2 BOB’ = BOA + AOC + COB’ = 450 + 900 + 450 = 1800 Vậy ba điểm B, O, B’ thẳng hàng Ví dụ 2: Cho góc vuông AOB và tia OC nằm trong góc đó. Vẽ tia OM sao cho tia OA là tia phân giác của COM. Vẽ tia ON sao cho tia OB là tia phân giác của CON. Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng. Giải M, O, N thẳng hàng OA là tia phân giác của COM COM = 2 COA OB là tia phân giác của CON CON = 2 COB MON =COM + CON = 2COA + 2 COB = 2.(COA + COB) = 2. AOB = 2. 900 = 1800 Vậy ba điểm M, O, N thẳng hàng 3
3. AC // a Ví dụ 1: Cho 2 góc AOM và MOB kề bù (theo hình vẽ) Vẽ tia MC sao cho 2 góc CMO, MOA so le trong và bằng nhau Vẽ tia MD sao cho 2 góc DMO, MOB so le trong và bằng nhau Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng Giải CMO và MOA là cặp góc so le trong bằng nhau MC // OA Mà B thuộc đường thẳng OA MC // AB DMO và MOB là cặp góc so le trong bằng nhau MD // OB Mà A thuộc đường thẳng OB MD // AB Ta có MC // AB (cmt) MD // AB (cmt) Ba điểm C, M, D thẳng hàng (Tiên đề Ơclit) Ví dụ 4: Cho ABC vuông tại A. Vẽ ACD vuông tại C có CD B· AC E· CA B C Mà B· AC;E· CA là 2 góc so le trong => CE // AB D Mặt khác CD  AC ( ACD vuông tại C) và AB  AC ( ABC vuông tại A) => CD // AB Ta có CE // AB, CD // AB Theo tiên đề Ơ-Clit ta có hai đường thẳng CE, CD trùng nhau Vậy ba điểm D, C, E thẳng hàng Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng. Giải Xét AOD và COB có: 5
4. Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng. Giải Có ADE = ABC (vì AE = AC, AD = AB, D· AE = B· AC ) Dµ = Bµ mà Dµ , Bµ là 2 góc so le trong D DE // BC E K AHB = AKD (vì AB= AD, BH = DK, Dµ Bµ ) ·AKD = ·AHB 900 => AK  DE A Mà DE // BC AK  BC mà AH  BC B H C Suy ra ba điểm K, A, H thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho ABC cân tại A, AD là đường trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ DCE vuông tại D. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng. Giải A Ta có ABC cân tại A (gt) AD là đường trung tuyến (gt) => AD là đường cao của ABC => AD  BC D Mà DE  BC ( DCE vuông tại D) B C Do vậy hai đường thẳng AD, DE trùng nhau Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng E Ví dụ 3: Cho ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC. Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng. Giải A Xét ΔABM và ΔACM có: AB =AC (gt) AM chung = = MB = MC (M là trung điểm BC) Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c) P Suy ra: ·AMB ·AMC (hai góc tương ứng) B / / C Mà ·AMB ·AMC 1800 (hai góc kề bù) M nên ·AMB ·AMC 900 Q Do đó: AM  BC (đpcm) Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c). Hình 9 Suy ra: P· MB P· MC (hai góc tương ứng) 7
5. nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng. Giải Xét ΔBOD và ΔCOD có: OB = OC (gt) OD chung x BD = CD (D là giao điểm của B hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính). = Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c). / = A Suy ra : B· OD C· OD . O D / = · = Điểm D nằm trong xOy C nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy. y Do đó OD là tia phân giác của x· Oy. Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của x· Oy.Hình 10 x· Oychỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau. Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng. 5. Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng A A thuộc đường trung trực của MN B thuộc đường trung trực của MN => A, B, C thẳng hàng B C thuộc đường trung trực của MN C Ví dụ 1: Cho ABC, DBC và EBC cân có chung đáy BC. M N Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng. Giải A Ta có ABC cân tại A suy ra AB = AC A thuộc đường trung trực của BC (1) D DBC cân tại D suy ra DB = DC D thuộc đường trung trực của BC (2) EBC cân tại E suy ra EB = EC B C E thuộc đường trung trực của BC (3) E Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở D. Chứng minh ba điểm A, M, D thẳng hàng A Giải Ta có : AB = AC (gt) MB = MC (M là trung điểm BC) D Suy ra: AM là đường trung trực của đoạn BC (1) ABC có đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại D M B C 9
6. Ví dụ 1: Cho ABC cân tại A. Vẽ phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng Giải Ta có ABC có phân giác của B và C cắt nhau tại I suy ra I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy nên AM cũng là phân giác. Đường phân giác AM phải đi qua giao điểm I Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng Ví dụ 2: Cho ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. Giải Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại A nên K cách đều hai cạnh Ax và AC (1) Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại C x nên K cách đều hai cạnh Cy và AC (2) Từ (1) và (2) K suy ra K cách đều 2 cạnh Ax và Cy A Hay K cách đều hai cạnh BA và BC µ KB là tia phân giác B I vì I là giao điểm của hai tia phân giác µA, Cµ y B nên: BI là tia phân giác Bµ (gt) C => Ba điểm B, I, K thẳng hàng 8. Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó: H là trực tâm ABC A AD là đường cao ABC H => A, H, D ba điểm thẳng hàng B D C Ví dụ 1: Cho ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng. Giải A Vì I là giao điểm hai đường cao BH và CK nên I là trực tâm ABC ABC cân tại A có K H AM là đường trung tuyến I Nên AM cũng là đường cao. B C => Đường cao AM đi qua trực tâm I M => Ba điểm A, I, M thẳng hàng. 11
7. Giải Xét ABC và DBE có: AB = BD (gt) ·ABC = D· BE (cùng phụ với C· BD ) A BC = BE (gt) Do đó ABC = DBE (c-g-c) F => B· AC = B· DE B C Nên B· DE 900 D Gọi F là giao điểm của ED và AC Ta có AB  BD, DF  BD => AB // DF M Xét ABD và DFA có: B· DA= F· AD AD là cạnh chung E B· AD = F· DA Do đó ABD = DFA (g-c-g) => BD = FA và AB = DF Mà AB = BD (gt) Do đó AB = BD = AF = DF BC Chứng minh được BM = FM = 2 Ta có AB = AF, BD = DF, BM = FM => A, D, M cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BF Vậy ba điểm A, D, M thẳng hàng. 10. Sử dụng phương pháp hình duy nhất Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó C thuộc hình H (hình H là đường thẳng, tia, đoạn thẳng ) chúng ta có thể gọi C’ là giao điểm của AB với hình H tìm cách chứng minh 2 điểm C và C’ trùng nhau Ví dụ 1: Cho ABC. Vẽ ABD sao cho D nằm trên trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C và AD // BC. Gọi M là trung điểm cạnh AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MB. Chứng minh rằng ba điểm D, A, E thẳng hàng. Giải Gọi E’ là giao điểm của BM và AD Xét MAE’ và MCB có D A E' E ·AME ' =C· MB (đối đỉnh) MA = MC (M là trung điểm AC) M M· AE '= M· CB (so le trong vì AE’ // BC) Do đó MAE’ = MCB (g-c-g) B C => ME’ = MB 13
8. IV. KẾT QUẢ: Qua thời gian tổ chức thực hiện đề tài, với sự sửa chữa, bổ sung sau mỗi tiết dạy, bản thân tôi tự nhận xét, đúc rút ra những kinh nghiệm về cách tiến hành đề tài này. Nhìn chung học sinh rất tiến bộ trong học tập, các em rất hăng say và sôi nổi trong các tiết học. Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này thì kết quả thu được như sau: Tổng Trước khi áp dụng SKKN Sau khi áp dụng SKKN Năm số Số hs Số hs Số hs Số hs học học giải Tỉ lệ giải Tỉ lệ giải Tỉ lệ giải Tỉ lệ sinh đúng sai đúng sai 2016- 79 11 13,9% 68 86,1% / / / / 2017 2017- 80 / / / / 66 82,5% 14 17,5% 2018 V. KẾT LUẬN Chứng minh ba điểm thẳng hàng là một kiến thức rộng và sâu, tương đối khó đối với học sinh, rất cần thiết trong chương trình hình học THCS. Vì vậy đòi hỏi người học phải có đầy đủ kiến thức, phải có kỹ năng phân tích, tổng hợp tốt. Do khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tầm quan sát tổng thể chương trình môn toán chưa cao, nên khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Vì vậy để đề tài của tôi thật sự có hiệu quả trong quá trình giảng dạy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp, giúp đỡ nhiệt tình của quý thầy cô để đề tài được hoàn thiện hơn 15