Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các bài toán dãy số viết theo quy luật

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các bài toán dãy số viết theo quy luật

1. Nguyễn Đăng Công Trưạng THCS Viạt Hùng PHạN THạ NHạT – Mạ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài: Đối với những người làm công tác gió dục trong nhà trường, đứng trươc vận mệnh của đất nước trong tương lai đòi hỏi mỗi thày cô giáo phải luôn cố gắng vươn lên bằng chính năng lực của mình và sự đổi mới không ngừng đạ bạt kạp vại tình hình phát triạn mại cạa giáo dạc cạa đạt nưạc g óp phạn thạc hiạn tạt nhiạm vạ giáo dục cạa mình trong sạ nghiạp đại mại giáo dục cạa đạt nưạc. Ngoài trau dại phương pháp dạy học , ngưại giáo viên phại trau dại v ạ kiạn thạc. Ngoài kiạn thạc trong sách giáo khoa thì ngưại giáo viên phại phát triển kiạn thạc cạa mình đạ bạt nhạp vại cuạc sạng hi ạn tại và có kiạn thạc giạng dạy cho các em học sinh. Là giáo viên dạy môn toán trong trưạng phạ thông, tôi ý thạc đưạc r ạng. Toán hạc là môn hạc tạ nhiên, nó có vai trò vô cùng quan trạng trong sạ phát triển tư duy cạa con ngưại, nó là chìa khoá đạ con ngưạ i khám phá ra các lĩnh vạc khác như tin hạc, vạt lý, hoá hạc, y hạc Sau nhiạu năm trạc tiạp giạng dạy học sinh, tôi đã không ngạng h ạc hại nâng cao tay nghạ, hạc hocir đạng nghiạp và nhạng ngưại có kinh nghiạm. Tôi nhạn thạy trong viạc giạng dạy môn sạ hạc còn nhiạu mạng kiạn thạc mà học sinh thêm hơn nạa như: Các bài toán chia hạt, các bài toán vạ cạu tạo sạ, so sánh phân sạ, đạc biạt là bài toán tính giá trạ cạa “Dãy sạ viạt theo quy luạt”. Đay là dạng bài toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6. Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này, học sinh còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm 1
2. Nguyễn Đăng Công Trưạng THCS Viạt Hùng ra quy luật của dãy số). Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vài bài toán dạng sao (*), không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận động kiến thức của mình. Dạng toán “Dãy số viết theo quy luật” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, đối với học sinh phải phân tích, phán xét, nhận dạng nhanh bài toán để đưa ra quy luật của dãy số. Vì vạy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Phương pháp giải các bài toán dãy số viết theo quy luật”. Để đưa ra một số phương pháp nhận biết cho học sinh. II. Mục đích nghiên cứu: “Phương pháp giải các bài toán dãy số viết theo quy luật” với mục đích định ra hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giại đối với một dãy số nhất định. Ngoài ra còn đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng, đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lí nhất. Nội dung của đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết tốt vấn đề này. III. Đối tượng nghiên cứu: Trong quá trình nghiên cứu đề tài, qua thực tế giảng dạy toán 6 tôi xác định rõ đối tượng nghiên cứu là: Phương pháp giải bài toán về “Dãy số viết theo quy luật”. Cụ thể là tính tổng của một dãy số, tính tích của một dãy số và ứng dụng của nó. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu: 2
3. Nguyễn Đăng Công Trưạng THCS Viạt Hùng Đề tài này trình bày đòi hỏi phải giải quyết một số vấn đề sau: 1. Khai thác đề bài, cách tìm lời giải bài toán dẫn đến việc nắm được quy luật của dãy số. 2. Tự việc khai thác trên nêu ra được phương pháp giải một bài toán cụ thể. 3. Đưa ra bài toán tổng quát. 4. Nêu ứng dụng của phương pháp. V. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài này được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chương trình toán số học 6. VI. Phương pháp nghiên cứu: 1. Phương pháp đọc tài liệu: Đây là phương pháp chủ yếu trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài này. 2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua một số năm giảng dạy, đồng thời tiếp thu kinh nghiệm qua việc trao đổi với các giáo dạy giỏi toán. 3
4. Nguyễn Đăng Công Trưạng THCS Viạt Hùng PHẦN THỨ HAI - NỘI DUNG ĐỀ TÀI CHƯƠNG I – Cơ sở lý thuyết Để giải được các bài toán “Dãy số viết theo quy luật” ta phải dựa vò các kiến thức sau: 1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số: - Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu) Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu. - Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. 2. Các phép tính của phân số: a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu: A B A B (M 0) M M M A B A B (M 0, A B) M M M b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu: - Quy đồng mẫu các phân số. - Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung. A C A.C c. Nhân các phân số: . (B, D 0) B D B.D A C A.D d. Chia 2 phân số: : (B, C, D 0) B D B.C 3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số: a. Tính chất giao hoán: a c c a - Phép cộng: (b, d 0) b d d b 4
5. Nguyễn Đăng Công Trưạng THCS Viạt Hùng a c c a - Phép nhân: . . (b, d 0) b d d b b. Tính chất kết hợp : a c m a c m - Phép cộng : (b, d, n 0) b d n b d n a c m a c m - Phép nhân: . . . . (b, d, n 0) b d n b d n c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ): a c m a m c m . . (b, d, n 0) b d n b n d n 4. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a b, b > c thì a > c - Tính chất đơn điệu của phép cộng: Nếu a > b thì a + c > b + c - Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0) - Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều: Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d 5
6. Nguyễn Đăng Công Trưạng THCS Viạt Hùng CHƯƠNG II Phương pháp giải các bài toán “Dãy số viết theo quy luật” I. Phương pháp tính tổng các dãy số viết theo quy luật: Loại toán tìm tổng của một dãy số viết theo quy luật, trong đó thường có 3 phân số đầu là số cụ thể còn các phân số sau cùng cho ở dạng tổng quát. Để làm dạng toán này ta cần nhận xét, so sánh giữa tử và mẫu, các tử (hay các mẫu) với nhau, giữa phân số cụ thể và tổng quát để tìm ra cách viết phân số rồi dần dần tìm ra cách giải. Để làm dạng toán này người ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số hạng. 1. Ví dụ 1: Tính tổng sau: 1 1 1 1 S = 1.2 2.3 3.4 100.101 * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là 1.2; 2.3; 3.4; 100.101. Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tính công thành dãy tính cộng và trừ. Chẳng hạn: 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 ; ; . ; = 1.2 2 2.3 .2 3 100.101 100 101 Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau * Cách giải: 6
7. Nguyễn Đăng Công Trưạng THCS Viạt Hùng 1 1 1 1 S = 1.2 2.3 3.4 100.101 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 = 1 2 2 3 3 4 100 101 1 101 101 +) Bài toán tổng quát: 1 1 1 1 Tính tổng: S = 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n = 1 2 2 3 3 4 n n 1 1 n 1 n 1 2. Ví dụ 2: 2 2 2 2 Tính tổng: P= 1.3 3.5 5.7 99.101 * Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2. 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 VD: ; ; ; ; 1.3 1 3 3.5 3 5 5.7 5 7 99.101 99 101 Nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho * Cách giải: 2 2 2 2 P= 1.3 3.5 5.7 99.101 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 3 3 5 5 7 99 101 1 100 = 1 101 101 +) Bài toán tổng quát: 2 2 2 2 2 Tính tổng: P= (n lẻ) 1.3 3.5 5.7 99.101 n.(n 2) 7
8. Nguyễn Đăng Công Trưạng THCS Viạt Hùng 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 = = 1 1 3 3 5 5 7 n n 2 n 2 n 2 3. Ví dụ 3: Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 6 66 176 336 * Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là: 6; 66; 176; 336; Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của 2 số nào đó và phải đi tìm số hạng thứ 100 của dãy. Ta nhận thấy: 6= 1.6 66= 11.6 176= 11.16 336= 16.21 Ta thạy mạu cạa các phân sạ này có quy luạt là: Tích cạa hai sạ có sạ tạn cùng là 1 và mạt sạ tạn cùng là 6. Trong 2 thạa sạ cạa mạu sạ có mạt thạa sạ hơn thạa sạ còn l ại là 5 đơn vạ. Vạy mạu sạ cạa sạ thạ n cạa dãy sạ có dạng: (5n-4)(5n+1). => Mạu cạa sạ thạ 100 cạa dãy sạ: (5.100-4)(5.100+1)=496.501 1 1 1 1 Ta cạn tính tạng A= 1.6 6.11 11.16 496.501 Tương tạ như bài trên ta tách tạng phân sạ thành hiạu cạa 2 phân s 1 1 5 1 1 1 1 ạ, ta nhạn thạy : => ( ) 1 6 1.6 5 1 6 1.6 1 1 5 1 1 1 1 Tương tạ như vạy => ( ) 6 11 6.11 5 6 11 6.11 8
9. Nguyễn Đăng Công Trưạng THCS Viạt Hùng 1 1 5 1 1 1 1 => ( ) 496 501 496.501 5 496 501 496.501 Tạ đó ta tính đưạc tạng A mạt cách dạ dàng * Cách giại: 1 1 1 1 1 A= 6 66 176 336 2484966 1 1 1 1 = 1.6 6.11 11.16 496.501 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) 5 1 6 5 6 11 5 11 16 5 496 501 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 5 6 6 11 11 16 496 501 1 1 1 500 100 = 1 = . = 5 501 5 501 501 *) Bài toán tạng quát: 1 1 1 1 A= 1.6 6.11 11.16 (5n 4)(5n 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( ) + ( ) + + ( ) 5 1 6 5 6 11 5 (5n 4 (5n 1) 1 1 1 5n n = 1 = . = 5 5n 1 5 5n 1 5n 1 4. Ví dạ 4: 1 1 1 1 Tính tạng B= 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 * Hư ạng d ạn: Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau. Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gạm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số giữa trùng nhau). 9
10. Nguyễn Đăng Công Trưạng THCS Viạt Hùng 1 1 2 1 1 1 1 Ta thấy: 1.2 2.3 1.2.3 2 1.2 2.3 1.2.3 1 1 2 1 1 1 1 23 3.4 2.3.4 2 2.3 3.4 2.3.4 1 1 2 1 1 1 1 37.38 38.39 37.38.39 2 37.38 38.39 37.38.39 1 1 2 Tổng quát ta có thể áp dụng: n(n 1) (n 1)(n 2) n(n 1)(n 2) * Cách giải: 1 1 1 1 B= 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + 2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 37.38 38.39 1 1 1 1 1 1 1 = 2 1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39 1 1 1 1 1 1 = = 2 1.2 38.39 2 2 38.39 1 741 1 1 740 1 370 185 = . = . = . = 2 38.39 2 38.39 2 741 741 * Bài toán tổng quát: 1 1 1 1 1 1 1 B= = . 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) 2 2 (n 1).(n 2) 1 (n 1).(n 2) 2 (n 1).(n 2) 2 = . = 2 2(n 1).(n 2) 4(n 1).(n 2) 5. Ví dụ 5: Tính tổng: A= 1.2 +2.3 + 3.4 + + 98.99 *Hướng dẫn giải: Ta thấy số hạng của A là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Nếu để áp dụng phương pháp khử liên tiếp như những bài toán trên ta phải nhân mỗi số hạng của A với 3 thừa số 3 này được viết dưới dạnh (3-0) ở số hạng thứ nhất, (4-1) ở số hạng thứ 2, (5-2) ở số hạng thứ 3 và (100-97) ở số hạng cuối cùng. 10